Известно, что для любых положительных чисел a и b верно
| 2 | ≤ √ab ≤ | a + b | , |
| 1/а + 1/b | 2 |
где первое выражение называют средним гармоническим, второе – средним геометрическим(пропорциональным), третье – средним арифметическим двух чисел.
Докажем эти неравенства, для чего воспользуемся следующими геометрическими соображениями.
Пусть a и b – основания равнобокой трапеции ABCD. Так как
четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны,
то достаточно взять боковые стороны трапеции равными
| a + b | , |
| 2 |
чтобы в трапецию ABCD можно было вписать окружность:
Тогда для высоты трапеции ВН верно:
| BH2 = AB2 – AH2 = ( | a + b | )2 – ( | a – b | )2 = ab, |
| 2 | 2 |
| BH = √ab . |
В прямоугольном треугольнике АВН с высотой HG проведённой к гипотенузе АВ, для катета ВН имеем:
| BH = √BG · AB, |
BH2 = BG · AB,
|
тогда
| BG = | BH2 | = | ab | = | 2 | = | 2 |
| AB | (a + b)/2 | (a + b)/ab | 1/a + 1/b |
Так как в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы, то
BG < BH (смотрите треугольник BGH)
BH < AB (смотрите треугольник ABH)
и
BG < BH < AB.
Очевидно, что
BG = BH = AB
при условии, что ABCD – квадрат и, как следствие, a = b.
Таким образом,
| 2 | ≤ √ab ≤ | a + b | , |
| 1/а + 1/b | 2 |
причём равенство достигается при a = b, что и требовалось доказать.
. Розв'язування задач на побудову в 7-9 класах курсу планіметрії середньої загальноосвітньої школи
Вивчення геометричних місць точок у 7 класі. Основні задачі на побудову. Властивості й ознаки паралелограма та інших чотирикутників. Суть методу симетрії. Методи геометричних перетворень. Застосування подібності трикутників для розв'язування задач.
курсовая работа [422,5 K], добавлен 02.10.2014
2. Розв'язування задач на побудову в 7-9 класах курсу планіметрії середньої загальноосвітньої школи
Основні задачі на побудову. Вивчення геометричних місць точок у 7 класі. Поетапне розв'язування задач та пошук способу побудови. Методичні розробки конспектів уроків геометрії в 7-8 класах з ілюстрацією застосування різних методів геометричних побудов.
курсовая работа [413,1 K], добавлен 14.10.2014
3. Особливості викладання геометрії в школі
Логічна будова та методична структура шкільного курсу геометрії. Геометричні побудови в курсі планіметрії. Методи та приклади розв’язування задач на побудову. Різні підходи стосовно видів стереометричних задач на побудову. Зображення просторових фігур.
курсовая работа [65,9 K], добавлен 06.09.2012
4. Основні методи геометричних перетворень
Ознайомлення з основними поняттями планіметрії та властивостями геометричних перетворень. Методика вивчення подібності довільних фігур. Конспект уроків геометрії на теми "Дослідження планети Земля" та "Симетрія навколо нас. Таємниця дзеркального світу".
курсовая работа [6,9 M], добавлен 25.09.2014
5. Методика вивчення стереометричних задач в курсі геометрії 9-го класу
Місце стереометричного матеріалу в курсі математики основної школи та вимоги до його засвоєння. Аналіз методів вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу за новими підручниками з геометрії. Методичні рекомендації. Методика розв’язування.
контрольная работа [37,2 K], добавлен 29.03.2014
6. Деякі типи задач на подільність цілих чисел та способи їх розв'язування
Теореми та ознаки подільності натуральних чисел. Обґрунтування вимог до математичної підготовки учнів, розробка методики викладу теми "Подільність чисел". Приклади розв’язування вправ, а також задачі без розв’язання для самостійного розв’язування.
курсовая работа [239,2 K], добавлен 02.09.2011
7. Методика вивчення раціональних нерівностей в шкільному курсі алгебри
Загальні відомості про раціональні нерівності. Ознайомлення з різноманітними методами та прийомами їх розв’язування, а також з методикою викладання цього курсу у старших класах. Розробка уроку "Розв’язування раціональних нерівностей методом інтервалів".
