середа, 25 лютого 2015 р.

Открытые проблемы в теории чисел

 Открытые проблемы в теории чисел

Геометрия

  • В задаче о перемещении дивана не доказана максимальность наилучшей оценки снизу (константы Гервера).
  • На любой ли замкнутой кривой Жордана на плоскости можно найти 4 точки, являющиеся вершинами некоторого квадрата?[2][3]
  • Существует ли такая константа A, что любое множество точек на плоскости, имеющее площадь A, обязательно содержит вершины хотя бы одного треугольникаплощадью 1?[4]
  • Существует ли плотное множество точек на плоскости, расстояние между каждыми двумя точками которого рационально?[5]
  • Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью?[6][7]
  • Найдётся ли в единичном квадрате точка, расстояние от которой до каждой из 4 вершин рационально?[7][8]
  • Задача о 9 кругах. Существует ли 9 кругов, таких, что каждые два пересекаются, и центр каждого круга лежит вне остальных кругов? (Время выполнения проверочного алгоритма — слишком большое).
  • У любого ли выпуклого многогранника существует развёртка без самопересечений?[9]
  • Даны положительные действительные числа S_0,\;\ldots,\;S_n. Какой наибольший и наименьший объём может иметь многогранник, площади граней которого равны этим числам?
  • Во сколько раз объём невыпуклого многогранника может превосходить объём выпуклого многогранника, составленного из тех же граней?[10]
  • При каком минимальном V любое выпуклое тело единичного объёма можно поместить внутри какой-либо треугольной пирамиды объёма V?[11]
  • Чему равно хроматическое число n-мерного евклидового пространства? Эта задача не решена даже для плоскости. Другими словами, неизвестно, какое минимальное количество цветов нужно, чтобы ими можно было раскрасить плоскость так, чтобы никакие две точки, находящиеся на единичном расстоянии друг от друга, не были выкрашены в один и тот же цвет (Проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера).
  • Задача Томсона. Как разместить n одинаковых заряженных точек на сфере, чтобы потенциальная энергия системы (то есть сумма попарных обратных расстояний между точками) была минимальна (задача строго решена только для n=2, 3, 4, 6 и 12).[12] Сколько состояний равновесия (локальных экстремумов) существует для системы из n точек?
  • Как разместить n точек на сфере, чтобы наименьшее из попарных расстояний между ними было максимальным?[13]
  • Для каждой пары натуральных чисел (n, k) найти такое наименьшее действительное число d(n, k), что любое множество единичного диаметра в n-мерном евклидовом пространстве можно разбить на k подмножеств диаметром не больше d(n, k). Задача решена только в нескольких частных случаях.[14][15]
  • Чему равна площадь множества Мандельброта? Существует оценка 1,506 591 77 ± 0,000 000 08.[16]
  • Задача со счастливым концом. При каком минимальном m среди любых m точек на плоскости, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, найдутся вершины некоторого выпуклого n-угольника? Решение известно только для n<7. Результат для n=6 (который оказался равен 17) получен в 2006 году с помощью компьютерного анализа.
  • Какое наименьшее количество плиток может содержать множество плиток Ванга (англ.), которым можно замостить плоскость только непериодически? Наименьший известный результат — 13.
  • В любой ли многоугольной комнате с зеркальными стенами существует точка, при размещении в которой источника света вся комната окажется освещённой?[17]
  • Можно ли разместить 8 точек на плоскости так, чтобы никакие 3 из них не лежали на одной прямой, никакие 4 не лежали на одной окружности и расстояние между любыми 2 точками было целым числом? Решение для 7 точек было найдено в 2007 году.[18][19][20]
  • Каков наибольший возможный объём выпуклой оболочки пространственной кривой длины 1?
  • Гипотеза Боннесена — Фенхеля. Какое трёхмерное тело постоянной ширины имеет наименьший объём?[21][22][23]

Задачи упаковки

  • Какое наибольшее количество непересекающихся окружностей единичного радиуса можно разместить на сфере радиуса R?[24]
  • Чему равна сторона наименьшего квадрата, в который можно упаковать 2 единичных круга, один из которых разрешается разрезать по хорде на 2 сегмента?[25]
  • Какова наименее плотная жёсткая упаковка одинаковых кругов на плоскости?[25]

