Завдання для олімпіадного тренажу 9-10-11 класи

Цікаві ЗАВДАНня

1. У деякій державі 121 місто. Із кожного з них виходить однакова кількість доріг, що з'єднують його з деякими іншими містами. Яка кількість усіх доріг у державі?

А. 300.       Б. 440. В. 605.    Г. 330.

2. Знайдіть остачу від ділення на 5 числа 2005²⁰⁰⁷ + 2006²⁰⁰⁶ + 2007²⁰⁰⁵.

А.0.   Б. 1. В. 4.   Г. 3.

3. У трьох сусідніх вершинах правильного шестикутника розміщені фішки А, В і С. Їх дозволяється переміщати в будь-якому порядку вздовж діагоналей у вільні вершини. При якому порядку проходження фішки не можуть знову потрапити в ті самі вершини, якщо у початко­вому положенні вони були розміщені у поряд­ку АВС і рухалися за годинниковою стрілкою?

А. ВАС.     Б. СВА.      В. САВ. Г. Можуть бути переставлені в будь-якому порядку.

4. Число (5- 26^0,5 )²⁰⁰⁷ має вигляд 0,000... . Знайдіть кількість нулів після коми.

А. 27.         Б. 26. В. Не більше 702.  Г. Не менше 2007.

5.  Довжини всіх сторін трикутника не більші від одиниці. Чому дорівнює максимальна пло­ща такого трикутника?

А. 0,5.  Б. 1.  В.1/3.  Г. 3^0,5/4.

6. Скільки існує чотирицифрових чисел вигляду аbсd, для яких справджується рівність аbсd + bcda+ сdаb + dаbс = k² , де k – натуральне число, а, b, с, d - цифри?

А.0.   Б. 1. В. 2.   Г. 3.

7. Про цілі числа m і n відомо, що число m²/(m+n) є цілим   і m+n - непарне. Чи будуть цілими числа a = n²/(m+n)  та b = mn/(m+n)?

А. b завжди є цілим, a не завжди.

Б. b і а завжди є цілими.

В. а завжди є цілим, b не завжди.

Г.а і b можуть бути нецілими.

8. Продавець для збільшення прибутку змішав 5 літрів вершків з жирністю 30 % з 4 літрами вершків з жирністю 15 % і долив туди ще літр чистої води. Скільки відсотків становить жирність отриманих «вершків»?

А. 70/3%.  Б. 22,5 %.  В. 21%.  Г. 15 %.

9. Скількома способами можна зробити прямокутний отвір в аркуші паперу в клітинку роз­мірами 33х40 клітинок, якщо сторони отвору мають лежати на прямих, що розбивають аркушна клітинки?

А. 367 536.         Б. 1178. В. 735 072.     Г. 1248.

10. Учителька приготувала 27 однакових білих кубиків з довжиною ребра 10 см, маючи намір скласти з них білий куб з ребром 30 см. Яку най­меншу кількість граней маленьких кубиків має зафарбувати чорною фарбою Вовочка, щоб учи­телька не змогла здійснити свій намір?

А. 10.         Б. 13.  В. 11.       Г.12.

11.    Скільки розв'язків у натуральних числах має рівняння  200х + 7y = 2007?

А.0.   Б. 1. В. 2.   Г. Безліч.       

12.    Дев'ять робітників мають виготовити 50 виробів. Кожен виріб потрібно спочатку змонту­вати, а потім пофарбувати. Час монтажу –20 хвилин, час фарбування - 10 хвилин. Кого (малярів чи монтажників) і на скільки має , бути більше, щоб виконати роботу в найкоротший час?

А. Малярів на 1.Б. Монтажників на 1. В. Монтажників на 2.  Г. Монтажників на 3.

13.    Прямокутний аркуш паперу з площею 5 розрізали на три трикутні шматки. Площа од­ного з них дорівнює півсумі площ двох інших шматків. Чому дорівнює площа найменшого шматка?

А. S/12.    Б. S/6.        В. S/9.       Г. S/4.    

14. Придбали три книжки. Одна з них кош­тує третину всієї покупки, друга - кілька сьо­мих, а третя - 12 грн. Скільки гривень кошту­ють три книжки?

А. 252 грн.    Б. 232 грн.        В. 126 грн.       Г. 84 грн.    

15.    На картонну трубку з діаметром 3 см щільно намотали шар на шар 250 м стрічки тов­щиною 0,1 мм. Яким є діаметр отриманого валика? (Виберіть найточніший результат.)

