СТЕПЕНЕВІ ЛИШКИ ПРИ ДІЛЕННІ НА 100

На цьому занятті спробуємо зрозуміти, яка закономірність в чергуванні двох останніх цифр натуральних чисел, які є результатом піднесення до степеня з натуральним показником.

Напочатку звертаємо вашу увагу, що можливі тільки одноцифрові лишки при діленні на 10 (точніше, це є не що інше, як остання цифра числа) у довільних степенів, основою якої є довільна цифра, з натуральним показником.

Для натуральних степенів, основою якої є певна цифра, треба побудувати ланцюжок із одноцифрових лишків. І дослідити властивості цих ланцюжків. Ці властивості можна використовувати при розв'язуванні степеневих, показникових, степенево-показникових діофантових рівнянь.

Приклад.

Такі одноцифрові лишки при діленні на 10 має натуральна степінь двійки: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, ... і так далі. Легко прослідкувати періодичну властивість цієї послідовності з цифр. Період дорівнює чотири, - це означає, що рахуючи, від початку, на кожному четвертому місці стоять рівні цифри.
На основі цієї властивості можна знаходити невідоме значення х в такій конгруенції

2^x=x(mod 10).

Дане рівняння має розвязки х = {20к+14,20к+16}, де к - довільне натуральне число.


Ще існує невідоме значення х в такій конгруенції

2ⁿ=x(mod 10),

де n - довільне натуральне число. Дане рівняння має всього розв'язки: х = {10к+2, 10к+4, 10к+6, 10к+8}, де к - довільне натуральне число.

Приклад.

Такі одноцифрові лишки при діленні на 10 має натуральна степінь трійки: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, ... і так далі. Легко прослідкувати періодичну властивість цієї послідовності з цифр. Період дорівнює чотири, - це означає, що рахуючи, від початку, на кожному четвертому місці стоять рівні цифри.

На основі цієї властивості можна знаходити невідоме значення х в такій конгруенції

3^x=x(mod 10).

Дане рівняння має розвязки х = {20к-13,20к-7}, де к - довільне натуральне число.


Ще існує невідоме значення х в такій конгруенції

3ⁿ=x(mod 10),

де n - довільне натуральне число. Дане рівняння має розв'язки: х = {10к+1, 10к+3, 10к+9, 10к+7}, де к - довільне натуральне число.

Приклад.

Такі одноцифрові лишки при діленні на 10 має натуральна степінь четвірки: 4, 6, 4, 6, 4, 6, 4, 6, 4, ... і так далі. Легко прослідкувати періодичну властивість цієї послідовності з цифр. Період дорівнює два, - це означає, що рахуючи, від початку, на кожному другому місці стоять рівні цифри.

На основі цієї властивості можна знаходити невідоме значення х в такій конгруенції

4^x=x(mod 10).

Дане рівняння має розвязки, це числа вигляду х = 10к-4={6, 16, 26, 36, ...}, де к - довільне натуральне число.

До речі, існує невідоме значення цифри х в такій конгруенції

4ⁿ=x(mod 10),

де n - довільне натуральне число. Дане рівняння має розв'язки: х = {10к+4, 10к+6}, де к - довільне натуральне число.

Приклад.

Такі одноцифрові лишки при діленні на 10 має натуральна степінь п'ятірки: 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... і так далі. Легко прослідкувати періодичну властивість цієї послідовності з цифр. Період дорівнює один, - це означає, що рахуючи, від початку, на кожному місці стоять рівні цифри.

На основі цієї властивості можна знаходити невідоме значення х в такій конгруенції

5^x=x(mod 10).

Дане рівняння має розвязки, це числа вигляду х = 10к-5={5, 15, 25, 35, ...}, де к - довільне натуральне число.

До речі, існує невідоме значення х в такій конгруенції

5ⁿ=x(mod 10),

де n - довільне натуральне число. Дане рівняння має розв'язок: х = {10к+5}, де к - довільне натуральне число.

Приклад.

Такі одноцифрові лишки при діленні на 10 має натуральна степінь шістки: 6, 6, 6, 6, 6, ... і так далі. Легко прослідкувати періодичну властивість цієї послідовності з цифр. Період дорівнює один, - це означає, що рахуючи, від початку, на кожному четвертому місці стоять рівні цифри.

