Задачі при розв'язуванні яких використовуються ознаки подільності чисел.
Самостійна робота 1
Для розв'язування задач ми використаємо вивчені ознаки подільності чисел.
Рівень А
1) Знайдіть найбільше парне трицифрове число.
Розв'язання.
Найбільше трицифрове число 999 - непарне. Йому передує парне число 998. Отже, найбільше парне трицифрове число 998.
Відповідь. 998.
Покажіть, що сума двох непарний чисел - число парне.
2) Якщо число ? і b непарні, то і , де n і m - деякі натуральні числа. Тоді , а це число парне.
3) Які з чисел 2,4,12,15,20,30,35,40,110 є дільниками числа 180?
Рівень В
4) Запишіть найбільше чотирицифрове число, яке кратне 3, але не кратне 9.
Розв'язання.
Найбільше чотирицифрове число 9999 - непарне. Воно ділиться і на 3 і на 9. Якщо це число зменшити на 3, то воно стане 9996 і буде кратне числу 3, але не кратне 9.
Відповідь. 9996.
5) Знайдіть серед чисел виду три числа, кратні 5.
Розв'язання.
Для того, щоб число виду ділилося на 5, необхідно, щоб остання цифра в записі цього числа була 0 або 5. Нехай ці числа закінчуються 0, тоді числу виду повинні закінчуватися на 9 і ділитися на 3.
Розглянемо деякі з них, що задовольняють першу вимогу.
9,19,29,39,40,59,69,…
Виберемо з них ті, що задовольняють і другу вимогу.
9,39,69,…
Отже, серед чисел виду на 5 діляться числа:
9+1=10, 39+1=40, 69+1=70.
Відповідь. 10; 40; 70.
6) Знайти найбільше число, дільниками якого є числа 3,5, і 7.
Рівень С
7) Маємо 7 жетонів з цифрами 1,2,3,4,5,6,7. Довести, що жодне з семизначних чисел, складених з тих жетонів, не діляться на інше.
Розв'язання.
Нехай ? і b - семизначні числа, складені з жетонів. Припустимо, що ? ділиться на b і . Отже, також ділиться на b. Зрозуміло, що . З іншого боку, ділиться на 9, а b не ділиться на 9. Тому ділиться на 9. Отримали протиріччя.
8) Знайдіть три числа, які мають тільки три дільника.
9) Знайдіть три числа, які мають тільки чотири дільника.
Самостійна робота 1
Рівень А
1. Запишіть по два тризначні числа, які:
а) діляться на 2; б) діляться на 5; в) діляться на 10;
г) діляться на 2, але не діляться на 5;
д) діляться на 5, але не діляться на 10;
е) діляться і на 2, і на 5.
2. Із чисел 34, 150, 727, 864, 8800, 1000, 3205, 23 158, 753 435 випишіть ті, які діляться на 2; на 5; на 10.
3. Допишіть праворуч до числа 28 таку цифру, щоб утворене число ділилося на 2; на 5; на 10.
4. Замість зірочки запишіть таку цифру, щоб число 127* було парним; непарним; ділилося на 5; на 10.
5. Чи ділиться добуток 518 375 * 436 833 * 385 144 на 2; на 5; на 10?
6. Чи ділиться сума 2126 + 3578 + 731 на 2; на 5; на 10?
7. Використовуючи цифри 0, 1,4, 5, 7, запишіть шість чотирицифрових чисел, кожне з яких не містить однакових цифр і два з яких діляться на 2, два - на 5, два - на 10.
8. Використовуючи цифри 0, 2, 6, 9, запишіть три чотирицифрових числа, кожне з яких не містить однакових цифр і перше з яких ділиться на 2, друге - на 5, третє - на 10.
Рівень В
1. Використовуючи кожну з цифр один раз, запишіть найменше натуральне число, яке ділиться на 2; на 5; на 10.
2. Використовуючи кожну з цифр один раз, запишіть найбільше натуральне число, яке:
а) ділиться на 2, але не ділиться на 10;
б) ділиться на 5, але не ділиться на 2.
3. Запишіть найменше чотирицифрове число, яке ділиться на 10 і сума цифр якого дорівнює 10.
4. Запишіть найбільше чотирицифрове число, яке ділиться на 10 і сума цифр якого дорівнює 11.
5. Випишіть усі натуральні числа, розміщені між числами 179 і 205, які діляться на 2, але не діляться на 5.
6. Дано ряд чисел 1, 2, 3,…, 99, 100. Скільки серед них є парних і скільки непарних? Скільки чисел ділиться на 5 і скільки на 10?
7. Чи правильне твердження:
а) якщо число ділиться на 10, то воно ділиться і на 2, і на 5;
б) якщо число ділиться на 5, то воно ділиться на 10;
8. Серед чисел 93, 105, 172, 308, 400, 1511, 2005, 31 510, 113 575, 5 347 300 назвіть ті, що діляться на 2; на 5; на 10.