А. 186 мм.  Б.153мм.  В. 126 мм.  Г. 93 мм.

16.    Які з наступних тверджень еквівалентні, тобто одночасно істинні чи хибні? Для кожного з учнів класу А знайдеться учень класу В нижчий за зростом. Кожен із учнів класу В нижчий хоча б від одного з учнів класу А. Найнижчий учень класу В нижчий від най­нижчого з учнів класу А. Середній зріст учнів класу А більший від середнього зросту учнів класу В.

А. 1 і 2.      Б. 1 і 3. В. 1і 4.   Г. 2 і 3.

17. 3 кінцевих пунктів «Центр» і «Теремки» міського маршруту виїхали одночасно маршрут­не таксі та автобус і їхали приблизно зі сталою швидкістю. Вони зустрілися на відстані 12 км від «Центру». Після прибуття на кінцеві пунк­ти вони відразу ж вирушили у протилежних напрямах і цього разу зустрілися на відстані 16 км від кінцевої зупинки «Теремки». Якою є дов­жина маршруту?

А. 20 км.    Б. 24 км. В. 18 км.       Г. Визначити неможливо.

18.    Позначимо через s(n) суму цифр нату­рального числа n (якщо n - одноцифрове, то s(n) = n). Нехай а₁=1, а_n+1 = s(s(а_n)+ а_n).Чому дорівнює а₂₀₀₆?

А. 2.  Б. 3.  В. 4.  Г. 5.

19.    Довжини сторін трикутника виражаються цілими числами l, m, n,  де

l£ m£n. Скільки існує трикутників описаного виду, коли n = 9?

А. 9.  Б. 16. В. 25.        Г. Інша відповідь.

4. ДРУГА ЧАСТИНА ЗАВДАНЬ

1. На сторонах трикутника як на діаметрах побудовано круги. Доведіть, що ці круги в су­купності цілком покривають трикутник.

2. Коник стрибає вздовж прямої, вибираючи напрям на ній для своїх стрибків навмання. Відо­мо, що довжина першого стрибка 1 м, кожний наступний стрибок удвічі довший від поперед­нього. Чи може коник після деякої кількості стрибків опинитися в початковій точці?

3. Чи можна обійти шахівницю розмірами 3x5 клітинок ходом шахового коня, побував­ши в кожній клітинці рівно один раз?

4. У деякому тайговому селищі від кожного з 17 будинків до деяких інших будинків прокладе­но лижню, причому від кожного будинку почи­наються 1, 3 чи 5 таких лижних стежок. Доведіть, що хоча б одна з них веде не до будинків селища.

5. Розв'яжіть у цілих числах рівняння   4x³ + 7х²у+2ху² - у³ = 12 .

6. На площині дано точки А і В. Знайдіть гео­метричне місце точок площини, симетричних А відносно всіх прямих, що проходять через точку В.

7. Два брати віком 8 і 10 років одержали разом спадщину 84 тис. грн. Ці гроші поклали в банк, що нараховує 5 % на внесок щорічно. Кожна ди­тина одержить свою частину спадщини, досягши 21 року. За заповітом необхідно так поділити по­чатковий внесок, щоб у майбутньому обидві час­тини спадщини, округлені до 1 грн, були одна­кові. Як слід поділити 84 000 грн між братами?

8. Господарка розбила прямокутну ділянку шириною 5 м на 4 прямокутні грядки двома перпендикулярними доріжками. Причому пло­ща грядок, виділених під цибулю, моркву, бу­ряк, була не меншою від 5 м², а під капусту -не менша 10 м². Якою при цьому найменшою має бути довжина ділянки?

9. На дошці виписано числа 1, 2, 3,,.., 19, 20. Дозволяється стерти будь-які два числа а і b і замінити їх числом 3аb+7(а+b). Яке число може залишитися на дошці після 19 таких операцій?

10. Ділянку, що має форму чотирикутника (див. малюнок), поділіть на дві рівновеликі ділянки прямою, що проходить через точку М.

11. Людина йде по шпалах залізничної колії. Максимальна довжина її кроку 0,8 м. Шпали покладено так, що на будь-якій стометровій ділянці - рівно 200 шпал. Відстань між шпала­ми не менша від 0,3 м і не більша від 0,6 м і може змінюватися в цих межах від шпали до шпали. При якому укладанні шпал людина зро­бить максимальну кількість кроків на 1 км шляху, а при якому – мінімальну?