Многомерные пространства

  • Чему равно контактное число в евклидовых пространствах с размерностью n>4? Эта задача решена лишь для n=8 (240) и n=24 (196 560).[26][27]
  • Задача плотнейшей упаковки шаров в n-мерном евклидовом пространстве для n>3. Для трёхмерного пространства эта задача была решена в 1998 году: было доказано, что гипотеза Кеплера справедлива. Однако, существующее доказательство чрезвычайно велико и сложно для проверки.[28]
  • Гипотеза Келлера. Можно ли заполнить 7-мерное пространство равными 7-мерными гиперкубами так, чтобы никакие два гиперкуба не имели целой общей 6-мерной гиперграни? (Известно, что для пространств размерности меньше 7 ответ отрицателен, а больше 7 — положителен)[29]

Механика

  • Для каждого ли движения четырёх точек в пространстве можно выбрать такую (возможно, неинерциальную) систему отсчёта, чтобы в ней траектории всех четырёх точек оказались плоскими выпуклыми кривыми?[5]
  • Верно ли, что при достаточно большом количестве движущихся точек с зацепленными траекториями (траектории называются зацепленными, если не существуетгомеоморфизма пространства, при котором они попадут внутрь непересекающихся выпуклых множеств) в любой системе отсчёта траектории хотя бы двух точек окажутся зацепленными?

Алгебра

  • Обратная теорема теории Галуа. Для любой конечной группы H существует поле алгебраических чисел \mathbf{F}, такое что \mathbf{F} является расширением поля рациональных чисел \mathbb{Q} и \mathrm{Gal}(\mathbf{F}/\mathbb{Q}) изоморфна H.[источник не указан 785 дней]
  • Любая конечно заданная группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок, — конечна. Для конечнопорождённой группы (более слабое условие) это неверно.[30]
  • Существует ли простая группа, которая не является трансфинитно сверхпростой?[31]
  • Является ли кольцо периодов полем?
  • Проблема О.Ю. Шмидта Существуют ли не квазициклические группы, все собственные подгруппы (подгруппы, отличные от единичной и всей группы) которых конечны?[32]
  • Проблема Л.С. Понтрягина Пусть G - эффективная транзитивная бикомпактная группа преобразований пространства \Gamma, гомеоморфного n - мерной сфере. Существует ли такое гомеоморфное отображение пространства \Gamma на единичную сферу S^{n} евклидова (n+1) - мерного пространства, при котором группа Gпереходит в некоторую группу движений сферы S^{n}?[33].
  • Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия группоидов, колец и решеток, достижимых на классах всех группоидов, всех колец или решёток?[34].
  • Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия и квазимногообразия полугрупп c несколькими выделенными элементами, колец и решеток, достижимых на классе всех таких полугрупп[34].
  • Существуют ли во множестве групп операции, отличные от операций прямого и свободного умножения и обладающие их основными свойствми?[35]
  • Будет ли множество всех неизоморфных абелевых групп данной мощности M иметь мощность {2}^{M}?[36]
  • Проблема А. И. Мальцева Существует ли такая счетная группа, что всякая счетная группа изоморфна одной из её подгрупп?[37]
  • Проблема отыскания всех гиперкомплексных систем с делением не решена до конца[38].
  • Несколько десятков нерешённых алгебраических задач есть в книге[39].

Коуровская тетрадь

Представляет собой всемирно известный сборник нескольких тысяч нерешённых задач в области теории групп. Издаётся с 1965 года с периодичностью в 2-4 года. Выпускается на русском и английском языках.[40][41]

Днестровская тетрадь

Представляет собой сборник нескольких сотен нерешённых задач теории колец и модулей.[42]

Свердловская тетрадь

Представляет собой сборник нерешённых задач теории полугрупп.[43]

Анализ

  • Гипотеза Римана. Все ли нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой \mathrm{Re}(z)=1/2?
  • Чему равна постоянная Миллса? Существующие методы вычисления опираются на ещё недоказанную гипотезу Римана.
  • До сих пор ничего не известно о нормальности таких чисел, как \pi и e; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа \piбесконечное количество раз.
  • Является ли всякое иррациональное алгебраическое число нормальным?
  • Является ли \ln 2 нормальным числом?[44]
  • Неизвестно ни одного числа, для которого было бы доказано, что среднее геометрическое членов его разложения в непрерывную дробь стремится к постоянной Хинчина (англ.), хотя и доказано, что этим свойством обладают почти все действительные числа. Предполагается, что этим свойством должны обладать числа \pi,Постоянная Эйлера — Маскерони, сама постоянная Хинчина и многие другие математические константы.
  • Сходятся ли ряды \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sin^2 n} и \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \cos^2 n}?[45]

