АЛГЕБРАЇЧНІ РІВНЯННЯ

АЛГЕБРАЇЧНІ РІВНЯННЯ 

Нагадаємо   основні   відомості   про рівняння.

Рівнянням називається рівність виду

f(х) = g(x),

де f(х)  i  g(x) – функції, задані в спільній частині їх областей визначен­ня(числовій множині), яка називається областю визначен­ня рівняння.

Розв'язком, або коренем, рівняння

f(х) = g(x),

називається таке значення х =_а, яке задовольняє дане рівняння:

f(a) = g(a),

Інакше кажучи, якщо число а є ко­ренем цього рівняння, то значення функцій f(х) i g(x),

при х = а рівні.

Згідно із загальновживаною термі­нологією функція f(х) називається лівою частиною рівняння, а функція g(x) – правою його частиною, аргумент х – невідоме в рівнянні.

Якщо кожна з частин рівняння є многочленом, то рівняння називається алгебраїчним. Коли ліва та права частини рівняння – раціональні функ­ції, але хоча б одна з них не є много­членом, то воно називається раціо­нальним. Нагадаємо, що значення ра­ціональної функції дістаємо, викону­ючи над аргументом операції додаван­ня, віднімання, множення, піднесення до степеня з цілим додатним показни­ком та ділення. При побудові алгебраїчного виразу, крім цих операцій над невідомим, допускається ще й дія добування кореня з натуральним показником.

Рівняння

f(х) = g(x)

називається ірраціональним, якщо f(х) i g(x) є алгеб­раїчними виразами, але принаймні одна з функцій f(х) = g(x) не є раціональною (містить дію добування кореня з виразу, до якого входить невідоме).

Рівняння

f(х) = g(x)

називається трансцендентним, коли в лiвій або правій його частині, крім алгебраїчних, є також транс­цендентні операції над невідомими. Як приклад трансцендентного можна навести рівняння:

b sin(х²) + a сos(х²) = 2^x.

Тут  йтиметься розмова  про алгебраїчні рівняння.

 Рівняння виду

Р(х) = 0,

де Р(х) – ціла раціональна функція степеня n, називається алгеб­раїчним рівнянням степеня n, а коефіцієнти (взагалі кажучи, комплексні числа) Р(х) при цьому називаються коефіцієнтами рівняння.

Спираючись на відомі властивості цілої раціо­нальної функції, легко встановити відповідні властивості рівнянь, Так, зокрема, число коренів алгебраїчного рівняння степеня n (якщо кожний корінь лічити стільки разів, яка його кратність) дорівнює n. Справедливими будуть також і формули Вієта, що виражають залежності між коренями та коефіцієнтами алгебраїч­ного рівняння.

Розв'язати алгебраїчне рівняння алгебраїчно означає вирази­ти його корені через коефіцієнти за допомогою шести алгебраїч­них дій (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня та добування кореня з натуральним показником).

Алгебраїчне рівняння степеня   n

а₀хⁿ + а₁x^n-1 + . . . + а _n-1 х + a_n = 0

з буквеними коефіцієнтами можна розглядати як рівняння f(х, а_о, а₁, . . ., а_n) = 0 з параметрами а_о, а₁, ..., а_n . Значення параметрів, при яких f(х, а_о, а₁, . . ., а_n) має смисл, називаються допустимими. Розв'язати рівняння з параметрами означає знайти вся його розв'язки для кожної системи допустимих значень параметрів. Якщо не зазначено меж зміни параметрів, то вважається, що вони, набувають всіх своїх допустимих значень. Допустимими значеннями параметрів – коефіцієнтів алгебраїчного рівняння n-го степеня вва­жаються сукупності дійсних або комплексних чисел. 

Найпростішим з алгебраїчних   рівнянь є рівняння лінійного виду

а_оx + а₁ = 0.

Воно рівносильне рівнянню

x + p₁ = 0, якщо а₀ – ненульове число. 

Дещо складнішим є квадратне рівняння

а₀х² +а₁х + а₂ = 0

з параметрами  а_о, а₁, а₂. 

