Гипо́теза Коллатца (гипо́теза 3n+1, гипо́теза 3x+1, пробле́ма Коллатца, пробле́ма 3n+1, пробле́ма 3x+1, сираку́зская пробле́ма) — одна из нерешённых проблем математики, названная по имени немецкого математика Лотара Коллатца (англ.), предложившего её в 1937 году. Для объяснения сути гипотезы рассмотрим следующую последовательность чисел, называемую сираку́зской после́довательностью. Берём любое натуральное число n. Если оно чётное, то делим его на 2, а если нечётное, то умножаем на 3 и прибавляем 1 (получаем 3n + 1). Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее.
Например, для числа 3 получаем:
3 — нечётное, 3×3 + 1 = 10
10 — чётное, 10:2 = 5
5 — нечётное, 5×3 + 1 = 16
16 — чётное, 16:2 = 8
8 — чётное, 8:2 = 4
4 — чётное, 4:2 = 2
2 — чётное, 2:2 = 1
1 — нечётное, 1×3 + 1 = 4
Очевидно, что, начиная с 1, начинают циклически повторяться числа 1, 4, 2.
3 — нечётное, 3×3 + 1 = 10
10 — чётное, 10:2 = 5
5 — нечётное, 5×3 + 1 = 16
16 — чётное, 16:2 = 8
8 — чётное, 8:2 = 4
4 — чётное, 4:2 = 2
2 — чётное, 2:2 = 1
1 — нечётное, 1×3 + 1 = 4
Очевидно, что, начиная с 1, начинают циклически повторяться числа 1, 4, 2.
Для числа 27 получаем:
27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, …
Последовательность пришла к единице только через 111 шагов, достигнув в пи́ке значения 9232.
27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, …
Последовательность пришла к единице только через 111 шагов, достигнув в пи́ке значения 9232.
Гипотеза Коллатца заключается в том, что какое бы начальное число мы ни взяли, рано или поздно мы получим единицу.
Чи́сла-гра́дины — также распространённое название для совокупности рассмотренных последовательностей. Такое название возникло из-за того, что графики последовательностей (см. иллюстрацию) похожи на траектории движения градин в атмосфере.
Проект «Collatz Conjecture»
В августе 2009 года на платформе BOINC был запущен проект добровольных распределённых вычислений «Collatz Conjecture»[1], целью которого является проверка гипотезы Коллатца на больших числах. Вычислительный модуль проекта может использовать вычислительные мощности современных видеокарт.
Немає коментарів:
Дописати коментар