Вопросы иррациональности

Комбинаторика

  • Существование матрицы Адамара порядка, кратного 4.
  • Существование конечной проективной плоскости натурального порядка, не являющегося степенью простого числа.
  • Неизвестно количество незамкнутых маршрутов коня.
  • Гипотеза Эрдёша - Реньи. Если k- фиксированное целое число k\geqslant 3, то  \liminf (per(A))^{\frac{1}{n}} > {1} для  A  из  \Lambda_{n}^{k} . Здесь  per(A)  - перманент матрицы  A ,  \Lambda_{n}^{k}  - множество всех  (0, 1)  - матриц порядка  n  c  k  единицами в каждой строке и каждом столбце[56].

Теория графов

  • Гипотеза Каццетты — Хаггвиста — ориентированный граф, имеющий n вершин, из каждой вершины которого выходит не менее m рёбер, имеет замкнутый контур длиной не более \left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil.[57]
  • Гипотеза Хадвигера — каждый n-хроматический граф стягиваем к полному графу K_n[58].
  • Гипотеза Улама:[59]
    • а) всякий граф с более чем двумя вершинами однозначно определяется набором графов, где каждый граф из набора получен удалением одной из вершин исходного графа;
    • б) всякий граф с более чем тремя вершинами однозначно определяется множеством графов, где каждый граф из множества получен удалением одной из вершин исходного графа.
  • Гипотеза Харари (слабая форма гипотезы Улама) — если граф имеет более трёх рёбер, то его можно однозначно восстановить по подграфам, полученным удалением единственного ребра[59].
  • В любом графе, не содержащем мостов (ребер, удаление которых увеличивает число компонент связности графа), можно выбрать множество простых циклов, такое, что каждое ребро принадлежит ровно двум из них.
  • В любом кубическом графе можно выбрать 6 1-факторов так, чтобы каждое ребро принадлежало ровно двум из них.
  • Гипотеза Рамачандрана Любой орграф N-реконструируем.[60]
  • Гипотеза Бержа Граф G является совершенным тогда и только тогда, когда ни он, ни его дополнение \overline{G} не содержат порождённых подграфов вида C_{2k+1, k} \geqslant 2.[61]
  • Гипотеза о восстановлении Если заданы классы изоморфизма всех k примарных подграфов некоторого графа, то при k \geqslant 3 класс изоморфизма этого графа определяется однозначно.[62]

Теория узлов

Теория алгоритмов

Вопросы алгоритмической разрешимости

  • Аналог 10-й проблемы Гильберта для уравнений степени 3: существует ли алгоритм, позволяющий по любому диофантовому уравнению степени 3 определить, имеет ли оно решения?
  • Аналог 10-й проблемы Гильберта для уравнений в рациональных числах. Как узнать по произвольному диофантову уравнению, разрешимо ли оно в рациональных (не обязательно целых) числах и можно ли это узнать вообще (то есть возможен ли соответствующий алгоритм)?[64][65][66]
  • Алгоритмическая разрешимость проблемы умирающей матрицы для матриц порядка 2. Существует ли алгоритм, позволяющий для данного конечного множества квадратных матриц 2\times 2 определить, существует ли произведение всех или некоторых из этих матриц (возможно, с повторениями) в каком-либо порядке, дающее нулевую матрицу.[67]
  • Расширение класса выражений, для которых известен алгоритм, определяющий, равно ли выражение нулю (Проблема констант (англ.)). Для каких классов выражений эта задача алгоритмически неразрешима?
  • Существует ли алгоритм, позволяющий узнать по целочисленной матрице, существует ли степень, имеющая нуль в правом верхнем углу?[66]

