Задача 1. Чи можна 7-кутник розрізати на паралелограми?
Вказівка. Ні не можна. Якщо опуклий многокутник можна розрізати на паралелограми, то його сторони обов’язково розбиваються на пари паралельних сторін.
Задача 2. На дошці 15х15 розставлені 15 шашок, причому їх розміщено симетрично відносно діагоналі. Доведіть, що одна з шашок розташована на діагоналі.
Вказівка. Оскільки в протилежному випадку шашки розбиваються на пари симетричних, то на діагоналі обов'язково повинно стояти непарне чи¬сло шашок.
Зауваження. При розв'язанні останньої задачі часто ви¬никають логічні труднощі. Це пов'язано з тим, що на діагоналі можуть бути не одна, а довільна кількість шашок. Для цієї задачі наше тверд¬ження про розбиття на пари можна формулювати таким чином: якщо з непарної кількості предметів зроблено кілька пар, то хоча б один з предметів буде без пари.
Задача 3. На дошці 25х25 розставлені 25 шашок, причому їх розміщено симетрично відносно обох головних діагоналей. Доведіть, що одна з шашок стоїть у центральній клітинці.
Доведення. Спосіб від супротивного. Припустимо, що це не так. З'єднаємо ниткою шашки, симетричні підносно будь-якої з діагоналей. Після цього будемо розглядати групи шашок, сполучених нитками, як окремі "намиста". Тоді в кожному "намисті" — або дні, або чотири шашки. Значить, загальна кількість шашок має бути парною. Суперечність.
Задача 4. У кожній клітинці квадратної таблиці розміром 9х9 записано одне з чисел 1, 2,3,..., 9. При цьому, по-перше, в клітинках, симетричних відносно головної діагоналі, записано рівні числа, і по-друге, ні в якому рядку та ні в якому стовпчику немає двох рівних чисел. Доведіть, що числа на головній діагоналі є попарно рівними.
Вказівка: Оскільки одиниць 9 штук, то на головній діагоналі повинна бути хоча б одна одиниця (див. розв'язок задачі 13). Аналогічно, на головній діагоналі є двійка, трійка і т.д.
Задача 5. Чи можна розміняти 27 карбованців за допомогою десяти купюр вартістю 1, 3 та 5 карбованців?
Зауваження. Розв'язання задачі 5 грунтується на простому спостереженні:
сума парної кількості непарних чисел є парною.
Узагальнення цього факту виглядає так:
парність суми кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків: якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то-і сума також є (не)парною.
Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:
2∙n + 2∙k + … + 2∙f + 2∙q = 2∙(n + k + … + f + q) = 2∙m
СУМА БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.
2∙n – 2∙k – … – 2∙f – 2∙q = 2∙(n – k – … – f – q) = 2∙m
РІЗНИЦЯ БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.
(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f + q)- 2s = 2∙(m-s)
СУМА ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.
(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f + q)- 2s -1 = 2∙(m-s) - 1
СУМА НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ НЕПАРНА.
Таким чином, парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є завжди парним числом.
Задача 6. Петро купив загальний зошит на 96 аркушів і пронумеру¬вав всі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. Василь вирвав з цього зошита 35 аркушів і додав всі 70 чисел, що на них були написані. Чи міг він дістати 1990?
Вказівка. Ні не можна. Якщо опуклий многокутник можна розрізати на паралелограми, то його сторони обов’язково розбиваються на пари паралельних сторін.
Задача 2. На дошці 15х15 розставлені 15 шашок, причому їх розміщено симетрично відносно діагоналі. Доведіть, що одна з шашок розташована на діагоналі.
Вказівка. Оскільки в протилежному випадку шашки розбиваються на пари симетричних, то на діагоналі обов'язково повинно стояти непарне чи¬сло шашок.
Зауваження. При розв'язанні останньої задачі часто ви¬никають логічні труднощі. Це пов'язано з тим, що на діагоналі можуть бути не одна, а довільна кількість шашок. Для цієї задачі наше тверд¬ження про розбиття на пари можна формулювати таким чином: якщо з непарної кількості предметів зроблено кілька пар, то хоча б один з предметів буде без пари.