2.2.2 Розкладання цілих чисел на прості множники
Щоб розв'язувати задачі з цього розділу, ми повинні вміти розкладати цілі числа на множники.
Рівень А
1) Розкласти число 210 на прості множники.
210 2 Проведемо праворуч від даного числа вертикальну риску і
105 3 знайдемо перший його найменший дільник. Це буде 2.
35 5 Поділимо 210 на 2 і запишемо частку 105 ліворуч від риски
7 7 під даним числом. Знайдемо тепер найменший дільник для
1 105, поділимо на нього це число, а частку 35 запишемо знову ліворуч. Наступні дії виконуємо так само. Отже, ми розклали наше число на прості множники.
2) Чи можна розкласти на прості множники число 1?
Розв'язання.
Не можна, бо кожне просте число більше від 1, а добуток чисел, кожне з них більше за 1, не може дорівнювати 1.
Відповідь. Не можна.
3) Яке найменше трицифрове число можна розкласти на два однакові прості множники?
Розв'язання.
7*7=49-число не трицифрове, 11*11=121-трицифрове. Отже, шукане число дорівнює 121.
Відповідь. 121.
Рівень В
4) Знайти всі дільники числа 126
Розв'язання.
Розкладемо число 126 на прості множники:
126=2*3*3*7
Дільниками числа 126 є: 1, прості числа 2,3,7 в одержаному розкладі та всі можливі добутки цих чисел, тобто:
1; 2; 3; 7; 2*3; 2*7; 3*3; 3*7; 2*3*3; 2*3*7; 3*3*7; 2*3*3*7.
Отже, дільниками числа 126 є: 1,2,3,7,6,14,9,21,18,42,63,126.
Відповідь. 1,2,3,7,6,14,9,21,18,42,63,126.
5) Розкласти на прості множники: 65 і 84.
Розв'язання.
65 5 84 2
13 13 42 2
1 21 3
65=5*13 7 7
1
6) На скільки одиниць те число, яке розкладається на множники 2,5,9 і 11, більше від того числа, що розкладається на доданки 2,5,9 і 11?
Рівень С
7) Чи може периметр прямокутника, довжини сторін якого виражається натуральними числами, бути простим числом? Чому?
Розв'язання.
Периметр прямокутника знаходиться за формулою , де ? і b довжини сторін прямокутника. Отже, периметр прямокутника - парне число, тому він не може бути простим числом. Єдине пране просте число - це 2.
Відповідь. Не може.
7) Із цифр 3,4,5,6 складіть усі трицифрові числа, які діляться на 15.
8) Замініть зірочки такими цифрами, щоб рівність була правильною:
а) ; б)
Самостійна робота №2
Рівень А
1. Розкладіть на прості множники числа:
а) 28,35,56,64,67; 6) 120,165,459,2000,17 787.
2. Чи ділиться число c= 23 - 3 * 163 на 2; на 6; на 12?
3. Чи ділиться число c = 23 * З3 * 52 на 7 на 5; на 6; на 16; на 35?
4. Знайдіть усі дільники числа n, якщо:
а) n = 3-7 11; б) n = 22-17.
5. Знайдіть усі дільники чисел:
113. а) 42, 106, 110; б) 44, 54, 140.
Рівень Б
1. Знайдіть усі дільники числа n = 23 * 41.
2. Знайдіть усі дільники числа 3144.
3. Знайдіть усі двоцифрові числа, розклад яких на прості множники складається із двох однакових множників.
4. Знайдіть усі двоцифрові числа, розклад яких на прості множники складається з двох множників, одним з яких є 17.
2.2.3 Задачі на знаходження НСД. Самостійна робота 3.
Щоб розв'язувати задачі на знаходження НСД ми повинні знати алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника.
Рівень А
1) Знайдіть НСД чисел 72,108.
Щоб знайти НСД (72,108), треба числа 72 і 108 розкласти на прості множники.
Спільними множниками цих чисел є: 2,2,3,3.
Отже, використовуючи алгоритм знаходження НСД маємо: НСД (72,108)=
Відповідь. 36
2) Яку найбільшу кількість однакових букетів можна скласти із 6 волошок і 9 ромашок?
Розв'язання.
Треба знайти найбільше число, на яке ділиться 6 і 9, тобто найбільший спільний дільник цих чисел. НСД (6,9)=3. Отже, можна скласти 3 букета.
Відповідь. 3 букета.
3) Випишіть усі дільники чисел 18 і 24 і підкресліть їх спільні дільники.
Розв'язання.
число 18 його дільники: 1, 2, 3, 6, 9, 18
число 24 його дільники: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Спільними дільниками (вони підкреслені) чисел 18 і 24 є числа 1, 2, 3, 6, найбільшим з них є 6. Число 6 є найбільшим натуральним числом, на яке діляться і 18, і 24.
Найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне з даних чисел, називають найбільшим спільним дільником цих чисел.