На основі цієї властивості можна знаходити невідоме значення х в такій конгруенції

6^x=x(mod 10).

Дане рівняння має розвязки, це числа вигляду х ={10к+6}, де к - довільне натуральне число.

До речі, існує невідоме значення х в такій конгруенції

6ⁿ=x(mod 10),

де n - довільне натуральне число. Дане рівняння має розв'язок: х = {10к+6}, де к - довільне натуральне число.

Приклад.

Такі одноцифрові лишки при діленні на 10 має натуральна степінь сімки: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ... і так далі. Легко прослідкувати періодичну властивість цієї послідовності з цифр. Період дорівнює чотири, - це означає, що рахуючи, від початку, на кожному четвертому місці стоять рівні цифри.

На основі цієї властивості можна знаходити невідоме значення х в такій конгруенції

7^x=x(mod 10).

Дане рівняння має розвязки х ={20к+3, 20к+17}, де к - довільне натуральне число.


Але існує невідоме значення х в такій конгруенції

7ⁿ=x(mod 10),

де n - довільне натуральне число. Дане рівняння має розв'язки: х = {10к+7, 10к+ 9, 10к+3, 10к+1}, де к - довільне натуральне число.

Приклад.

Такі одноцифрові лишки при діленні на 10 має натуральна степінь вісімки: 8, 4, 2, 6, 8, 4, 2, 6,, ... і так далі. Легко прослідкувати періодичну властивість цієї послідовності з цифр. Період дорівнює чотири, - це означає, що рахуючи, від початку, на кожному четвертому місці стоять рівні цифри.



На основі цієї властивості можна знаходити невідоме значення х в такій конгруенції

8^x=x(mod 10).

Дане рівняння має розвязки х = {20к-4, 20к-6}, де к - довільне натуральне число.


Ще існує невідоме значення х в такій конгруенції

8ⁿ=x(mod 10),

де n - довільне натуральне число. Дане рівняння має розв'язки: х = {10к+8, 10к+4, 10к+2, 10к+6}, де к - довільне натуральне число.

Приклад.

Такі одноцифрові лишки при діленні на 10 має натуральна степінь дев'ятки: 9, 1, 9, 1, 9, 1, 9, 1, ... і так далі. Легко прослідкувати періодичну властивість цієї послідовності з цифр. Період дорівнює два, - це означає, що рахуючи, від початку, на кожному другому місці стоять рівні цифри.



На основі цієї властивості можна знаходити невідоме значення х в такій конгруенції

9^x=x(mod 10).

Дане рівняння має розвязки х = {10к+9}.


Ще існує невідоме значення х в такій конгруенції

9ⁿ=x(mod 10),

де n - довільне натуральне число. Дане рівняння має розв'язки: х = {10к+1, 10к+9}.

Звертаємо вашу увагу, що можливі тільки деякі(всього їх 44) степеневі двоцифрові лишки при діленні на 100 для довільних натуральних степенів основою якої є довільна цифра. Надалі під буквами "a" та "b" - розуміють цифри.


Теорема. Нехай

2ⁿ=ab(mod 100),
тоді двоцифрові лишки при діленні на 100:
ab={02, 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, ...}.
Це останні дві цифри вказані в тому порядку, в якому зростає натуральний показник степеня 2. Отже, двоцифровий період степенів двійки рівний 20.


Теорема. Нехай

3ⁿ=ab(mod 100),
тоді двоцифрові лишки при діленні на 100:
ab={03,09,27, 81, 43, 29,87, 61, 83, 49, 47, 41, 23, 69, 07, 21, 63, 89, 67, 01, 03, ...}.
Це останні дві цифри вказані в тому порядку, в якому зростає натуральний показник степеня 3. Отже, двоцифровий період степенів трійки рівний 20.

Теорема. Нехай

4ⁿ=ab(mod 100),
тоді двоцифрові лишки при діленні на 100:
ab={04, 16, 64, 56, 24, 96, 84, 36, 44, 76, 04, 16, 64, 56, 24, 96, 84, 36, 44, 76, 04, ...}.
Це останні дві цифри вказані в тому порядку, в якому зростає натуральний показник степеня 4. Отже, двоцифровий період степенів четвірки рівний 10.

