Кругові числа та періодичні лроби

КРУГОВІ ЧИСЛА

Цікавими властивостями володіють кругові числа. Ці числа мають напрочуд дивовижні властивості, але їх головна особливість полягає в так званій круговій послідовності.

Наприклад, число 142 857, помножене на 2, 3, 4, 5, 6 (тільки не на 7), дає добуток, який складається з цих самих цифр, але розміщених в іншому порядку, зберігаючи циклічність черги запису:

142 857•2 = 285 714,
142 857•3 = 428 571,
142 857•4 = 571428,
142 857•5 = 714285,
142 857•6 = 857142.

„Розгадкою", що може привести до розкриття таємниці кругових чисел, є добуток

142 857•7 = 999 999.

Число 142 857 є періодом числа 1:7 записаного у вигляді десяткового. Усі властивості числа 142 857 можна знайти у кожному числі, яке є періодом дробу типу 1/р, якщо цей період має (р -1) цифру, а р – просте число.

Наприклад, 1/17 =0,(0588235294117647).

Якщо період цього дробу позначити через а, то:

1•а = 0588235294117647,
2•а = 1176470588235294,
3•а = 1764705882352941,
………………………………………………………………
16•а = 9411764705882352,
………………………………………………………………
17•а = 9999999999999999.

Такі самі властивості має період дробу 1/29 та 1/1913.

Повернемося до числа 142 857.

Дві „половинки" числа 142 857 дають в сумі 999:

142 + 857 = 999.

Таке саме відбувається з усіма круговими числами.

Наводимо зразки використання властивостей кругових чисел у візуальній поезії.

Візуальна поезія в числах Сергія Вінницького



13-й калейдоскоп кругової поруки



076923•1 = 076923, 076+923 = 999 = 153+846, 153846 = 076923•2,
076923•3 = 230769, 230+769 = 999 = 384+615, 384615 = 076923•5,
076923•4 = 307692, 307+692 = 999 = 461+538, 461538 = 076923•6,
076923•9 = 692307, 692+307 = 999 = 538+461, 538461 = 076923•7,
076923•10 = 769230, 769+230 = 999 = 615+384, 615384 = 076923•8,

28.01.2007.

7-й калейдоскоп кругової поруки


142 857•1 = 142857, 142+857= 999 = 571+428, 571428 = 142 857•4.
142 857•2 = 285714, 285+714= 999 = 714+285, 714285 = 142 857•5
142 857•3 = 428571, 428+571= 999 = 857+142, 857142 = 142 857•6

28.01.2007.



19-й калейдоскоп кругової поруки



052631578947368421•1 = 052631578947368421
999999999 = 052631578+947368421
052631578947368421•2 = 105263157894736842
999999999 = 105263157+894736842
052631578947368421•3 = 578947368421052631
999999999 = 578947368+421052631
052631578947368421•4 = 210526315789473684
999999999 = 210526315+789473684
052631578947368421•5 = 263157894736842105
999999999 = 263157894+736842105
052631578947368421•6 = 315789473684210526
999999999 = 315789473+684210526
052631578947368421•7 = 368421052631578947
999999999 = 368421052+631578947
052631578947368421•8 = 421052631578947368
999999999 = 421052631+578947368
052631578947368421•9 = 4 73684210526315789
999999999 = 473684210+526315789
052631578947368421•10 = 526315789473684210
999999999 = 526315789+473684210
………………………………………………………………
28.01.2007.





БЛОК 2

Завдання на дослідження

Періодичні десяткові дроби

Уважно прогляньте запитання та відповіді на них. Наведіть власні приклади десяткових дробів на кожне запитання.

Запитання:

Чи вірно, що якщо знаменник дробу містить тільки дев’ятки, то маємо періодичний дріб?

Відповідь: так. Прогляньте приклади.

Приклади періодичних десяткових дробів.

0,5555…. = 0,(5) = 5:9 = 5/9;
0,3333…. = 0,(3) = 1:3 = 3/9 = 1/3;
0,6666…. = 0,(6) = 2: 3 = 6/9 = 2/3;
0,142857142857142857…. = 0,(142857) = 1:7 = 1/7 = 142857 / 999999;
0,4545454545… = 0,(45) = 5:11 = 45/99 = 5:11 = 5/11;
0,615384615384615384… = 0,(615384) = 8:13 = 8/13 = 615384 / 999999.

Запитання:

Чи вірно, що якщо знаменник дробу містить тільки 10, 100, 1000, і так далі…, то маємо скінчені дроби?

Відповідь: так. Прогляньте приклади.

Приклади скінчених десяткових дробів:
0, 5 = 1:2 =1/2 = 5/10;
0, 25 = 1:4 =1/4 = 25/100;
0, 3 = 3:10 = 3/10;
0,125 = 1:8 = 1/8 = 125/1000;
0,05 = 1:20 = 1/20 = 5/100.

