МАГІЧНИЙ КВАДРАТ 3x3 НА ДОБУТКАХ ЧИСЕЛ

Утворення магічного квадрату 3х3 на добутках чисел

Для початку спробуємо виконати таке завдання в групах: у клітинки квадрата 3х3 записати різні натуральні числа: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 21, 35 так, щоб 6 добутків (по рядках і стовпчиках) були рівні між собою.



Зауваження. Існує приклад більш загальної конструкції (a, b, c, d – взаємно прості числа (не рівні 1), всі необхідні добутки рівні a, b, c, d, e, f - різні взаємно прості числа).

a

b

cd

c

d

ab

bc

ac

1

Спосіб утворення магічних квадратів 3х3 на добутках чисел

Складемо числовий квадрат 3х3 з дев’яти натуральних (менших 40) так, щоб добуток чисел по кожному рядку, по кожному стовпчику по кожній діагоналі дорівнював одному числу.


Спочатку складемо латинський квадрат з трьох цілих чисел 0, 1, 2.

1

0

2

2

1

0

0

2

1

Кожне число цього магічного квадрату будемо вважати показником для степенів з основами два та три.

2¹

2⁰

2²

2²

2¹

2⁰

2⁰

2²

2¹

У цьому квадраті магічний добуток дорівнює 8.

3¹

3⁰

3²

3²

3¹

3⁰

3⁰

3²

3¹

У цьому квадраті магічний добуток дорівнює 27.

Цей квадрат повернемо на 180 градусів відносно центра і поклітинково перемножимо з числами попереднього квадрату з основами два.

Отримаємо потрібний нам квадрат.

3²2¹

3⁰2⁰

3¹2²

3⁰2²

3¹2¹

3²2⁰

3¹2⁰

3²2²

3⁰2¹

У цьому квадраті магічний добуток дорівнює числу 27•8= 216 = 6 3.

18

1

12

4

6

9

3

36

2

Можна скласти ще цілу множину подібних квадратів, у яких магічний добуток є кубом

натурального числа, якщо використати такий шаблон магічного квадрату
для довільних натуральних чисел n i m, k:

n^k+2m^k+1

n^km^k

n^k+1m^k+2

n^km^k+2

n^k+1m^k+1

n^k+2m^k

n ^k+1m^k

n^k+2m^k+2

n^km^k+1

Користуючись цим шаблоном, спробуйте самостійно утворити декілька подібних числових квадратів 3х3.

Наводимо ще один спосіб утворення магічного квадрату для добутків чисел.

Якщо дано два довільних магічних квадрати 3х3

а + 3d

а + 8d

а + d

а + 2d

а + 4d

а + 6d

а + 7d

а

а + 5d

n + 3m

n + 8m

n + m

n+ 2m

n + 4m

n + 6m

n + 7m

n

n + 5m

Перетворимо ці магічні квадрати таким чином. Вважатимемо, що число у кожній клітинці першого магічного квадрату є показником степення з основою р і число у кожній клітинці другого магічного квадрату є показником степення з основою g.

Отримаємо нові квадрати, для яких зникла магічна сума, тобто не виконується, проте виникла магічний добуток:

р^{а + 3d}

р^{а + 8d}

р^{а + d}

р^{а + 2d}

р^{а + 4d}

р^{а + 6d}

р^{а + 7d}

р^а

р^{а + 5d}

g^{а + 3d}

g^{а + 8d}

g^{а + d}

g^{а + 2d}

g^{а + 4d}

g^{а + 6d}

g^{а + 7d}

g^а

g^{а + 5d}

Тепер виконаємо множення тільки тих степенів, які розташовані у відповідних клітинках.

Тобто, накладемо ці два квадрати одне на один, і перемножимо ті степені, які стоять в одній клітинці.

р^{а + 3d} g^{n + 3m}

р^{а + 8d} g^{n + 8m}

р^{а + d} g^{n + m}

а + 2d g^{n+ 2m}

р^{а + 4d} g^{n + 4m}

р^{а + 6d} g^{n + 6m}

р^{а + 7d} g^{n + 7m}

р^а gⁿ

р^{а + 5d} g^{n + 5m}

Останній квадрат можна використати як шаблон для утворення безлічі квадратів з магічним добутком. При цьому, варто зазначити, що числа р і g можна накладити різні умови: простоти, парності, непарності, кратності, подільності.

Спосіб терас для утворення класичного магічного квадрату 3х3.

