середа, 25 лютого 2015 р.

УПОРЯДКОВАНІ НАБОРИ ЧИСЕЛ. Нерівність Чебишева

УПОРЯДКОВАНІ НАБОРИ ЧИСЕЛ

Одна властивість упорядкованих наборів

Почнемо з цікавої нерівності.
Задача 1. Довести, що для будь-яких додатних чисел а, b, с спра­ведливі співвідношення
a∙2-a + b∙2-b + с∙2-c £  (b+c)∙2-a-1 + (a+c)∙2-b-1 + (b+a)∙2-c-1 £
£ a∙2a-b-c + b∙2b-a-c + с∙2c-a-b        (1.1)
Один з можливих підходів до розв'язування полягає в наступно­му.
Розглянемо дві трійки додатних чисел:
x12, х3;              y1 ,y 2, y3;  
Вважатимемо, що обидві трійки упорядковані за зростанням, тобто
x1 £ х2 £ х3;             y1 £y 2 £ y3

Утворимо суму
S = х1уі + х2уj + х3yк.
Тут і, j, k – номери 1, 2, 3, записані в довільному порядку.

Як ви­брати цей порядок так, щоб сума S виявилася найбільшою (наймен­шою) з можливих?

Виявляється (нижче це буде строго доведено), що сума буде більшою, якщо більші числа множити на більші, а менші на менші.
Також сума буде меншою, якщо більші числа множити на менші, а менші на більші.

Іншими словами, справедлива нерівність
х1у32у23y1 £ S £  х1у12у23y3.                        (1.2)

Розв'язання задачі 1
Доведемо спочатку першу з нерівностей (1.1). Запишемо дві трійки
чисел, вважаючи
а £  b £  с,
 а  тому
2-c  £  2-b  £  2-a
а,   b,   с;
2-a  ,  2-b  , 2-c.
 Ми розмістили найбільше з чисел першої трійки над найменшим із чисел другої трійки, найменше з чисел першої трійки розташова­но над найбільшим із чисел другої трійки. З нерівності (1.2) випли­вають співвідношення:
a∙2-a + b∙2-b + с∙2-c £  a∙2-b + b∙2-c + c∙2-a,
a∙2-a + b∙2-b + с∙2-c £ a∙2 -c + b∙2-a + с∙2-b.

Додаючи ці нерівності, одержуємо
2∙(a∙2-a + b∙2-b + с∙2-c ) £  (b+c)∙2-a + (a+c)∙2-b + (b+a)∙2-c.

Для доведення другої з нерівностей (1.1) розглянемо трійки чисел:
a∙2a ,   b∙2b ,   с∙2c ;
2a ,  2b , 2c ;
Оскільки
0 < а  £  b £  с,
то
2a  £    2b  £   2c
і
a∙2a   £     b∙2b   £     с∙2c.
Тому з нерівності (1.2) випливає
a∙2a+b + b∙2b+c + с∙2a+c £  a∙22a + b∙22b + с∙22c,
a∙2a+c + b∙2b+a + с∙2b+c £  a∙22a + b∙22b + с∙22c.

Додаючи ці нерівності, маємо
(a+b)∙2a+c + (b+c)∙2b+c + (a+с)∙2a+c £  2(a∙22a + b∙22b + с∙22c) . (1.3)
Помноживши обидві частини нерівності (1.3) на 2-a-b-c  одержи­мо шукане співвідношення.

У розв'язанні задачі 1 особливу роль відіграли впорядковані трійки чисел. Розглянемо тепер набори з n чисел. Числам у наборах присвоєно номери
1, 2,..., n.
Означення. Набір чисел а,, а2,..., аn називається упорядкованим за зростанням, якщо для кожного k:
1 £  k £ n-1,
має місце нерівність
ак £  аk+1,
 і називається упорядкованим за спаданням, якщо з нерівності
1 £  k £ n-1,
випливає співвідношення
ак+1 £ аk .
Набір чисел, упорядкова­ний або за зростанням, або за спаданням, називається упорядкованим.
Іншими словами, упорядкованість за зростанням даних чисел збе­рігає порядок, тобто більшим індексам відповідають більші числа.
Упорядкованість за спаданням змінює порядок на протилежний:
більшим індексам відповідають менші числа.