Задача 3. На дошці 25х25 розставлені 25 шашок, причому їх розміщено симетрично відносно обох головних діагоналей. Доведіть, що одна з шашок стоїть у центральній клітинці.
Доведення. Спосіб від супротивного. Припустимо, що це не так. З'єднаємо ниткою шашки, симетричні підносно будь-якої з діагоналей. Після цього будемо розглядати групи шашок, сполучених нитками, як окремі "намиста". Тоді в кожному "намисті" — або дні, або чотири шашки. Значить, загальна кількість шашок має бути парною. Суперечність.
Задача 4. У кожній клітинці квадратної таблиці розміром 9х9 записано одне з чисел 1, 2,3,..., 9. При цьому, по-перше, в клітинках, симетричних відносно головної діагоналі, записано рівні числа, і по-друге, ні в якому рядку та ні в якому стовпчику немає двох рівних чисел. Доведіть, що числа на головній діагоналі є попарно рівними.
Вказівка: Оскільки одиниць 9 штук, то на головній діагоналі повинна бути хоча б одна одиниця (див. розв'язок задачі 13). Аналогічно, на головній діагоналі є двійка, трійка і т.д.
Задача 5. Чи можна розміняти 27 карбованців за допомогою десяти купюр вартістю 1, 3 та 5 карбованців?
Зауваження. Розв'язання задачі 5 грунтується на простому спостереженні:
сума парної кількості непарних чисел є парною.
Узагальнення цього факту виглядає так:
парність суми кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків: якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то-і сума також є (не)парною.
Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:
2∙n + 2∙k + … + 2∙f + 2∙q = 2∙(n + k + … + f + q) = 2∙m
СУМА БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.
2∙n – 2∙k – … – 2∙f – 2∙q = 2∙(n – k – … – f – q) = 2∙m
РІЗНИЦЯ БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.
(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f + q)- 2s = 2∙(m-s)
СУМА ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.
(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f + q)- 2s -1 = 2∙(m-s) - 1
СУМА НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ НЕПАРНА.
Таким чином, парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є завжди парним числом.
Задача 6. Петро купив загальний зошит на 96 аркушів і пронумеру¬вав всі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. Василь вирвав з цього зошита 35 аркушів і додав всі 70 чисел, що на них були написані. Чи міг він дістати 1990?
Відповідь: ні, не могло. Вказівка. На кожному аркуші сума номерів сторінок непарна, а сума 35 непарних чисел непарна.
Задача 7. Добуток 22 цілих чисел дорівнює 1. Доведіть, що їх сума не дорівнює нулю.
Вказівка. Серед цих чисел — парне число "мінус одиниць", а для того, щоб сума дорівнювала нулю, їх має бути рівно 11.
Задача 8. Чи можна скласти магічний квадрат з перших 36 простих чисел?
Відповідь: ні, не можна. Серед цих чисел одне (це 2) – парне, а інші непарні. Тому в рядку, де стоїть двійка, сума чисел непарна, а в інших — парна.
Задача 9. В ряд записано числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними знаки "+" та "–" так, щоб значення отриманого виразу дорівнювало нулю?
Відповідь: ні, не можна. І справді, сума чисел від 1 до 10 дорівнює 55, і змінюючи в неї знаки, ми змінюємо весь вираз на парне число.
Зауваження. Врахуйте, що від'ємні числа також бувають парними та непарними.
Задача 10. Коник-стрибунець стрибає вздовж прямої, причому пер¬шого разу він стрибнув на
Вказівка. Доводиться так само, як і в задачі 20, бо сума 1 + 2 + … + 1985 непарна.
Задача 11. На дошці виписано числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Дозволя¬ється стерти з дошки будь-які два числа і замість них записати модуль їх різниці. Врешті-решт на дошці залишається одне число. Чи може воно дорівнювати нулю?
Відповідь: ні, не може. Перевірте, що при зазначених операціях парність суми всіх написаних на дошці чисел не змінюється.
Немає коментарів:
Дописати коментар