Теорема Птолемея

Вписанні 4-кутники і їх властивості

     Означення 1. Колом, описаним навколо чотирикутника, називають коло, що проходить через всі вершини чотирикутника (рис.1). У цьому випадку чотирикутник називають чотирикутником, вписаним в коло, або вписаним чотирикутником.

Рис.1

      Чотирикутники вписані в коло властивості

   

       Теорема 1. Якщо чотирикутник вписаний в коло, то суми величин його протилежних кутів дорівнюють 180 °.

       Доведення. Кут ABC є вписаним кутом, що спирається на дугу кола ADC (рис.1). Тому величина кута ABC дорівнює половині кутовий величини дуги ADC. Кут ADC є вписаним кутом, що спирається на дугу ABC. Тому величина кута ADC дорівнює половині кутовий величини дуги ABC. Звідси випливає, що сума величин кутів ABC і ADC дорівнює половині кутовий величини дуги, що збігається з усім колом, тобто дорівнює 180°.

        Якщо розглянути кути BCD і BAD, то міркування буде аналогічним.

        Теорема 1 доведена.

Теорема 2 (обернена до теоремі 1). Якщо у чотирикутника суми величин його протилежних кутів дорівнюють 180°, то біля цього чотирикутника можна описати коло.

       Доведення. Доведемо теорему 2 методом «від супротивного». З цією метою розглянемо коло, що проходить через вершини A, B і С чотирикутника, і припустимо, що це коло не проходить через вершину D. Доведемо це припущення до протиріччя. Розглянемо спочатку випадок, коли точка D лежить всередині кола (рис.2).

Рис.2

      Продовжимо відрізок  CD за точку D до перетину з колом в точці E, і з'єднаємо відрізком точку E з точкою (рис.2). Оскільки чотирикутник АВСЕ вписаний в коло, то в силу теореми 1 сума величин кутів ABC і AEC дорівнює 180 °. При цьому сума величин кутів ABC і ADC так само дорівнює 180 ° за умовою теореми 2. Звідси випливає, що кут ADC дорівнює куту AEC. Виникає протиріччя, оскільки кут ADC є зовнішнім кутом трикутника ADE і, звичайно ж, його величина більше, ніж величина кута AEC, що не суміжного з ним.

       Випадок, коли точка D виявляється лежить поза колом, розглядається аналогічно.

       Теорема 2 доведена.

       Перераховані в наступній таблиці властивості вписаних чотирикутників безпосередньо випливають з теорем 1 і 2.

Фігури	Рисунок	Властивість
Коло і паралелограм		Коло можна описати навколо паралелограма, якщо у нього усі кути прямі.
Коло і ромб		Коло можна описати навколо ромба, якщо у нього усі кути прямі.
Коло і трапеція		коло можна описати тільки навколо рівнобічної трапеції і навпаки якщо трапеція вписана, то вона рівнобічна.
Коло і дельтоїд		Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Довільний вписаний  4-кутник		Площа довільного  вписаного  4-кутника можно знайти по формулі Брахмагупти: де a, b, c, d  –  довжини сторін 4-кутника, а p  – півпериметр, т.е.

Теорема Птолемея

      Теорема Птолемея. Добуток діагоналей вписанного 4-кутника дорівнює сумі добутків протилежних сторін.

      Доказательство. Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис.3).

Рис.3

      Докажем, что справедливо равенство:

      Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD  был равен углу CBE (рис. 4).

Рис.4

      Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E), угол ADB  равен углуACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно,справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(1)

      Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(2)

      Складывая равенства (1) и (2), получаем:

      Теорема Птолемея доказана.

Неравенство Птолемея: Для любых точек  плоскости выполнено неравенство

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда  (выпуклый) вписанный четырехугольник или точки ABCD лежат на одной прямой.

Содержание

  [убрать] 

• 1 Идеи доказательства
• 2 Следствия
• 3 Вариации и обобщения
• 4 Примечания
• 5 Литература

Идеи доказательства[править | править вики-текст]

• Один из вариантов доказательства — применить инверсию относительно окружности с центром в точке A и неравенство треугольника для образов точек B, C, D.^[1]
• Другой вариант (близкий к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест) — ввести точку E такую, что , а потом черезподобие треугольников.
• Неравенство также является следствием из соотношения Бретшнайдера.

Следствия[править | править вики-текст]

• Теорема Помпею.^[2] Рассмотрим точку  и правильный треугольник . Тогда из отрезков ,  и  можно составить треугольник, причем этоттреугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка  лежит на описанной окружности треугольника .

• Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

• Соотношение Бретшнайдера
• Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если  произвольные точки плоскости, то

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда  — вписанный шестиугольник.

• Теорема Кэзи (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности  и , касающиеся данной окружности в вершинах  и  выпуклого четырехугольника . Пусть  — длина общей касательной к окружностям  и  (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее);  и т. д. определяются аналогично. Тогда

.