Вінницька обласна олімпіада з математики 2003-2004 н.р. 7 клас

Вінницька обласна  олімпіада з математики 2003-2004 н.р.

7 клас

1.      Нехай а  і b - різні двоцифрові числа, останні цифри яких співпадають. Відомо, що неповна частка від ділення а на 9 дорівнює остачі від ділення b на 9, а неповна частка від ділення b на 9 дорівнює остачі від ділення а на 9. Зайдіть всі такі пари чисел а і b. Відповідь обгрунтуйте.

2. Чи можна розташувати в таблиці 3x3 дев'ять різних чотирицифрових чисел так, щоб сума чисел у будь-яких двох сусідніх клітинках ділилася націло на 2003? (Сусідніми вважаються клітинки таблиці, які мають спільну сторону). Відповідь обгрунтуйте.

3. В лісосмузі ростуть 18 дубів. На них порівну жолудів. Подув вітер і з деяких дубів посипались жолуді: з деяких - рівно половина, з деяких - рівно третина, а з усіх інших - жодного жолудя. При цьому зі всіх дубів разом упало рівно 1/9 частина усіх жолудів. Із скількох дубів жолуді не падали?

4. В Бразилії живе дуже багато диких мавп. Кожен рік 2 січня роблять перепис всіх мавп. В 1999 р. кількість всіх мавп збільшилась в порівнянні з 1998 р. рівно на 5%. І в 2000 - 2003 рр. приріст мавп кожен рік становив рівно 5%, причому за даними перепису 2003 р. в країні проживало не більше 5000000 диких мавп. Скільки диких мавп жило в Бразилії 2 січня 2003року?

5. Скільки разів треба взяти доданком число 625, щоб одержати число 5²⁰⁰³? Відповідь обґрунтуйте.

На виконання роботи відводиться 3 години.

Кожна задача оцінюється в 5 балів.

Використання калькулятора не дозволяється

1. Відповідь. 15 і 55; 25 і 65; 35 і 75.

2. Відповідь. Так, можна.

3. Відповідь. З 13 дубів.

4. Відповідь. 4084101.

5. Відповідь. 5¹⁹⁹⁹.