8 клас. 2 математична олімпіада

2  математична олімпіада

1. Чи можна всі натуральні числа від 1 до 65 розбити на кілька груп так, щоб у кожній групі найбільше число дорівнювало сумі інших?

2. У кожній клітинці клітчатої дошки 7x11 сидить жук. У певний момент усі жуки переповзають в одну із сусідніх клітинок, що мають з ними спільну сторону. Доведіть, що після цього якась клітинка буде порожньою.

3. Є три  купки камінців: у першій – 10, у другій – 15, у третій – 20, За один хід ж дозволяється розбити будь-яку купку на дві менші. Програє той, хто не може зробити хід. Хто з двох гравців може забезпечити собі виграш?

4. На скільки частин ділять площину 2000 прямих, якщо жодні, дві з них не паралельні і жодні три не проходять через одну точку?

5. Яка найбільша кількість гострих кутів може бути в опуклому 7-кутнику?

Розв’язки завдань.

1. Вказівка. Застосуємо спосіб від супротивного. Припустимо, що можна. Тоді в кожній групі сума чисел є парним чис­лом, тому сума всіх чисел від 1 до 65 теж має бути парною, але сума 1+2+3+...+65=65×33 – непарна. Отже, не може. Відповідь. Не можна.

2. Вказівка. Розфарбуємо дошку так, як пофарбована шахова дошка. Тоді кожна клітинка матиме з сусідніми тільки клітини, пофарбовані в протилежний колір. Оскільки всього клітинок 77, то матимемо 39 клітинок одного кольо­ру і 38 другого. Нехай для визначеності білих клітинок 39. Тоді 39 жуків, які сиділи на білих клітинках, мають переповзти у 38 чорних клітинок. Тому знайдеться клітинка, на якій будуть сидіти принаймні два жуки, а тому знайдеться і порожня клітинка.

3. Вказівка. Другий гравець виграє без будь-якої стратегії. Після кожного ходу кількість купок збільшується на 1. У кінці гри їх має стати 45, буде зробле­но 45 - 3 = 42 ходи. Отже, останній хід зробить другий гравець.

Відповідь. Виграє той, хто виконує парні ходи, тобто другий гравець.

4. Вказівка. Доведемо способом математичної індукції формулу для знаходження кількості  частин площини, які утворюються після проведення 2000 прямих.  Нехай, на площині проведено n-1 прямих, серед яких жодні дві не па­ралельні і жодні три не проходять через одну точку. Ці прямі розділяють площину на деяку кількість областей. Проведемо n пряму так, щоб були виконані умови задачі. Ця пряма точками перетину з попередніми n-1 прямими розділиться на n прямолінійних частин (n -2 відрізки і два про­мені). Кожна з цих прямолінійних частин розділить одну з областей, яку вже маємо, а саме ту, в якій вона міститься, на дві. Тому число областей, на які розділиться площина після проведення n прямої, збільшиться на n. Отже, число областей, на які розділяють площину n прямих, що задоволь­няють умову задачі, дорівнює  m(n) = 1+1+2 +3+...+ n = 1+  n(n+1)/2.

Для   n = 2000,  m(2000) =1+ 2000×2001/2, отже, маємо m(2000) = 2001001 частин.

Відповідь: 2001001 частин.

5. Вказівка. Як відомо, сума зовнішніх rутів довільного опуклого многокутника дорівнює 360°. Тому в опуклому многокутнику не може бути більше трьох гострих кутів, оскільки в протилежному випадку такий многокутник мав би не менше чотирьох тупих зовнішніх кутів і їх сума перевищувала б 360°. Легко довести, що для кожного цілого n >3 існує опуклий n-кутник, що має 3 гострі внутрішні кути.

Відповідь. Три гострі кути.