8 клас. 3 математична олімпіада

3  математична олімпіада 

1. Чи існують такі прості  числа вигляду 0,5n(n+1) – 1, де n – натуральне число. Обґрунтувати  відповідь.

2. Дано шість чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Дозволяється до будь-яких двох з них додавати 1. Чи можна зробити всі числа рівними?        

3. Шахова дошка розміром 6x6 покрита 18 кісточками доміно (кожна кісточка покриває дві клітини дошки). Доведіть, що незалежно під способу розміщення дошку завжди можна розрізати вздовж вертикальної чи горизонтальної прямої на дві частини, не пошкодивши жодної кісточки доміно.

4. Куб розбито на 27 однакових кубиків. У початковий момент жук знаходиться в центральному кубику. З кожного кубика жук може перехо­дити до сусіднього, що має з ним спільну грань. Чи зможе жук обійти всі кубики, побувавши в кожному по одному разу?

5. Двоє по черзі знімають зі столу фішки. За один раз дозволяється, зняти зі столу 1, 10 або 11 фішок. Виграє той,  хто зніме останню фішку. Перед початком гри на столі було 40 фішок. Хто виграє за умови дотри­мання правил гри – той, хто починає гру, чи його суперник?

6. Довести, що рівняння 2х² – 5у² = 7 не має цілих розв’язків.

Розв’язки завдань.

1. Вказівка. Існує два розв’язки, n = 2,    n = 3.  Застосуємо спосіб від супротивного. Припустимо, що існують. Тоді 0,5n(n+1) – 1 =  0,5(n+2)(n–1) добуток чисел є парним чис­лом, і кожний множник більше від 2 для n >3.  Отже, якщо n = 2,    n = 3,  то маємо прості числа 2 та 5, і   більше не існує . Відповідь. Існує, це 2 та 5.

2. Вказівка. Сума цих чисел дорівнює 21 і є числом непарним. Якщо  до будь-яких  двох чисел додати 1, то сума всіх чисел збільшиться на 2 і залишиться не­парною. Якби вдалося всі шість чисел зробити рівними, то їх сума була б числом парним. Отже, відповідь на питання задачі є негативною. Відповідь. Не можна.

3. Вказівка. Кожна кісточка доміно перекриває лише одну з 10 горизонтальних і вертикальних ліній, якими розкреслена дошка. З іншого боку, кожна така лінія перетинає парне число кісточок. Доведемо це від супротивного. Нехай, наприклад, деяка вертикальна лінія перетинає непарну кількість  кісточок. Розріжемо дошку вздовж цієї лінії і розглянемо одну з двох утво­рених  прямокутних дошок. Вона має  парне число клітинок, а кількість клітинок, покритих розрізаними половинками кісточок, – непарна. Тоді нерозрізані кісточки покривають також непарне число клітинок (інакше загальне число клітинок  дошки було б непарним).  Це неможливо, оскільки кожна кісточка покриває дві клітинки. Припустимо тепер, що  кожна із 10 ліній, що розглядаються, перетинає хоча б одну кісточку доміно. Тоді кількість кісточок, що кожна лінія перетинає, не менше ніж 2. Звідси випливає, що на дошці розміщено не менше ніж 20 кісточок доміно, що неможливо.

4. Вказівка. Перефарбуємо всі кубики в білий та чорний кольори в шаховому по­рядку так, щоб центральний кубик був білим, Тоді білих кубиків 13, а чорних 14. Під час переходу жук змінює колір кубика на протилежний. Тому, починаючи з білого, він має закінчити обхід теж у білому, тобто побувати в білих кубиках 14 раз. Отже, відповідь на запитання задачі негативна.

5. Вказівка. Будемо розв'язувати задачу з кінця. Якщо припустити, що на столі залишилася одна фішка, то ситуація є виграшною для того гравця, чия черга ходити. Він бере цю фішку й виграє. Якщо залишилось дві; фішки – позиція програшна для того, чия черга ходити. Будемо записувати числа 1, 2, 3, ... зі знаками «+» або «–» залежно від того, виграшною чи про­грашною є дана позиція для гравця,  який робить хід. Тоді якщо гравець певним ходом (знявши 1, 10 або 11 фішок) може створити програшну позицію для свого суперника (бо його черга ходити), то для нього початко­ва ситуація є виграшною. Тепер можна з'ясувати по черзі для всіх чисел 1, 2, 3, ... Виграшною чи програшною є ситуація для даної кількості фішок на столі. Для чисел від 1 до  9 знаки «+» або «–» розставляються по черзі. Числа 10, 11, 12, 13, ...,19 є виграшними, 20 - програшним (будь-яким ходом можна досягнути лише чисел 9, 10 і 19, які є виграш­ними для суперника). Помітивши закономірність (знаки через'20 чисел повторюються), можемо легко продовжити розставляння знаків. Неваж­ко переконатися, що число 40 має знак «–», тобто за правильної гри дру­гий гравець виграє. Відповідь. Другий гравець виграє.

6. Вказівка.  Число у повинно бути непарним, бо

2х² – 5у² = 7,

2х² – 6 - 1 = 5у²,

2(х² – 3) – 1 = 5у².

Нехай у = 2n +1, тоді маємо рівняння

2х² – 5(2n +1)² = 7,

після перетворення  отримаємо, 

х² – 10n(n +1) = 6,

х² = 10n(n +1) + 6.

Звідси слідує, що число х повинно бути парним.

Нехай х = 2m, тоді

4х² – 10n(n +1) = 6,

Поділимо все рівняння на 2:

2х² – 5n(n +1) = 3,

Останнє рівняння немає цілих розв’язків, бо ліва частина  завжди ділиться на 2, а права частина є непарним числом 3.