Поділивши   обидві   його частини  на ненульове а_о,

дістанемо:

х² +p₁х + р₂ = 0,

Кубічне рівняння

а_ох³ + а₁х² + а₂х + а₃ = 0 в загальному  випадку  має три   істотні   параметри,   бо  його можна звести до  вигляду, якщо поділити всі коефіцієнти на ненульове а_о

  x³ + p₁x² + p₂x+ p₃ = 0  (1)

Загальне алгебраїчне  рівняння четвертого степеня

а_ох⁴ + а₁х³ + а₂х² + а₃х + а₄ = 0 = 0,

якщо поділити всі коефіцієнти на ненульове а_о, то можна записати  так:

х⁴ +  p₁x³ + p₂x² + p₃x+ р₄ = 0,      (2)

У кожному з розглянутих алгебраїчних рівнянь число істотних параметрів (коефіцієнтів) дорівнює його степеню. Очевидно, будь-яке   алгебраїчне   рівняння   n-го степеня  можна   звести   до   такого вигляду,  якщо поділити всі коефіцієнти на ненульове а_о,

хⁿ + р₁х^n-1 + . . . + р_n-1х + р_n = 0    (3)

Тому максимально можливе в ньому число істотних параметрів до­рівнює n. Якщо в рівнянні (3) всі коефіцієнти (параметри) від­мінні від нуля і незалежні між собою, то його називають загаль­ним зведеним алгебраїчним рівнянням.

Є алгебраїчні рівняння, коефіцієнти яких – певні вирази, що містять інші   параметри 

а_о, а₁, . . ., а_n,

тобто

а_о = q(а_о, а₁, . . ., а_n)

а₁ = v(а_о, а₁, . . ., а_n)

……………………….

a_n = s(а_о, а₁, . . ., а_n).

Наприклад,   у  рівнянні  

x² + (а₁ + а₂)х + а₁а₂ = 0

є такі параметри

f_о = 1

f₁ = а_о+а₁

Наприклад,   у  рівнянні  

x² + (а₁ + а₂)х + а₁а₂ = 0

є такі параметри

f_о = 1

f₁ = а_о+а₁

f₂ = а_оа_1.

У загальному зведеному алгебраїчному рівнянні (3) число параметрів а_о, а₁, . . ., а_n,

не може бути меншим за n, оскільки коефіцієнти р₁, р₂, ..., р_n повинні бути незалежними між собою. Параметри а_о, а₁, . . ., а_n,   будемо   називати  допоміжними.

Якщо алгебраїчне рівняння зведено до вигляду (3), а коефіцієнти р₁, р₂, ..., р_n є залежними, тобто є функціями, то виражають його корені рівняння (3) через його коефіцієнти-функції. Проте значно складнішою буде задача побудови безпосередньо  формул для коренів рівняння (3) за допомогою допоміжних параметрів (якщо, звичайно, такі формули існують). Ідея в найпростіших випадках полягає у тому, що основні параметри рівняння (3) замінюють допоміжними так, щоб корені утвореного рівняння: легко знаходились і виражались через допоміжні параметри, а ті потім від допоміжних параметрів переходять до основних. Цей метод називається методом допоміжних параметрів.

Покажемо його застосування на прикладі зведеного квадратного рівняння.

Приклад. Розв'язати  рівняння:

х² + рх + q = 0.

Покладемо р = - (x₁ + x₂) і q = x₁x₂.

Тоді

x² - (x₁ + x₂) х + x₁x₂ = 0

або

(х - x₁)(x- x₂) = 0.

Цікаві задачі  на кмітливість.

1.    Рибалка ловив рибу. Коли його запитали, яка маса спійманої риби, він сказав: «Я думаю, що маса хвоста 1 кг, маса голови така, як маса хвоста і половини тулуба, а маса тулуба дорівнює масі го­лови і хвоста разом». Яка маса риби?

