1. Як
визначити, що натуральне число ділиться на 24?
2. Як визначити, що натуральне число ділиться на 14?
3. Як визначити, що натуральне число ділиться на 18?
4. Як визначити кількість усіх дільників натурального числа ділиться на 83∙94?
5. Як визначити ті натуральні двоцифрові числа, що мають найбільшу кількість дільників? Скільки таких чисел?
6. Як визначити останню цифру числа 20072007 + 20082008?
Тренувальна математична олімпіада для кмітливого
1. Гра починається із числа 1. За один хід дозволяється помножити наявне число на будь-яке натуральне число від 2 до 9. Виграє той, хто першим одержить число, більше 1000. Хто виграє у цій грі.
4. Знайти всі двоцифрові числа, кожне з яких на 9 більше від суми квадратів його цифр.
5. Як розрізати прямими лініями квадрат на три рівних частини?
___________________________
Задача 8. Гра починається із числа 1. За один хід дозволяється помножити наявне число на будь-яке натуральне число від 2 до 9. Виграє той, хто першим одержить число, більше 1000. Хто виграє у цій грі.
Вказівка. Аналізуючи з кінця, знаходимо виграшні позиції. Це числа від 56
до 111 і від 4 до 6. Таким чином, виграє перший гравець (його перший
хід - в 4, 5 або 6).
Задача 9. Гра починається із числа 2. За хід дозволяється додати до наявного числа будь-яке натуральне число, менше за нього. Виграє той, хто одержить 1000.
Вказівка. Аналізуючи з кінця, знаходимо виграшні позиції: 500, 250, 125,
62, 31, 15, 7, 3. Виграє перший гравець.
Задача 10. Гра починається із числа 1000. За хід дозволяється відняти від наявного числа будь-яке, що не перевищує його, натуральне число, що є степенем двійки (1 = 2°). Виграє той, хто одержить нуль.
Вказівка. Аналізуючи з кінця, знаходимо виграшні позиції. Це числа, що
діляться на 3. Виграє перший гравець. Першим ходом він може, на
приклад, відняти 1, 4, 16.
Задача13. Кілька
хлопчиків збирали гриби. Один знайшов 6 грибів, а всі інші по 13. Другого дня
кількість хлопчиків
була іншою. Один з них знайшов 5 грибів, а решта - по 10. Скільки хлопчиків було
кожного разу,
якщо в обох випадках вони назбирали однакову кількість грибів К, причому
відомо, що 100 < К < 200?
Відповідь: першого разу було 14 хлопчиків, а другого - 18 хлопчиків.
Задача 14. Знайти всі трицифрові числа, для яких різниця між числом і потроєною сумою його цифр дорівнює 107.
Відповідь: 122 та 149.
Задача 15. Знайти всі двоцифрові числа, кожне з яких на 9 більше від суми квадратів його цифр.
Відповідь: 10, 11, 34, 74, 90, 91.
Задача 16. Довести, що довільне просте число р > 2 єдиним способом можна подати у вигляді різниці квадратів двох натуральних чисел.
Задача 17. Знайти всі пари натуральних чисел, добуток яких у р разів більший за їх суму, де р - просте число.
Задача19. Чи існує числовий квадрат 3х3, складений з довільних чисел так, щоб виконувалася умова: добуток чисел, що знаходяться у кожному рядку, і у кожному стовпці рівний 1, і добуток чисел у кожному квадраті 2х2 рівний 2.
Задача 20. Чи існують числові квадрати, розміром 3х3, що складені з натуральних чисел так, щоб виконувалася умова: добуток чисел, що знаходяться у кожному рядку, і у кожному стовпці рівна двоцифровому квадрату, добуток чисел у кожному квадраті 2х2 рівний трицифровому кубу, а по двом діагоналі рівний чотирицифровому четвертому степені натурального числа.
Відповідь: існують чотири таких числові квадрати, якщо а = 6;7;8;9 дивись таблицю.
Задача 21. Чи існує числовий квадрат 3х3, складений із звичайних дробів так, щоб виконувалася умова: сума чисел, що знаходяться у кожному рядку, і у кожному стовпці рівна 1.
Відповідь: існує.
Задача 22. Чи існує числовий квадрат 5х5, складений із нескоротних звичайних дробів так, щоб виконувалася умова: сума чисел, що знаходяться у кожному рядку, і у кожному стовпці рівна 1.
Відповідь: існує.
Задача 23. Назвемо натуральне число вдалим, якщо цифри в його десятковому записі можна розбити на дві групи так, щоб суми цифр у цих групах були рівними. Чи існують в множині вдалих чисел двійки послідовних чисел, у кожного з яких присутні усі цифри.
Доведення. Так існують. Доведемо це. Треба знайти два послідовних натуральних числа, у яких сума цифр різна, але парна. Такі двійки вдалих чисел треба шукати серед чисел, які:
1) закінчуються на цифру 9;
2) мають парну суму цифр.