Теорема. Нехай

5ⁿ=ab(mod 100),
тоді двоцифрові лишки при діленні на 100:
ab={ 05, 25, 25, 25, ...}.
Це останні дві цифри вказані в тому порядку, в якому зростає натуральний показник степеня 5. Отже, двоцифровий період степенів 5 рівний 1.

Теорема. Нехай

6ⁿ=ab(mod 100),
тоді двоцифрові лишки при діленні на 100:
ab={06, 36, 16, 96, 76, 56, 36, 16, 96,36, 16, 96, 76, 56, 36, 16, 96, 76, 56, ...}.
Це останні дві цифри вказані в тому порядку, в якому зростає натуральний показник степеня 6. Отже, двоцифровий період степенів 6 рівний 5.

Теорема. Нехай

7ⁿ=ab(mod 100),
тоді двоцифрові лишки при діленні на 100:
ab={07, 49, 43, 01, 07, 49, 43, 01,..}.
Це останні дві цифри вказані в тому порядку, в якому зростає натуральний показник степеня 7. Отже, двоцифровий період степенів 7 рівний 4.

Теорема. Нехай

8ⁿ=ab(mod 100),
тоді двоцифрові лишки при діленні на 100:
ab={08, 64, 12, 96, 68, 44, 52, 16, 28, 24, 92, 36, 88, 04, 32, 56, 48, 84, 72, 76, 08, ...}.
Це останні дві цифри вказані в тому порядку, в якому зростає натуральний показник степеня 8. Отже, двоцифровий період степенів 8 рівний 20.

Теорема. Нехай

9ⁿ=ab(mod 100),
тоді двоцифрові лишки при діленні на 100:
ab={09, 81, 29, 61, 49, 41, 69, 21, 89, 01, 09, 81, 29, 61, 49, 41, 69, 21, 89, 01, 09, ...}.
Це останні дві цифри вказані в тому порядку, в якому зростає натуральний показник степеня 9. Отже, двоцифровий період степенів 9 рівний 10.

Теорема.
Нехай маємо натуральну степінь натурального числа

mⁿ=ab(mod 100),
тоді двоцифрові лишки при діленні на 100:
ab={00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 12,16, 21,23, 24, 25, 27, 28, 29, 32, 36, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 52,56, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 72,76, 81,83, 84, 88, 89, 92, 96}.





БЛОК 2

Комплексне завдання на дослідження



Задача 1

Вказати усі такі натуральні значення k, при яких число
3^k + k³
має останню цифру 7.

Вказівка: Послідовність чисел:
{n_k=3^k(mod 10), k – натуральне число}
є періодичною, тобто, це така послідовність:

3,9,7,1, 3,9,7,1, 3,9,7,1, … .
Період її дорівнює 4.

Послідовність чисел:
{m_k=k³(mod 10), k – натуральне число}
, є періодичною, тобто, це така послідовність:
1,8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9, 0, 1,8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9, 0,… .
Період її дорівнює 10.

Таким чином, послідовність чисел:
{n_k + m_k=3^k(mod 10) + k³(mod 10), k – натуральне число},

є періодичною, тобто, це така послідовність:
4,7,4,5,8,5,0,3,2,9,8,9,0,3,2,7,6,1,6,1, 2, 1,6,1,6,9,2,9,0,3,0,5,8,7,4,3,4,5,8,7, ... .
Період її дорівнює 4•10 = 40.

Таким чином, розв’язок рівняння це числа виду {2 + 40(p-1); 16 + 40(p-1); 34 + 40(p-1); 40p}, де p - довільне натуральне число. До речі, ці числа утворюють чотири різні арифметичні прогресії із різницею 40.



Задача 2


Чи існують такі натуральні значення k, при яких два числа
3^k + k³
і саме число k мають однакове цифрове закінчення.

Вказівка: Послідовність чисел:
{n_k=3^k(mod 10), k – натуральне число}
є періодичною, тобто, це така послідовність:

3,9,7,1, 3,9,7,1, 3,9,7,1, … .

Період її дорівнює 4.

Таким чином, послідовність чисел:
{n_k + m_k=3^k(mod 10) + k³(mod 10), k – натуральне число},
є періодичною, тобто, це така послідовність:

4,7,4,5,8,5,0,3,2,9,8,9,0,3,2,7,6,1,6,1, 2, 1,6,1,6,9,2,9,0,3,0,5,8,7,4,3,4,5,8,7, ... .