2.    Летіла зграя гусей, а назустріч їм летить гуска і каже: «Здрастуйте 100 гусей!» «Нас не 100 гусей! — відповідає вожак. — Якби нас було стільки, як тепер, та ще стільки, та півстільки, та чверть стільки та ще ти з нами, тоді б нас було 100». Скільки було гусей у зграї?

3.    Під час екскурсії група учнів мала переправитися через бухту. На бе­резі стояло кілька човнів. Якщо в кожний човен сяде по 6 чоловік, то для чотирьох учнів не вистачить місця, а якщо по 8, то один човен буде зайвий. Скільки було учнів і човнів?

4.    Бабуся підрахувала, що коли вона дасть кожному внуку по 6 пряників, то не виста­чить 8, а якщо по 4, то залишиться 6. Скільки внуків у бабусі? Скільки пряників?

5.    Діти ділили яблука. Коли поча­ли роздавати по 5 яблук, то останній одержав 3 яблука, коли роздали по 4 яблука, то залишилося 15. Скільки було яблук і дітей?

6.    Біля мосту через річку зустрілися подорожній і купець. Подорожній поскаржився, що він бідний. «Я допоможу тобі — сказав купець, — кож­ного разу, як ти перейдеш міст, у тебе гроші подвояться. Але кожного разу ти будеш віддавати мені 24 копійки». Три рази перейшов подорожній міст, а коли зазирнув у кишеню, там було порожньо. Скільки грошей було в подорожнього спочатку?

7.    Зібрався Іван-Царевич на бій з триголовим і трихвостим Змієм Гориничем. «Ось тобі чарівний меч, — каже йому Баба Яга. — Одним ударом ти можеш зрубати Змієві або 1 голову, або 2 голови, або 1 хвіст, або 2 хвос­ти. Запам'ятай: зрубаєш голову — нова виросте, зрубаєш хвіст — 2 нових ви­ростуть, зрубаєш 2 хвости — голова виросте, зрубаєш 2 голови — нічого не виросте». За скільки ударів Іван-Царевич може зрубати Змієві всі го­лови і всі хвости? Які удари потрібно наносити?

8.    На чарівній планеті живуть 40 коліордів. 12 із них увечері п'ють чай, 28 — дивляться теле­
візор, а 5 — не роблять ні того, ні іншого, оскільки рано лягають спати. Скільки коліордів п'ють вечо­рами чай, дивлячись телевізор?

9.    Після того, як Буратіно розв'язав кілька прикладів, йому залишилося розв'язати в 3 рази більше прикладів, ніж він розв'язав. Скільки всього прикладів треба було розв'язати Буратіно, якщо йому залишилося розв'язати к  прикладів? Скласти вираз і знайти його значення якщо к = 6. Приду­мати задачу про інші величини, яка розв'язується так само.

10.                      Чебурашка повинен був привезти на будів­ництво Будинку Дружби 620 цеглин, але він привіз 69% -  цієї кількості цеглин. Скільки цеглин привіз Чебурашка на будівництво?

11.                      Буратіно вирішив купити для Папи Карло новий будинок за 300 сольдо. Але поки він зібрав гроші, ціна будинку зросла на 20 %. Скільки повинен заплатити Буратіно за цей будинок?

12.                      Листоноша Пєчкін поклав  у поштові скриньки в березні 48 листів. Це становить кількості листів, які він приніс у лютому. Скільки листів поклав у поштові скриньки листоноша Пєчкін за ці два місяці?

13.                      На лісовій галявині зібралися маги та чарів­ ники і почали змагатися, хто більше зробить чудес. Злі чарівники змогли разом зробити 168 чудес. Це становить лише 3 % чудес, які зробили добрі чарів­ ники. Скільки чудес зробили добрі чарівники? На скільки чудес вони обігнали своїх суперників?

14.                      Тітка Агата дала Піфу на вечерю 12 кісток. Піф  з'їв 7 кісток, а потім побачив кота Геркуле­са, погнався за ним і надкусив йому вухо. Тітка Агата вирішила покарати Піфа і не дала йому закінчити вечерю. Яку частину своєї вечері встиг з'їсти Піф?