Якщо а - вдале, тоді при додаванні 1 наступне число обов'язково змінює цифру десятків, хоча у цих випадках може не змінюватися парність суми цифр двох сусідніх цифр. Наприклад: а = 111111111119, а + 1 = 111111111120, першого числа парна сума цифр 20, а у його наступника теж парна сума цифр 12 . Для того, щоб утворити два послідовні вдалих числа, які мають різні цифри, треба до кожного з чисел 111111111119 та 111111111120 додати число 98765432101234567890∙1012. Від такого перетворення числа залишаються вдалими. В цьому легко переконатися.
Задача 26. Чи існують два двоцифрові числа, у яких куб цифри розряду десятків ділиться на цифру розряду одиниць без остачі такі, щоб сума їх являлась квадратом?
Розв'язання. Наведемо деякі двоцифрові числа, у яких квадрат і куб цифри десятків ділиться на цифру одиниць без остачі: 21, 22, 31, 41, 42, 62, 82, 33, 44, 63, 93, 84, 64, 55, 66, 77, 88, 28, 48, 68, 39, 69, 99. А серед них можна вибрати два числа сума яких є квадратом. Наприклад: 22 + 42 = 64 = 82, або 55 + 66 = 121 = 112.
2. Як визначити, що натуральне число ділиться на 14?
3. Як визначити, що натуральне число ділиться на 18?
4. Як визначити кількість усіх дільників натурального числа ділиться на 83∙94?
5. Як визначити ті натуральні двоцифрові числа, що мають найбільшу кількість дільників? Скільки таких чисел?
6. Як визначити останню цифру числа 20072007 + 20082008?
Тренувальна математична олімпіада для кмітливого
1. Гра починається із числа 1. За один хід дозволяється помножити наявне число на будь-яке натуральне число від 2 до 9. Виграє той, хто першим одержить число, більше 1000. Хто виграє у цій грі.
2. Кожну
клітинку квадратної таблиці 2x2 можна пофарбувати в чорний або білий колір.
Скільки існує різних роафарбувань цієї таблиці?
3. Кілька хлопчиків збирали гриби. Один знайшов 6 грибів,
а всі інші по 13. Другого дня кількість хлопчиків була іншою.
Один з них знайшов 5 грибів, а решта - по 10. Скільки хлопчиків було кожного разу, якщо в обох
випадках вони назбирали однакову кількість грибів К, причому відомо,
що 100 < К < 200?4. Знайти всі двоцифрові числа, кожне з яких на 9 більше від суми квадратів його цифр.
5. Як розрізати прямими лініями квадрат на три рівних частини?
6. Як довільний трикутник розрізати на рівнобедрені трикутники?
7. Склади числовий квадрат 3х3 з дев’яти натуральних чисел (менших ніж 40)
так, що добутки по усіх горизонталях, по усіх вертикалях, по усіх діагоналях
була однаковою.
___________________________
Задача 8. Гра починається із числа 1. За один хід дозволяється помножити наявне число на будь-яке натуральне число від 2 до 9. Виграє той, хто першим одержить число, більше 1000. Хто виграє у цій грі.
Вказівка. Аналізуючи з кінця, знаходимо виграшні позиції. Це числа від 56
до 111 і від 4 до 6. Таким чином, виграє перший гравець (його перший
хід - в 4, 5 або 6).
Задача 9. Гра починається із числа 2. За хід дозволяється додати до наявного числа будь-яке натуральне число, менше за нього. Виграє той, хто одержить 1000.
Вказівка. Аналізуючи з кінця, знаходимо виграшні позиції: 500, 250, 125,
62, 31, 15, 7, 3. Виграє перший гравець.
Задача 10. Гра починається із числа 1000. За хід дозволяється відняти від наявного числа будь-яке, що не перевищує його, натуральне число, що є степенем двійки (1 = 2°). Виграє той, хто одержить нуль.
Вказівка. Аналізуючи з кінця, знаходимо виграшні позиції. Це числа, що
діляться на 3. Виграє перший гравець. Першим ходом він може, на
приклад, відняти 1, 4, 16.
Задача11.
Монету кидають тричі. Скільки різних послідовностей орлів та
решок можна при цьому отримати?
Відповідь: 23=8.
Задача 12. Кожну
клітинку квадратної таблиці 2x2 можна пофарбувати в чорний або білий колір.
Скільки існує різних роафарбувань цієї таблиці?
Відповідь: 24
= 16.
Відповідь: першого разу було 14 хлопчиків, а другого - 18 хлопчиків.
Задача 14. Знайти всі трицифрові числа, для яких різниця між числом і потроєною сумою його цифр дорівнює 107.
Відповідь: 122 та 149.
Задача 15. Знайти всі двоцифрові числа, кожне з яких на 9 більше від суми квадратів його цифр.
Відповідь: 10, 11, 34, 74, 90, 91.
Задача 16. Довести, що довільне просте число р > 2 єдиним способом можна подати у вигляді різниці квадратів двох натуральних чисел.