Запитання:

Чи вірно, що існують нескінчені неперіодичні дроби?

Відповідь: так. Прогляньте приклади.

Приклади нескінчених неперіодичних десяткових дробів:

3,1415926535897932384626433832795… = pi (трансцендентне число, відношення довжини кола до довжини його діаметра);

2,71828182… = е (трансцендентне число Ейлера, значення виразу (1+1/k)^k, якщо k прямує до безмежності);

1,4142135623730950488016887242097… = 2^0,5 (ірраціональне число, довжина діагоналі одиничного квадрата).

Запитання:

Як розпізнати скінчені та нескінчені десяткові дроби?

Відповідь: Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді звичайного дробу

a/b = a:b,

тобто, записати, як результат дії ділення. Зазначимо, що

b є N, (тобто, b не рівне 0, натуральні числа),

а є Z (цілі числа, тобто, від’ємні числа, додатні числа і нуль).

Запитання:

Чи завжди в результаті ділення двох скінчених десяткових дробів ми отримаємо скінчені десяткові дроби?

Відповідь: Не завжди в результаті ділення одного десяткового дробу на другий дістаємо скінченний десятковий дріб. Шуканою часткою може бути і нескінченний десятковий дріб.

Запитання:

Як розпізнати скінчені та нескінчені десяткові дроби?

Нескінченні десяткові дроби бувають: періодичні і неперіодичні.

Відповідь: Наприклад, якщо ділити 3 на 11, у частці дістанемо нескінченний десятковий дріб 0,272727..., у якому цифри 2 і 7 періодично пов¬торюються. Це – нескінченний періодичний десятковий дріб із періодом 27.

Але відношення довжини кола до довжини його діаметра виражається нескінченним неперіодичним десятковим дробом 3,14159... .

Запитання:

Які бувають періодичні дроби?

Відповідь: Періодичні дроби бувають чисті і мішані.

Чистим періодичним дробом називається такий, у якого період починається відразу після коми.

Hаприклад чистий періодичний дріб:

12,363636...

Мішаним періодичним дробом називається такий, у якого між комою і першим періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються.

Hаприклад мішаний періодичний дріб:

0,07464646...

Записувати періодичні десяткові дроби прийнято скорочено:

замість 3,2666... пишуть 3,2(6),

замість 0,424242... пишуть 0, (42), тобто «період 42 записують у дужках.

Запитання:

Як розпізнати скінчені дроби?

Відповідь: Звичайний нескоротний дріб можна подати у вигляді скінченного десяткового дробу тоді і лише тоді, коли в розкладі на прості множники його знаменника немає інших множників, крім 2 і 5.

Запитання:

Чи завжди нескоротний звичайний дріб є періодичним?

Відповідь: Якщо звичайний нескоротний дріб перетворюється в нескінченний десятковий дріб, то останній обов'язково періодичний.

Запитання:

Як розпізнати чисті та мішані періодичні дроби?

Відповідь: Якщо у знаменнику дробу немає множників 2 і 5, то він чистий періодичний, якщо ж знаменник має множники 2 або 5 та інші числа, тоді дріб мішаний періодичний.

Приклади.

Дріб 5/33 до перетворюється в чистий періодичний десятковий, бо 33 не ділиться ні на 2, ні на 5. Дріб 11/12 перетворюється у мішаний періодичний десятковий дріб, бо знаменник 12 ділиться на 2.

Справді,

5/33 = 5:33 = 0,15151515… = 0,(15);

11/12 = 11: 12 = 0,91666666… = 0,91(6).

Запитання:

Як можна перетворювати чисті періодичні десяткові дроби в звичайні дроби?

Відповідь: Щоб перетворити чистий періодичний дріб у звичайний, досить записати чисельником його період, а знаменником – число, позначене стількома дев'ятками, скільки цифр у періоді.

Приклади.

0,(8) = 8/9;

0,(84) = 84/99;

0,(876) = 876/999;

0,(8456) = 8456/9999;

15,(37)= 15 + 37/99;

12,(352)= 12 + 352/999.

Запитання:

Як можна перетворювати мішані періодичні десяткові дроби в звичайні дроби?

Відповідь: Щоб перетворити мішаний періодичний дріб у звичайний, досить від числа, що стоїть до другого періоду, відняти число, що стоїть між комою і першим періодом, і здобуту різницю взяти чисельником, а знаменником написати число, позначене стількома дев'ятками, скільки цифр у періоді, і зі стількома нулями на кінці, скільки цифр між комою і періодом.

Приклади.

0,8(57) = (857 – 8) / 990 = 849 / 990

6,7(4) = 6 + (74 – 7)/90 = 6 + 67/90.