8 клас. 4 математична олімпіада

4  математична олімпіада 

1. Знайти всі розв’язки рівняння в цілих числах:  х/у  + y/z   + z/x  = 3.

Обґрунтувати  відповідь.

2. Двоє гравців по черзі ставлять на клітинки шахової дошки 25x25 фішки; один білого, а другий – чорного кольорів. Кожна нова фішка ставиться на вільну клітинку, забороняється лише ставити фішку на таку клітинку, де на всіх сусідніх із нею клітинках уже стоять фішки цього кольору (сусідніми вважають клітинки, які мають спільну сторону). Програє той, хто не може зробити свій черговий хід. Хто виграє за умови  правильної гри – починаючий  гравець чи його суперник?

3. Доведіть, що дошку 6x6 не можна покрити дев'ятьма плитками  4х1.

4. Як би не була розташована на одиничному квадраті  51 точка, завжди знайдуться принаймні три які-небудь з них, які можна обмежити колом радіусу 1/7. Довести.  

5. На дошці записано числа 1, 2,..., 2002. Дозволяється стерти будь-які два числа а і b і замінити їх на число аb(а + b). Чи може виникнути на дошці  після  таких операцій число 2003?

6. Цифру шість отримали в остачі від ділення натурального квадрату і цифру два  отримали в остачі від ділення натурального кубу на деяку цифру.  Яка цифра являлась неповною часткою? 

Розв’язки завдань.

1.     Вказівка.  Допустимо, що всі  натуральні числа  x, y, z  задовольняють

х/у  + y/z   + z/x  = 3.

Якщо усі ці числа  x, y, z  натуральні і різні, тоді не всі рівні між собою числа х/у, y/z , z/x, тому для цих чисел виконується нерівність:

( (1/3) (х/у  + y/z   + z/x) )³ > (х/у) × (y/z) × (z/x) = 1.

Тут ми використали нерівність

( (1/3) (а + b + c) )³ > abc,

І пропонуємо її доведення. Якщо використати тотожність

n³  + m³ + l³ – 3nml = 0,5(n+m+l)((n–m)²+(n–l)²+(l–n)²).

В останній тотожності права частина завжди додатна, отже

n³  + m³ + l³ > 3nml,

(n³  + m³ + l³)³ > 3³ (nml)³,

(1/3)³ (n³  + m³ + l³)³ >  (nml)³.

Якщо в останній нерівності виконати підстановку

a= n³ ,   b= m³  ,  c = l³,

Тоді

( (1/3) (а + b + c) )³ > abc.

Враховуючи попередню нерівність, маємо

( (1/3)(х/у  + y/z   + z/x) )³ > 1,

(1/3)  (х/у  + y/z   + z/x) ) > 1,

(х/у  + y/z   + z/x) ) > 3.

Для різних натуральних чисел x, y, z   дане рівняння не має розв’язку. Однак, це рівняння має безліч розв’язків в натуральних числах  x, y, z , якщо  x = y = z. Тут х – довільне натуральне число.    

2. Вказівка. Виграє перший гравець. Справді, виділи­мо одну із клітинок, а решту розіб'ємо на частини 1x2. Розглядаємо такий випадок: правий верхній кут дошки покрито квадра­том розмірами 1x1, а решту дошки — прямокутниками розмірами 1x2. Перший гравець першу фішку ставить у виділену клітинку, а кожну наступну – у вільну клітинку тієї частини розміром 1x2, в яку попереднім ходом поставив  свою фішку другий гравець.  Очевидно, що все це завжди можна зробити.

3. Вказівка.

1	2	3	4	1	2
2	3	4	1	2	3
3	4	1	2	3	4
4	1	2	3	4	1
1	2	3	4	1	2
2	3	4	1	2	3

Розфарбуємо дошку в 4 кольори, як показано на рисунку. Які б клітинки не покривала плитка, вони матимуть різні кольори. Але тоді для того, щоб 9 плиток покрили всю дошку, клітинок кожного

кольору теж повинно бути 9. Перевіркою встановлюємо, що це не так.

			1

4. Доведення. Випробовуючи те або інше розбиття одиничного квадрата і не досягаючи мети, ми можемо в результаті, цих дослідів і роздумів здогадатися розбити квадрат на 25 однакових, квадратів. Зрозуміло, здогадатися про таке розбиття можна було і відразу, якщо бачити і глибше розуміти зв'язки між елементами завдання. Наприклад, якби відразу керуватися тим, що радіус кола, описаного біля квадрата, менше, ніж радіус круга, описаного біля прямокутника, рівновеликого цьому квадрату.

Отже, розіб'ємо одиничний квадрат на 25 однакових квадратів. Серед цих 25 квадратів знайдеться принаймні один, на якому будуть розташовано не менші три крапки з числа тих, що розглядаються нами 51 крапки. Дійсно, це вірно, оскільки інакше число всіх даних крапок було б менше, ніж 51. Хай заштрихований квадрат і містить не меншого трьох наших крапок. Діагональ цього квадрата рівна  20,5/5. Отже, радіус круга, описаного біля цього квадрата, рівний  20,5/10 <  1/7.

Твердження доведено.

5. Вказівка. Не може, бо новоутворені числа завжди парні.

6. Вказівка. Квадратні лишки, тобто остачі при діленні квадратів на цифри.

Якщо квадрат натурального числа, тобто,  m² = m∙m, поділити на:

2, то отримаємо остачі 0, 1;

3, то отримаємо остачі 0, 1

4, то отримаємо остачі 0, 1;

5, то отримаємо остачі 0, 1, 4;

6, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4;

7, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 4;

8, то отримаємо остачі  0, 1, 4;

9, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 7;

Кубічні лишки, тобто остачі при діленні кубів на цифри.

Якщо куб натурального числа, тобто,  m³ = m∙m∙m, поділити на:

2, то отримаємо остачі 0, 1;

3, то отримаємо остачі 0, 1, 2;

4, то отримаємо остачі 0, 1, 3;

5, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4;

6, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5;

7, то отримаємо остачі  0, 1, 6;

8, то отримаємо остачі  0, 1, 3, 5, 7;

9, то отримаємо остачі  0, 1, 8;

Відповідь. Для квадрату: неповна частка 7.  Для кубу:  неповна частка 7. А ділене – це число вигляду  7n + 3.