Задача 17. Знайти всі пари натуральних чисел, добуток яких у р разів більший за їх суму, де р - просте число.
Відповідь: якщо к = 1,
то х = р + 1, у = р + р2; якщо к = р,
то х = 2р, у = 2р;
якщо к = р,
то х = р2+р, у = 1+р.
Задача 18. Скількома
способами число 1285 можна подати у вигляді суми к послідовних натуральних чисел?
Відповідь:
Отже,
існує 3 способи.Задача19. Чи існує числовий квадрат 3х3, складений з довільних чисел так, щоб виконувалася умова: добуток чисел, що знаходяться у кожному рядку, і у кожному стовпці рівний 1, і добуток чисел у кожному квадраті 2х2 рівний 2.
|
2
|
0,25
|
2
|
|
0,25
|
16
|
0, 25
|
|
2
|
0,25
|
2
|
|
а
|
1
|
а
|
|
1
|
а2
|
1
|
|
а
|
1
|
а
|
Задача 20. Чи існують числові квадрати, розміром 3х3, що складені з натуральних чисел так, щоб виконувалася умова: добуток чисел, що знаходяться у кожному рядку, і у кожному стовпці рівна двоцифровому квадрату, добуток чисел у кожному квадраті 2х2 рівний трицифровому кубу, а по двом діагоналі рівний чотирицифровому четвертому степені натурального числа.
Відповідь: існують чотири таких числові квадрати, якщо а = 6;7;8;9 дивись таблицю.
|
1/3
|
1/2
|
1/6
|
|
1/2
|
1/6
|
1/3
|
|
1/6
|
1/3
|
1/2
|
Задача 21. Чи існує числовий квадрат 3х3, складений із звичайних дробів так, щоб виконувалася умова: сума чисел, що знаходяться у кожному рядку, і у кожному стовпці рівна 1.
Відповідь: існує.
|
1/28
|
1/14
|
1/7
|
1/4
|
1/2
|
|
1/14
|
1/7
|
1/4
|
1/2
|
1/28
|
|
1/7
|
1/4
|
1/2
|
1/28
|
1/14
|
|
1/4
|
1/2
|
1/28
|
1/14
|
1/7
|
|
1/2
|
1/18
|
1/14
|
1/7
|
1/4
|
Задача 22. Чи існує числовий квадрат 5х5, складений із нескоротних звичайних дробів так, щоб виконувалася умова: сума чисел, що знаходяться у кожному рядку, і у кожному стовпці рівна 1.
Відповідь: існує.
Задача 23. Назвемо натуральне число вдалим, якщо цифри в його десятковому записі можна розбити на дві групи так, щоб суми цифр у цих групах були рівними. Чи існують в множині вдалих чисел двійки послідовних чисел, у кожного з яких присутні усі цифри.
Доведення. Так існують. Доведемо це. Треба знайти два послідовних натуральних числа, у яких сума цифр різна, але парна. Такі двійки вдалих чисел треба шукати серед чисел, які:
1) закінчуються на цифру 9;
2) мають парну суму цифр.
Якщо а - вдале, тоді при додаванні 1 наступне число обов'язково змінює цифру десятків, хоча у цих випадках може не змінюватися парність суми цифр двох сусідніх цифр. Наприклад: а = 111111111119, а + 1 = 111111111120, першого числа парна сума цифр 20, а у його наступника теж парна сума цифр 12 . Для того, щоб утворити два послідовні вдалих числа, які мають різні цифри, треба до кожного з чисел 111111111119 та 111111111120 додати число 98765432101234567890∙1012. Від такого перетворення числа залишаються вдалими. В цьому легко переконатися.
Відповідь: Так,
існують, наприклад, 98765432101234567890111111111119
та
98765432101234567890111111111120.
Задача 24. Знайти усі двоцифрові числа, у яких куб
цифри розряду десятків при ділення на цифру розряду одиниць не має значущої остачі.
Відповідь: 22, 42, 62, 82, 33, 44, 63,
93, 84, 64, 55, 66, 77, 88, 28, 48, 68, 39, 69, 99.
Задача 25. Знайти двоцифрові числа, у яких куб цифри розряду
десятків при діленні на цифру розряду одиниць, мають остачу 6, що
дорівнює цифрі одиниць, зменшеній на 1. Відповідь: 57, 67.
Задача 26. Чи існують два двоцифрові числа, у яких куб цифри розряду десятків ділиться на цифру розряду одиниць без остачі такі, щоб сума їх являлась квадратом?
Розв'язання. Наведемо деякі двоцифрові числа, у яких квадрат і куб цифри десятків ділиться на цифру одиниць без остачі: 21, 22, 31, 41, 42, 62, 82, 33, 44, 63, 93, 84, 64, 55, 66, 77, 88, 28, 48, 68, 39, 69, 99. А серед них можна вибрати два числа сума яких є квадратом. Наприклад: 22 + 42 = 64 = 82, або 55 + 66 = 121 = 112.
Немає коментарів:
Дописати коментар