курсовая работа [179,7 K], добавлен 11.09.2012
8. Формування умінь молодших школярів розв’язувати складені задачі
Проблема формування умінь розв’язувати задачі у теорії та практиці. Математичні задачі у математиці початкової школи як педагогічний засіб. Психолого-педагогічні передумови використання задач. Методичні підходи та розробки використання складених задач.
дипломная работа [126,0 K], добавлен 12.11.2009
9. Методика викладання тригонометрії в середній школі
Визначення тригонометричних функцій і їх властивостей. Основні формули тригонометрії. Розв’язування прикладів на тотожні перетворення тригонометричних виразів. Тригонометричні рівняння з оберненими функціями. Системи тригонометричних рівнянь і нерівності.
дипломная работа [3,0 M], добавлен 20.06.2012
. Розв'язування задач на побудову в 7-9 класах курсу планіметрії середньої загальноосвітньої школи
Вивчення геометричних місць точок у 7 класі. Основні задачі на побудову. Властивості й ознаки паралелограма та інших чотирикутників. Суть методу симетрії. Методи геометричних перетворень. Застосування подібності трикутників для розв'язування задач.
курсовая работа [422,5 K], добавлен 02.10.2014
2. Розв'язування задач на побудову в 7-9 класах курсу планіметрії середньої загальноосвітньої школи
Основні задачі на побудову. Вивчення геометричних місць точок у 7 класі. Поетапне розв'язування задач та пошук способу побудови. Методичні розробки конспектів уроків геометрії в 7-8 класах з ілюстрацією застосування різних методів геометричних побудов.
курсовая работа [413,1 K], добавлен 14.10.2014
3. Особливості викладання геометрії в школі
Логічна будова та методична структура шкільного курсу геометрії. Геометричні побудови в курсі планіметрії. Методи та приклади розв’язування задач на побудову. Різні підходи стосовно видів стереометричних задач на побудову. Зображення просторових фігур.
курсовая работа [65,9 K], добавлен 06.09.2012
4. Основні методи геометричних перетворень
Ознайомлення з основними поняттями планіметрії та властивостями геометричних перетворень. Методика вивчення подібності довільних фігур. Конспект уроків геометрії на теми "Дослідження планети Земля" та "Симетрія навколо нас. Таємниця дзеркального світу".
курсовая работа [6,9 M], добавлен 25.09.2014
5. Методика вивчення стереометричних задач в курсі геометрії 9-го класу
Місце стереометричного матеріалу в курсі математики основної школи та вимоги до його засвоєння. Аналіз методів вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу за новими підручниками з геометрії. Методичні рекомендації. Методика розв’язування.
контрольная работа [37,2 K], добавлен 29.03.2014
6. Деякі типи задач на подільність цілих чисел та способи їх розв'язування
Теореми та ознаки подільності натуральних чисел. Обґрунтування вимог до математичної підготовки учнів, розробка методики викладу теми "Подільність чисел". Приклади розв’язування вправ, а також задачі без розв’язання для самостійного розв’язування.
курсовая работа [239,2 K], добавлен 02.09.2011
7. Методика вивчення раціональних нерівностей в шкільному курсі алгебри
Загальні відомості про раціональні нерівності. Ознайомлення з різноманітними методами та прийомами їх розв’язування, а також з методикою викладання цього курсу у старших класах. Розробка уроку "Розв’язування раціональних нерівностей методом інтервалів".
курсовая работа [179,7 K], добавлен 11.09.2012
8. Формування умінь молодших школярів розв’язувати складені задачі
Проблема формування умінь розв’язувати задачі у теорії та практиці. Математичні задачі у математиці початкової школи як педагогічний засіб. Психолого-педагогічні передумови використання задач. Методичні підходи та розробки використання складених задач.
дипломная работа [126,0 K], добавлен 12.11.2009
9. Методика викладання тригонометрії в середній школі
Визначення тригонометричних функцій і їх властивостей. Основні формули тригонометрії. Розв’язування прикладів на тотожні перетворення тригонометричних виразів. Тригонометричні рівняння з оберненими функціями. Системи тригонометричних рівнянь і нерівності.
дипломная работа [3,0 M], добавлен 20.06.2012
Немає коментарів:
Дописати коментар