Теорема. Набір чисел {аk, 1£ k £ n } упорядкований тоді і тільки тоді, коли
1 2|+...|аn-1 n|  = |а1 –аn|.
Довести самостійно.
Дамо геометричне тлумачення:   абсолютна величина чисел аk,
|a1|£k| £ |an|.
Перейдемо тепер до доведення нерівності (1.2), точніше, до її уза­гальнення.
Теорема 1. Нехай дано два упорядкованих за зростанням набори чисел:
а1  £ а2   £ ...  £  аn-1  £   аn ;   
b1  £ b 2   £ ...  £  b n-1  £   b n    
Для довільної перестановки
i(1), i(2),..., i(n)
чисел
1, 2,..., n
і відпо­відної суми
S = а1b i(1) + а2 bi(2 ) + ...  + аn-1 bi(n-1)  + аnb i(n)
виконуються нерівності
а1bn  + а2 bn-1    + ...  +  аn-1 b2   +   аnb1  £   S £ а1b1  + а2 b2    + ...  +  аn-1 bn-1   +   аnbn. (*)   


Доведення Доведемо справедливість тільки другої з нерівностей (1.4) (першу доведіть самостійно).
Перевіримо спочатку виконання нерівності (*) якщо n = 2. Не­тотожна перестановка чисел 1, 2 є перестановкою i(1) = 2, i(2) =1,  1 вираз (1.4) перетворюється у і нерівність
а1b2  + а2 b1     £   а1b1  + а2 b2            (1.5)
яка рівносильна очевидній нерівності
0 £2 –а1 )(b2 -b1).
Тепер нескладно довести наше твердження для довільного  n. Справді, нехай сума S  містить доданки
аjbi,   та          аmbk ,
для яких
j < mi  > k
і, отже,
bi   >=  bk .
Поміняємо місцями числа
bi   та   bk  .
Згідно з нерівністю (1.5) одержимо суму   
S>= S
з доданками
аjbk,   та          аmbi ,
По­слідовно виконуючи такі перестановки, через скінченну кількість кроків прийдемо до суми
а1b1  + а2 b2    + ...  +  аn-1 bn-1   +   аnbn.
Тому
S’  £ а1b1  + а2 b2    + ...  +  аn-1 bn-1   +   аnbn.

Завдання 3. Оцінити, скільки кроків достатньо, щоб суму S  пере­творити в S.
Завдання 4. Чи не можна послабити вимогу додатності чисел а, b, с у задачі 1?
Завдання 5. Коли в одній з нерівностей (1.4) можлива рівність?
Теорема  дає можливість доводити багато цікавих нерівностей. Докладніше про це див. у статті Л.Пінтера, И.Хегедиша «Упорядоченные наборы чисел и неравенства» («Квант», 1985, № 12).

Нерівність Чебишова
Зупинимося на одному із застосувань доведеної теореми. Розгля­
немо два упорядкованих за зростанням набори:
а1  £ а2   £ ...  £  аn-1  £   аn ;   
b1  £ b 2   £ ...  £  b n-1  £   b n .   
Теорема 1. Справедливим є співвідношення

(а1 + а+ ...+ аn-1 + аn)(b1 +b2 +...+ bn-1 +bn) £ n(а1b1 + а2 b+ ...+ аn-1 bn-1 + аnbn). (2.1)
Доведення.
Попередня  теорема стверджує,  що
S = а1b1  + а2 b2    + ...  +  аn-1 bn-1   +   аnbn  >= а1b i(1) + а2 bi(2 ) + ...  + аn-1 bi(n-1)  + аnbi(n)
Послідовно перебираючи перестановки
i(1), i(2),..., i(n)
одержує­мо n нерівностей:
а1b1  + а2 b2    + ...  +  аn-1 bn-1   +   аnbn  £ S,
а1b2  + а2 b3    + ...  +  аn-1 bn+   аnb1  £ S ,
а1b3  + а2 b4    + ...  +  аn-1 b1   +   аnb2  £ S ,
…………………………………………….
а1bn  + а2 b1    + ...  +  аn-1 bn-1   +   аnbn-1  £ S .
Додамо їх і отримаємо
а1(b1 +b2 +...+ bn-1 +bn)+
а2(b1 +b2 +...+ bn-1 +bn) +
...
+ аn(b1 +b2 +...+ bn-1 +bn) =
= (а1 + а+ ...+ аn-1 + аn)(b1 +b2 +...+ bn-1 +bn) £ nS.

Цю нерівність називають нерівністю Чебишо­ва за ім'ям видатного російського математика і механіка, засновника петербурзької математич­ної школи Пафнутія Львовича Чебишова (18121894). Основні його праці стосуються математич­ного аналізу, теорії наближення функцій поліно­мами, теорії чисел, теорії ймовірностей, теорії машин і механізмів.

Завдання 1. Довести, що у нерівності Чебишо­ва рівність досягається тоді і тільки тоді, коли або всі аk або всі bі  рівні між собою.

Немає коментарів:

Дописати коментар