Період її дорівнює 4•10 = 40.

Таким чином, не існує такого натурального значення, щоб виконувалася умова задачі.



Задача 3


Доведіть, що існують чотири різні арифметичні прогресії з натуральних чисел {к_n}, n=1, 2,3, … значеннях яких підставивши у вираз
3^k + k³,
отримаємо натуральні числа, що закінчуються на однакову цифру.

Доведення.

Послідовність чисел:
{n_k=3^k(mod 10), k – натуральне число}
є періодичною, тобто, це така послідовність:
3,9,7,1, 3,9,7,1, 3,9,7,1, … .
Період її дорівнює 4.

Послідовність чисел:
{m_k=k³(mod 10), k – натуральне число}
, є періодичною, тобто, це така послідовність:
1,8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9, 0, 1,8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9, 0,… .
Період її дорівнює 10.

Таким чином, послідовність чисел:
{n_k + m_k=3^k(mod 10) + k³(mod 10), k – натуральне число},

є періодичною, тобто, це така послідовність:
4,7,4,5,8,5,0,3,2,9,8,9,0,3,2,7,6,1,6,1, 2, 1,6,1,6,9,2,9,0,3,0,5,8,7,4,3,4,5,8,7, ... .
Період її дорівнює 4•10 = 40.

Таким чином, існують такі натуральні значення k, що виконується умова задачі.

Наприклад: 1) якщо вираз
3^k + k³
закінчується на цифру 1, то маємо чотири різні арифметичні прогресії, з різницею 40, тобто,
k ={22 + 40(p-1); 24 + 40(p-1); 18 + 40(p-1); 20+40p},
де p - довільне натуральне число.

2) якщо вираз
3^k + k³
закінчується на цифру 2, то маємо чотири різні арифметичні прогресії, з різницею 40, тобто,
k ={21 + 40(p-1); 15 + 40(p-1); 27 + 40(p-1); 9+40p},
де p - довільне натуральне число.

3) якщо вираз
3^k + k³
закінчується на цифру 3, то маємо чотири різні арифметичні прогресії, з різницею 40, тобто,
k ={14 + 40(p-1); 36 + 40(p-1); 8 + 40(p-1); 30+40p},
де p - довільне натуральне число.

4) якщо вираз
3^k + k³
закінчується на цифру 4, то маємо чотири різні арифметичні прогресії, з різницею 40, тобто,
k ={1 + 40(p-1); 3 + 40(p-1); 35+ 40(p-1); 37+40p},
де p - довільне натуральне число.

5) якщо вираз
3^k + k³
закінчується на цифру 5, то маємо чотири різні арифметичні прогресії, з різницею 40, тобто,
k ={4 + 40(p-1); 6 + 40(p-1); 38+ 40(p-1); 32+40p},
де p - довільне натуральне число.

6) якщо вираз
3^k + k³
закінчується на цифру 6, то маємо чотири різні арифметичні прогресії, з різницею 40, тобто,
k ={23 + 40(p-1); 25 + 40(p-1); 17+ 40(p-1); 19+40p},
де p - довільне натуральне число.

7) якщо вираз
3^k + k³
закінчується на цифру 7, то маємо чотири різні арифметичні прогресії, з різницею 40, тобто,
k ={2 + 40(p-1); 16 + 40(p-1); 34 + 40(p-1); 40p},
де p - довільне натуральне число.

8) якщо вираз
3^k + k³
закінчується на цифру 8, то маємо чотири різні арифметичні прогресії, з різницею 40, тобто,
k ={11 + 40(p-1); 33 + 40(p-1); 5 + 40(p-1); 39+40p},
де p - довільне натуральне число.

9) якщо вираз
3^k + k³
закінчується на цифру 9, то маємо чотири різні арифметичні прогресії, з різницею 40, тобто,
k ={12 + 40(p-1); 26 + 40(p-1); 28 + 40(p-1); 10+ 40p},
де p - довільне натуральне число.

10) якщо вираз
3^k + k³
закінчується на цифру 0, то маємо чотири різні арифметичні прогресії, з різницею 40, тобто,
k ={31 + 40(p-1); 13 + 40(p-1); 29 + 40(p-1); 7 + 40p},
де p - довільне натуральне число.