7 клас. 2005 року. Вінницька міська олімпіада юних математиків.

Вінницька міська олімпіада юних математиків   2005 року

7       клас

1. Знайдіть усі такі двоцифрові числа n, що сума цифр числа n у п'ять разів менша самого числа n. Поясніть, як ви знайшли ці числа.

2. В ящику 25 кг цвяхів. Як за допомогою терезів і однієї гирі в 1 кг за два зважування відміряти 19 кг цвяхів?

3. Три однакових круги розташовані так, як показано на рисунку, причому площа кожної з 6 частин дорівнює цілому числу квадратних сантиметрів. Доведіть, що коли із суми площ першої, третьої і шостої частин відняти площі другої й п'ятої частин, то одержимо ціле число, яке ділиться без остачі на 3.

4. Покажіть, як розфарбувати клітинки квадрата 9x9 у червоний, синій і білий кольори так, щоб у будь-якому квадраті розміром 3x3 було по три клітинки кожного кольору, у будь-якому стовпчику було по три клітинки кожного кольору і будь-яка синя клітинка мала б і червону, і білу сусідню клітинки (дві клітинки є сусідніми, якщо вони мають спільну сторону).

5. Під час першості класу з шахів двоє учасників, зігравши однакову кількість партій,  захворіли й вибули з турніру, а інші учасники догравали турнір до кінця. Чи грали між собою гравці, що вибули, якщо всього було зіграно 23 партії? (Турнір проводився в одне коло: кожний з кожним зіграв рівно одну партію).

Вказівки та розв'язання задач

1. Відповідь:  45. Нехай n = аb = 10a + b. За умовою задачі, 10а + b = 5(а + b), звідки випливає, що 5а = 4b, а тому b ділиться без остачі на 5, а = 4. Отже b = 5, бо якщо b = 0,тоді а = 0.

2. Відповідь:  При першому зважуванні на одну із шальок терезів кладемо гирю і всі цвяхи розкладаємо по шальках так, щоб наступила рівновага. Одержимо 13 кг і 12 кг. Першу купку відкладаємо, а другу, за допомогою гирі, ділимо навпіл. Таким чином, одержали шукану вагу цвяхів. 13+6 =19.

3. Відповідь:  нехай  S_i – площа  і-тої частини кругів, i = 1,2,3,4,5,6.За умовою S₁ + S₂ + S₄= S₂ + S₃ + S₄ +S₅ = S₄ + S₅ + S₆=а.

Тут а – натуральне число, бо усі площі кругів виражені натуральними числами.  Тоді 

3а = S₁ + 2S₂ + S₃+3S₄ + 2S₅ + S₆= (S₁ + S₃ + S₅)–( S₂+ S₅)+3(S₂₊ S₄₊ S₅).

Отже, маємо  (S₁ + S₃ + S₅)–( S₂+ S₅)= 3а – 3(S₂₊ S₄₊ S₅).

Звідси й випливає подільність на 3 різниці перших двох дужок.

4. Приклад можливого розфарбування наведено на рисунку.

с	б	ч	с	б	ч	с	б	ч
б	с	б	ч	с	б	ч	с	б
ч	с	б	ч	с	б	ч	с	б
с	б	ч	с	б	ч	с	б	ч
б	с	б	ч	с	б	ч	с	б
ч	с	б	ч	с	б	ч	с	б
с	б	ч	с	б	ч	с	б	ч
б	с	б	ч	с	б	ч	с	б
ч	с	б	ч	с	б	ч	с	б

5. Відповідь: ні, не грали. У турнірі з 6 учасниками грається 15 партій з 7 учасниками - 21 партія, з 8 учасниками - 28 партій. Тому або в турнірі брали участь, крім вибулих учасників А і В, 6 учасників і тому А і В брали участь у 8 партіях, або - 7 учасників, і тоді А і В брали участь у 2 партіях. Тому, якби вони зіграли між собою, то вони зіграли б з іншими учасниками в першому випадку 7 партій, а у другому - 1 партію, тобто не змогли .6 зіграти однакову кількість партій.