ВІДНОШЕННЯ ВІДРІЗКІВ, ЩО УТВОРЮЮТЬСЯ НА СТОРОНАХ ТРИКУТНИКА

ВІДНОШЕННЯ  ВІДРІЗКІВ, ЩО УТВОРЮЮТЬСЯ НА СТОРОНАХ ТРИКУТНИКА  ВНУТРІШНІМИ  ЛІНІЯМИ

Розглядається класична задача на знаходження відношення  відрізків, що утворюються на сторонах трикутника  прямими  лініями, які виходять з вершин трикутника і перетинаються в одній точці, якщо відомо відношення для двох відрізків.

Задача. Нехай існує трикутник АВС, у якого з вершини А та з вершини В проведено два відрізки CC₁ та ВВ₁. Ці відрізки перетинаються у точці О і точкою поділу діляться на частини

АО:ОА₁ = x:y

та

ВО:ОВ₁= p:q.

У якому відношенні ділиться точкою О відрізок СС₁, та у якому відношенні ділиться кожна сторона  трикутника АВС точками А₁, В₁, С₁?

Доведемо, що

1)   OC:OC₁= [уp + 2yq + qx]:[xp - yq];

2)   AC₁:C₁B = [q(x + y)]:[(p + q)y];

3)   AB₁ : B₁C = [px - yq]:[py + qy];

4)   BA₁ : A₁C = [xp - yq]:[qx + qy].

Розв’язання. Скористаємося методом площ. Ведемо такі позначення площ трикутників, які утворюються точкою перетину трьох прямих.  Нехай S - площа трикутника АВС,  S_OBC - площа трикутника ОВС,

S_OАC - площа трикутника ОАС, S_OBА - площа трикутника ОВА.

Складаємо відношення площ трикутників ОВС та АВС:

S_OBC :S = ОА₁:АА₁ = у:(x+y)  або  S_OBC = Sу:(x + y). 

Складаємо відношення площ трикутників ОАС та АВС:

S_OAC :S = ОВ₁:ВВ₁ = q:(p+q)  або  S_OAC = Sq:(p + q). 

Оскільки  S = S_OBC + S_OAC + S_OAB , то складаємо відношення площ трикутників ОАВ та АВС:

S_OAВ = S - S_OBC + S_OAC = S - Sу:(x + y) - Sq:(p + q),

S_OAВ = S(1 - у:(x + y) - q:(p + q)),

або  

S_OAВ : S = ОС₁:СС₁ = 1 - у:(x + y) - q:(p + q) = [xp - yq]:[(x + y)(p + q)]   

CO:OC₁=  (СС₁ – ОС₁):ОС₁ =(1− OC₁:CC₁):(OC₁:CC₁)

1− OC₁:CC₁ = у:(x + y) + q:(p + q)],

OC₁:CC₁ = [xp - yq]:[(x + y)(p + q)], 

CO:OC₁=  =  [у:(x + y) + q:(p + q)]: ([xp - yq]:[(x + y)(p + q)] ) 

OC:OC₁= [уp + 2yq + qx]: [xp - yq].

Тепер ми можемо знайти площі шести малих трикутників. Розглянемо, наприклад, трикутник АОВ₁.  Він має спільну висоту з відомим нам трикутником АОВ, а відношення основ цих трикутників  дорівнює  ВО:ОВ₁= p:q. Отже,  площа трикутника AOB₁

S_AOB1: S_AOB = q:p.

S_AOB1: S(1 - у:(x + y) - q:(p + q))  = q:p.

S_AOB1= S(1 - у:(x + y) - q:(p + q))q:p.

S_AOB1= S(xpq + yq²):[p(p + q)(x + y)].

Так само, 

S_COB1 : S_COB= q /p,

S_COB1 = qyS /(px + yp)

Звідси одразу отримаємо відношення на стороні AС:

AB₁ : B₁C = S_OAB1:S_OCB1

AB₁ : B₁C = S(xpq + yq²):[p(p + q)(x + y)]:[ qyS /(px + yp)]

AB₁ : B₁C = x:y – [qx + yq]:[py + qy]

AB₁ : B₁C = [px - yq]:[py + qy]

Повторюючи ті самі міркування щодо інших чотирьох трикутників, знаходимо відношення на стороні BС:

1)   S_OA1C : S_OAC = y:x,      враховуючи, що  S_OAC = Sq:(p + q),  отримаємо 

S_OA1C = S[yq]:[xp + xq]

S _OA1B : S_OAB = y:x,   враховуючи, що  S_OAВ = S[xp - yq]:[(x + y)(p + q)]  

отримаємо  S_OA1B = S[xyp – qy²]:[x(x + y)(p + q)].  

BA₁ : A₁C = S_OBA1: S_OA1C

S_OBA1: S_OA1C = (S[yq]:[xp + xq])( S[xyp – qy²]:[x(x + y)(p + q)])

Таким чином, отримаємо відношення на стороні ВС:

BA₁ : A₁C = p:q - [yp + yq]:[qx + qy]

BA₁ : A₁C = [xp - yq]:[qx + qy]

2)   S _AOC1: S_OAC = [y(p + q) + q(x + y)]:[xp − yq],

враховуючи, що     

S_OAC = Sq:(p + q),   

oтримаємо S_OAC1= Sq[y(p + q) + q(x + y)]:[(xp − yq)(p+q)],     

S _BOC1 : S_OBC = [y(p + q) + q(x + y)]:[xp − yq], 

враховуючи, що     

  S_OBC = Sу:(x + y),  

отримаємо

S_OBC1 = Sy[y(p + q) + q(x + y)]:[(xp  – yq)(x + y)],   

Таким чином, отримаємо відношення на стороні AB:

AC₁:C₁B = S_AOC1 : S_BOC1

AC₁:C₁B = [q(x + y)]:[(p + q)y]