Теория сложности вычислений

Другие проблемы теории алгоритмов

  • Проблема «усердного бобра» (англ.)[69]. Сколько ходов может продержаться (незацикливающаяся) машина Тьюринга с n состояниями и алфавитом \{0,\;1\} на заполненной нулями ленте? Известно, что нет алгоритма (а значит, и рекурсивно аксиоматизируемой формальной теории), который может решить этот вопрос для всех n, и пока известны только значения для n<5.[70]
  • Существует ли алгоритм, распознающий для любых двух трёхмерных многообразий, заданных своими триангуляциями, гомеоморфны ли они?[66]
  • Существует ли алгоритм, распознающий по произвольной позиции игры "Жизнь", "вымрет" ли она (станут ли в итоге все клетки пустыми)?[66]
  • Существует ли теорема о полноте для решетки Мучника?[66]
  • Существует ли алгоритм, определяющий разрешимость и арифметичность множества реализуемых и множества неопровержимых пропозициональных формул?[66]
  • Существуют ли в обычных алгебраических системах алгебраически корректные массовые проблемы различной сложности?[66]
  • Существует ли алгебраическая система, для которой равномерная эквивалентность отличается от программной или программная от проблемной?[66]

Аксиоматическая теория множеств

  • В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC — теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более — о существовании модели для неё) остаётся нерешённым.
  • Проблема Скулема. Рассмотрим множество S функций одного натурального переменного n, построенных из термов 1, n и замкнутых относительно сложения,умножения и возведения в степень. Для функций f, g из этого множества будем писать f \preccurlyeq g, если f(n) \leqslant g(n) выполняется для всех достаточно больших n. Известно, что отношение \preccurlyeq вполне упорядочивает множество S. Какой ординал соответствует этому упорядочению? (Известно, что он не меньше чем \varepsilon_0 и не больше чем первый критический ординал \tau_0 = \varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\cdot_{\cdot_{\cdot}}}}})[71][72] Аналогичные вопросы возникают при добавлении в множество разрешённых операторов дополненнаятетрации, пентации и гипероператоров более высоких порядков (проблема Скулема, дополненная только тетрацией, была решена в 2010 году).[73][74]
  • Существует ли линейно упорядоченное множество с порядковым типом (англ.) α, удовлетворяющим условиям α ≠ α2 и α = α3?[75]
  • В теории множеств Цермело-Френкеля без аксиомы выбора неизвестно, существуют ли регулярные кардиналы \aleph_{\alpha}, большие \aleph_{0} [76].
  • Проблема сингулярных кардиналов. Для каких функций G(k) существует модель Цермело-Френкеля, в которой k^{cf(k)} = G(k) для всех кардиналов k[77].
  • Верно ли, что если непротиворечива система аксиом Цермело-Френкеля вместе с аксиомой выбора, то непротиворечива система аксиом Цермело-Френкеля, принцип зависимого выбора и каждое множество действительных чисел есть измеримое по Лебегу множество?[78]
  • Не приведет ли к противоречию предположение существования таких кардинальных чисел \mathfrak{m} > \aleph_{0}, что декартово произведение m-компактных пространств всегда m-компактно. Неизвестно также, совпадало бы наименьшее из этих чисел с наименьшим измеримым числом или нет[79].

Теория доказательств

  • Какое самое короткое неразрешимое утверждение существует в арифметике Пеано?[80] Неразрешимое утверждение теории — это утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в данной теории. Доказательства теорем Гёделя демонстрируют, как можно строить такие утверждения, но получающиеся утверждения оказываются весьма значительного размера, будучи записанными на формальном языке арифметики.

Вычислительная математика

Дифференциальные уравнения

\ddot x - \lambda (1-x^2)\dot x + \omega ^ 2 x = 0
\ddot x + \omega^{2} x = - \mu x^{3}
\ddot x + \omega^{2} x = - \mu x \cos 2t
  • Гипотеза Абловица-Рамани-Сегура Все обыкновенные дифференциальные уравнения, полученные из полностью интегрируемых дифференциальных уравнений в частных производных, обладают свойством Пенлеве (положение любой алгебраической, логарифмической или существенной особенности решений уравнения не зависит от начальных условий, от произвольных констант интегрирования зависит только положение полюсов)[85].
  • Имеет ли гамильтонова система, интегрируемая по Лиувиллю, эквивалентную формулировку с помощью лаксовой пары, и если имеет, то как её построить?[86]

Теория вероятностей

  • Неизвестны необходимые и достаточные условия принадлежности безгранично делимого закона распределения случайной величины в одномерном и многомерном случаях к классу законов, не имеющих неразложимых компонент.[87]
  • Неизвестна точная аналитическая формула для вероятностного распределения площадей фигур, определяемых случайными прямыми на плоскости[88].