До кожної сторони клітинкового квадрату 3х3 домальовуємо по oдній клітинці біля кожної сторони, які називаються терасами. Утворився клітинковий ромб.

Натуральні числа 1, 2, 3 записують у клітинки в діагональному порядку(тобто паралельно до головної діагоналі квадрата 3х3) вздовж верхньої лівої сторони ромба в три клітинки знизу вгору. Потім записуємо в три середні діагональні клітинки ромба знизу вгору числа 4, 5, 6. Останню трійку чисел 7, 8, 9 записуємо в три діагональні клітинки, які розміщені під головною діагоналлю квадрата 3х3.

Усі числа, які стоять за межами квадрату 3х, переносять до протилежної сторони у відповідну порожню клітинку. У квадраті 3х3 отримали класичний магічний квадрат 3 порядку.

Спосіб Порфірія утворення класичних супермагічних квадратів

Магічний квадрат nxn називається супермагічним, якщо в ньому є внутрішній центральний квадрат (n-2)x(n-2) з усіма умовами магічного квадрату.

Метод побудови супермагічних квадратів нарощуванням(метод Порфірія).

Нехай ми маємо магічний квадрат 3х3, наприклад:

4

9

2

3

5

7

8

1

6

Побудуємо з нього супермагічний квадрат 5х5. У центрі такого квадрата має бути магічний

квадрат 3х3 з сумою 65•(3/5)=39. Додамо до кожного числа вихідного квадрату 8, і поставимо його в центр.

12

17

10

11

13

15

16

9

14

Тепер треба розмістити числа 1-8 і 18-25 так, щоб сума чисел на одній вертикалі, горизонталі або діагоналі була 26, і щоб на кожній стороні квадрата утворилася магічна сума 65.

Простим підбором (варіантів небагато) отримаємо

1

22

20

19

3

2

12

17

10

24

21

11

13

15

5

18

16

9

14

8

23

4

6

7

25

Так само можна отримати супермагічний квадрат 7х7, і т.д.

Зазначимо, що спосіб Порфірія створив монах Києво-Печерської Лаври Порфірій(Юрій Криворучко) в 2008 році.




БЛОК 2

Завдання на дослідження


Розв’яжемо наступну задача. Розмістити в таблиці 3х3, в якій заповнені дві кутові клітинки нижньої горизонталі відповідно 3 та 4, числа 1, 2 та від 5 до 9 так, щоб виконувались дві такі умови:

1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була однакова;

2) число записане в центрі таблиці було найбільшим із можливих.

1

9

2

6

8

5

3

7

4

Спочатку будемо заповнювати таблицю по горизонталі, якщо цифру 9 поставити в центр таблиці 3х3, то не отримаємо розташування так, щоб виконувалась умова задачі. У випадку, коли цифра 8 стоїть у центральній клітинці, отримаємо розв’язок задачі.

Для цього спочатку центральну вертикаль таблиці зверзу вниз числами 9,8,7, потім заповнюються крайні клітинки центральної горизонталі числами 6 та 5 так, щоб для двох нижніх квадратів 2х2 сума чисел дорівнювала 24. В кінці достатньо правильно розташувати цифри 1 та 2 так, щоб для двох верхніх квадратів 2х2 сума чисел дорівнювала 24.

А тепер спробуємо розмістити в таблиці 3х3, в якій заповнені дві кутові клітинки нижньої горизонталі відповідно 7 та 8, числа від 1 до 6 і 9 так, щоб виконувались дві такі умови:

1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була однакова;

2) число записане в центрі таблиці було найменшим із можливих.

Заповнювати будемо таблицю по горизонталі. Якщо цифру 3 поставити в центр таблиці 3х3, тоді не отримаємо розташування так, щоб виконувалась умова задачі.

1

9

2

6

4

5

7

3

8

У випадку, коли цифра 4 стоїть у центральній клітинці, маємо розв’язок задачі. Для цього спочатку центральну вертикаль таблиці зверзу вниз числами 9, 4, 3, потім заповнюються крайні клітинки центральної горизонталі числами 6 та 5 так, щоб для двох нижніх квадратів 2х2 сума чисел дорівнювала 20. В кінці достатньо правильно розташувати цифри 1 та 2 так, щоб для двох верхніх квадратів 2х2 сума чисел дорівнювала 20.

Задача. Розмістити в таблиці 3х3, числа від 3, 6, 9, 12, …, 27 так, щоб виконувалась така умови: сума по усіх рядках, по усіх колонках була однакова.