15.                      Мачуха звеліла Попелюшці перебрати 100 кг крупів. Попелюшка перебрала 150 кг. Яку частину завдання виконала Попелюшка? Виразити цю час­тину у відсотках. На скільки відсотків Попелюшка перевиконала завдання?

16.                      Троє рибалок впіймали 75 окунів і вирішили зварити юшку. Коли один рибалка дав 8 окунів, другий — 12, а третій — 7, то окунів у них залишилося порівну. Скільки окунів упіймав кожний?

17.                      Старовинна задача. У класі навчаються 13 дітей. У хлопчиків стільки зубів, скільки у дівчаток пальців на руках і ногах. Скільки в класі хлоп­чиків і скільки дівчаток? Припускається, що в кож­ного учня по 32 зуби).

18.                      Пішов дощ. Під водостічну трубу поставили порожню діжку. В неї вливається протягом хви­ лини 8 л води. Через щілину в діжці виливається за хвилину 3 л води. Скільки води буде в діжці через 1 хв? Через 2 хв? Через 3 хв? Через 5 хв? Через 9 хв?

19.                      Старовинна задача. Іванко купив собі іграшку, Петрик — книжку з малюнками, а Микола при­дбав столярний верстат. Виявилося, що кожен з них витратив грошей уп'ятеро більше, ніж попередній, а всі разом витратили 24 грн 80 к. Скільки коштує кожна з покупок?

20.                      Старовинна задача. Одного чоловіка запи­тали, скільки в нього грошей. Він відповів: «Мій брат втричі багатший за мене, батько втричі багат­ший від брата, дід втричі багатший за батька, а у всіх нас рівно 1000 карбованців. От і дізнайтеся, скільки в мене грошей?»

21.                      До діжки з водою підведений шланг, через який у неї вливається 9 відер води за годину. Че­рез другий шланг водою поливають город, витра­чаючи при цьому 16 відер води за годину. Через який час спорожніє повна діжка, яка вміщує 21 відро води, якщо обидва шланги використовувати одночасно?

22.                      Задача-жарт. У кухні на дачі було 18 мух, хазяйка б'є мухобійкою 5 мух за хвилину, а в кух­ню тим часом залітають 2 нові мухи. Через який час в кухні не залишиться мух взагалі?

23.                      Старовинна задача. Із двох сіл ідуть на­ зустріч один одному два робітники. Знічев'я вони рахують свої кроки (кожний довжиною в один аршин). Один налічив за хвилину 133 кроки, а дру­гий 167 кроків. Через 5 хв вони зустрілися. Яка відстань між селами? (1 аршин = 71 см.)

24.                      Іван та Назар ідуть назустріч один одному по дорозі. Іван іде зі швидкістю 3 км/год, а Назар - 4 км/год. Зараз між ними 21 км. Яка відстань буде між ними через дві години? Скласти вираз і знайти його значення.

25.                      Щука пливе за карасем. Швидкість щуки 10 м/с, а швидкість карася 6 м/с. На якій відстані один від одного вони будуть через 3 с, якщо зараз між ними 80 м? Через скільки секунд щука наздо­жене карася?

26.                      Два полохливих зайчики вискочили з куща, злякалися один одного і помчали у різні боки. Швидкість одного зайчика 580 м/хв, а швидкість другого зайчика — 520 м/хв. На якій відстані один від одного вони будуть через 1 год?

27.                      Шапокляк забула в автобусі сумку і по­ мітила це, коли автобус від'їхав від неї на відстань 200 м. Вона помчала за автобусом із швидкістю 120 м/хв. Швидкість автобуса 840 м/хв. Чи зможе Шапокляк наздогнати автобус? На якій відстані від автобуса вона буде через 2 хв?

28.                      Ворона Каррі-Карр пролетіла за 4 години 18 км. Яку відстань вона пролетить за 7 годин?

29.                      Моряку Чарлі 5 років тому виповнилося  7 років. Скільки років виповниться йому через 4 роки?