Отже, найбільшим спільним дільником чисел 18 і 24 є число 6.
НСД (18; 24) = 6.
Відповідь. 6.
Рівень В
4) Знайти найбільший спільний дільник чисел 210 і 294.
Розв'язання.
Розглянемо ще один спосіб знаходження найбільшого спільного дільника, взявши числа 210 і 294. Розкладемо кожне із цих чисел на прості множники:
210 = 2 * 3 * 5 * 7; 294 = 2*3*7*7.
Підкреслимо всі спільні прості множники в розкладах даних чисел: 2, 3, 7. Числа 210 і 294 діляться на кожне із чисел 2, 3, 7 і на їх добуток: 2*3*7 = 42. Число42 є найбільшим спільним дільником чисел 210 і 294:
НСД (210; 294) = 42.
Відповідь. 42.
5) Яку найбільшу кількість однакових букетів можна скласти із 24 волошок і 32 ромашок, використавши всі квіти?
Розв'язання.
3 даних квітів можна, наприклад, скласти 2 букети, у кожному з яких буде 12 волошок і 16 ромашок. Не можна скласти три букети, бо 32 ромашки не можна розділити на 3 однакові частини. Можна скласти чотири однакові букети, бо і 24 волошки, і 32 ромашки можна розділити на 4 однакові частини. Очевидно, що для розв'язання задачі потрібно знайти найбільше число, на яке можна розділити 24 волошки і 32 ромашки, тобто знайти найбільший спільний дільник чисел 24 і 32. Оскільки НСД (24; 32) = 8, то найбільше можна скласти 8 однакових букетів. Кожний такий букет складатиметься із 24: 8 = 3 волошок і 32: 8 = 4 ромашок.
Відповідь. 8.
Рівень С
6) Натуральні числа ? і b - взаємно прості. Довести, що НСД (?+b,)=1 або 2.
Доведення.
Припустимо, що числа діляться на d.
Тоді число також діляться на d. Тому числа також діляться на d. За умовою числа ? і b - взаємно прості, тому числа також взаємно прості.
Отже, d=1 або 2.
Відповідь. 1 або 2.
7) Аркуш паперу, що має форму прямокутника зі сторонами 60 см і 48 см, розрізали на найбільші з усіх можливих квадратів. Скільки утворилося таких квадратів?
8) Прямокутний паралелепіпед, що має довжину 42 см, ширину 30 см і висоту 18 см, розрізали на однакові найбільші куби. Скільки утворилося таких кубів?
Самостійна робота 3
Рівень А
1. Знайдіть найбільший спільний дільник чисел , якщо:
а) = 2 * 2 * 3 * 5 * 5, = 2 * 5 * 5 * 7;
б) = 3 * 7 * 7 * 7 * 11, = 2*7*7*41.
2. Знайдіть найбільший спільний дільник чисел:
а) 12 і 8; б) 36 і 48; в) 50 і 175; г) 100 і 81;
д) 308 і 324; е) 210 і 330; є) 2, 6 і 18; ж) 24, 36 і 42.
3. Знайдіть найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дробу:; ; в; г
4. Чи є взаємно простими числа:
а) 3 і 1000; б) 49 і 240; в) 154 і 165; г) 14 332 і 8156?
5. Запишіть усі числа, менші за 12 і взаємно прості із числом 12.
6. Запишіть усі правильні дроби зі знаменником 8, у яких чисельник і знаменник є взаємно простими числами.
7. Запишіть усі неправильні дроби із чисельником 6, у яких чисельник і знаменник є взаємно простими числами.
Рівень Б
1. Знайдіть хоча б три значення а, за яких найбільшим спільним дільником чисел 18 і а є число 6.
2. Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна скласти із 48 цукерок і 36 яблук, якщо використати всі цукерки й усі яблука?
3. Прямокутний аркуш паперу завдовжки 56 см і завширшки 48 см потрібно розрізати без відходів на найменшу кількість рівних квадратів. Скільки квадратів одержимо?
4. Дерев'яний брусок завдовжки 48 см, завширшки 30 см і заввишки 24 см потрібно розрізати без відходів на найменшу кількість рівних кубів. Скільки кубів одержимо?
5. Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна скласти з 90 мандаринів, 405 цукерок і 135 пряників, якщо потрібно використати всі мандарини, цукерки і пряники?
6. Між усіма учнями класу розділили порівну 58 зошитів у лінійку і 87 зошитів у клітинку. Скільки учнів у класі? Скільки зошитів у лінійку і скільки у клітинку отримав кожен учень?
7. У кімнаті завдовжки 625 см і завширшки 475 см вирішили викласти долівку однаковими декоративними плитками квадратної форми, не розрізуючи їх. Який найбільший можливий розмір такої плитки? Скільки плиток найбільшого розміру потрібно, щоб викласти ними долівку?
Немає коментарів:
Дописати коментар