Уравнения математической физики

  • Отсутствует строгое математическое обоснование метода континуального интегрирования в квантовой теории поля[89].
  • Континуальные интегралы удается вычислить только для случая гауссовых квадратур. В общем случае способ вычисления континуальных интегралов неизвестен[90].
  • Неизвестно точное решение уравнения Шредингера для многоэлектронных атомов[91].
  • В квантовой механике при решении задачи о рассеянии двух пучков на одном препятствии сечение рассеяния получается бесконечно большим[92]
  • Уравнения Навье — Стокса
  • В гидродинамике есть сотни нерешенных задач[93].
  • Отсутствует законченная теория, объясняющая происхождение и эволюцию магнитного поля Земли[94].
  • Гипотеза Йоргенса Пусть M \subset R^{n} — открытое множество, дополнение которого имеет меру нуль. Пусть V и W непрерывны на M и оператор Шредингера -\Delta+V ограничен снизу и самосопряжен в существенном на C_{0}^{\infty}(M). Если W \geqslant V, то -\Delta+W также самосопряжен в существенном на C_{0}^{\infty}(M).[95][96]

Теория игр

  • Отсутствует общая математическая теория игр, проводимых на пространстве функций (поскольку мощность множества действительных функций существенно превышает мощность континуума)[97].
  • Отсутствует общая математическая теория псевдоигр (конфликтных ситуаций, не являющихся играми)[97].
  • Отсутствует общая математическая теория некооперативных игр n лиц для n > 2[97].
  • Формулировки 8 нерешенных проблем теории игр есть в книге [98].
  • Не решена задача построения алгоритмов обучения решению игр, когда элементы платежной матрицы не постоянны, а представляют собой случайные величины, либо неизвестны (игра вслепую)[99].

Теория представлений групп

  • Гипотеза Ленглендса. Любое неприводимое представление вещественной полупростой группы Ли G, входящее в дискретную часть разложения регулярного представления, реализуется в пространстве L^2 - когомологий подходящего пучка на пространстве X = G/H, где H - компактная картановская подгруппа в G[100].

Общая топология

Линейная алгебра

Теория случайных процессов

  • Задача определения закона распределения p(n, T) числа выбросов случайного процесса в общем случае не имеет законченного и компактного решения[105].
  • Задача определения закона распределения абсолютных максимумов случайного процесса решена только для марковских процессов. Для остальных процессов точное решение неизвестно[106].

Функциональный анализ

  • Список из 22 нерешенных задач теории операторов в банаховом пространстве есть в книге[107].

Теория динамических систем

  • Неизвестно, является ли система из двух и более твердых биллиардных шаров К-потоком при несингулярных взаимодействиях[108].

Риманова геометрия

  • Проблема Хопфа Существует ли на дифференцируемом многообразии S^{2} \times S^{2} риманова метрика положительной кривизны?[109].

Исследование операций

  • Не существует комбинаторного метода решения целочисленных задач линейного программирования с полиномиальной (в отличие от экспоненциальной) оценкой трудоемкости?[110].
  • Отсутствует общая теория алгоритмических методов оптимизации, позволяющая обеспечить ускорение сходимости и выбор шага итерации в общем случае многошаговых алгоритмов[111].
  • Неизвестны условия сходимости почти наверное в область для многошаговых алгоритмов адаптации и обучения[112].
  • Неизвестны правила определения момента установления стационарности алгоритма адаптации и обучения[112].
  • Неизвестны оценки зависимости точности аппроксимации от числа функций и оценки времени обучения для алгоритмов опознавания[113].
  • Неизвестны общие способы получения несмещенных оценок при заданном критерии оптимальности в задачах идентификации[114].
  • Неизвестны общие правила выбора системы функций в задачах фильтрации[115].
  • Неисследована связь между скоростью изменения внешних воздействий и длительностью процесса адаптации фильтра[115].
  • Неизвестны способы использования априорной информации о распределениях случайных величин для построения адаптивных фильтров[115].
  • Неизвестен способ применения адаптивного подхода при ускоренных испытаниях на надёжность[116].
  • Отсутствует общая теория сетевого планирования с применением адаптивного подхода при недостаточной априорной информации[117].

Алгебраическая геометрия[править | править вики-текст]

  • Список из 8 нерешённых проблем алгебраической геометрии есть в книге[118].

Известные проблемы, недавно решённые[править | править вики-текст]

Опубліковано о

Немає коментарів:

Дописати коментар

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)