Властивості остач(лишків)

Властивості остач(лишків)

 Квадратні лишки

Остачі при діленні квадратів на натуральні числа.

Якщо квадрат натурального числа, тобто,  m² = m∙m, поділити на:

2, то отримаємо остачі 0, 1;

3, то отримаємо остачі 0, 1

4, то отримаємо остачі 0, 1;

5, то отримаємо остачі 0, 1, 4;

6, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4;

7, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 4;

8, то отримаємо остачі  0, 1, 4;

9, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 7;

10, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 5, 6, 9;

11, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4, 5, 9;

12, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 9;

13, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12;

14, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 4, 8, 9;

15, то отримаємо остачі 0, 1,4, 6,  9, 10;

16, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 9;

17, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 8, 9,15.

Кубічні лишки

Остачі при діленні кубів на натуральні числа.

Якщо куб натурального числа, тобто,  m3 = m∙m∙m, поділити на:

2, то отримаємо остачі 0, 1;

3, то отримаємо остачі 0, 1, 2;

4, то отримаємо остачі 0, 1, 3;

5, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4;

6, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5;

7, то отримаємо остачі  0, 1, 6;

8, то отримаємо остачі  0, 1, 3, 5, 7;

9, то отримаємо остачі  0, 1, 8;

10, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5; 6; 7; 8; 9

Таблиця остач при діленні кубів на цифри

      1             2             3             4             5             6             7             8             9

1    0             1             1             1             1             1             1             1             1

2³  0             0             2             0             3             2             1             0             8

3³  0             1             0             3             2             3             6             3             0

4³  0             0             1             0             4             4             1             0             1

5³  0             1             2             1             0             5             6             5             8

6³  0             0             0             0             1             0             6             0             0

7³  0             1             1             3             3             1             0             7             1

8³  0             0             2             0             2             2             1             0             8

9³  0             1             0             1             0             3             1             1             0

Четвіркові лишки

Остачі при діленні четвертих степенів на натуральні числа.

Якщо квадрат натурального числа, тобто,  m4 = m∙m∙m∙m, поділити на:

2, то отримаємо остачі 0, 1;

3, то отримаємо остачі 0, 1

4, то отримаємо остачі 0, 1;

5, то отримаємо остачі 0, 1;

6, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4;

7, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 4;

8, то отримаємо остачі  0, 1;

9, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 7;

10, то отримаємо остачі 0, 1, 5, 6;

П’ятіркові лишки

Остачі при діленні п’ятих степенів на натуральні числа.

Якщо куб натурального числа, тобто,  m5 = m∙m∙m∙ m∙m, поділити на:

2, то отримаємо остачі 0, 1;

3, то отримаємо остачі 0, 1, 2;

4, то отримаємо остачі 0, 1, 3;

5, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4;

6, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5;

7, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6;

8, то отримаємо остачі  0, 1, 3, 5, 7;

9, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 4, 5, 7, 8;

10, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5; 6; 7; 8; 9.

Розв’язування числових задач.

1       2       3       4       5       6

n       n²      n³      n⁴      n^4k    n^k

1       1       1       1       1       1

2       4       8       6       6       -

3       9       7       1       1       -

4       6       4       6       6       -

5       5       5       5       5       5

6       6       6       6       6       6

7       9       3       1       1       -

8       4       2       6       6       -

9       1       9       1       1       -

0       0       0       0       0       0

 У цій таблиці наведено останні цифри натуральних чисел, квадратів, кубів, четвертих степенів і так далі.

Використовуємо цю таблицю для розв’язування задач.

Задача 1. Знайти остачу від ділення квадрата цілого числа на 5.

Розв’язання:

Квадрати натуральних чисел закінчуються цифрами: 0; 1; 4; 5; 6; 9.(колонка 2) то при їх діленні  на 5 одержуємо 0, 1 або 4.

Задача 2. Чи може число виду 1k+5m+6n, де k, m, n – довільні натуральні числа, бути довільним квадратом.

Розв’язання: Кожний доданок закінчується відповідно цифрами: 1, 5 і 6 (колонка 6) і тому їх сума закінчується цифрою 2, а таке число не може бути точним квадратом.

Задача 3. Довести, що число 53⁵³- 33³³ ділиться на 10.

Розв’язання: При виділенні показників степенів 53 і 33 на 4 в остачі одержуємо в кожному випадку 1. Отже, остання цифра числа 53⁵³ така сама, як числа 33³³, бо534*13+1 і 334*8+1, отже, остання цифра різниці 0, і ця різниця ділиться на 10.

 Задача 4. Які остачі можуть мати точні квадрати при діленні на 3?

Відповідь: 0; 1; (3k±1)2=9k2±6k+1.    (3k)2=9k.

Задача 5. Які остачі не можуть мати точні квадрати при діленні на 4?

(2k)²=4k²

(2k+1)²=4k²+4k+1

Відповідь: 2; 3.

Задача 6. Які остачі не можуть мати точні квадрати при діленні на 5?

Відповідь:2 і 3.

(5k)²=25k²+0

(5k±1)²=25k²±10k+1

(5k±2)2=25k²±20k+4

Задача 7. Довести, що при будь-якому цілому n число n(n-3)(n²-3n+14) ділиться на 24?

Доведення:

n(n-3)(n²-n-2n+2+12)=n(n-3)(n(n-1)-2(n-1)+12=n(n-3)(n-1)(n-2)+12n(n-3). Це число ділиться на 24, бо:    n(n-1)(n-2)(n-3) ділиться на 3і 8 ділиться на 24.

Задача 10. 5. Скільки існує різних пар цілих чисел х та н від 1 до 1000, для яких (х²+у²)/49 є цілим числом( пари (х; у) і (у; х) вважати однаковими)?

Розв’язування. Зазначимо такий факт, який обгрунтовується з властивості квадратів цілих чисел:

 а²=(-а)²:  якщо цілочисельна пара (х; у) задовольняє умову задачі, тоді цілочисельні пари (-х; -у); (х; -у) теж задовольняють умову задачі.

Представимо цілочисельні змінні х та у  за допомогою остач при діленні на 7.

{7m-3; 7m-2; 7m-1; 7m;  7m+1; 7m+2; 7m+3 }.

Запишемо повну множину усіх  остач при діленні цілочисельного виразу  х²+у² на 7. Складемо для цього таблицю:

х2+у2	х=7m-3	х=7m-2	х=7m-1	х=7m	х=7m+1	х=7m+2	х=7m+3
у=7k-3	7р+4	7р+6	7р+3	7р+2	7р+3	7р+6	7р+4
у=7k-2	7р+6	7р+1	7р+5	7р+4	7р+5	7р+1	7р+6
у=7k -1	7р+3	7р+5	7р+2	7р+1	7р+2	7р+5	7р+3
у=7k	7р+2	7р+4	7р+1	7р	7р+1	7р+4	7р+2
у=7k +1	7р+3	7р+5	7р+2	7р+1	7р+2	7р+5	7р+3
у=7k +2	7р+6	7р+1	7р+1	7р	7р+1	7р+4	7р+6
у=7k +3	7р+4	7р+6	7р+3	7р+2	7р+3	7р+6	7р+4

Проаналізувавши цю таблицю, маємо тільки один випадок, коли цілочисельний вираз х²+у² ділиться націло на 7, тобто х=7m,  у=7k. Таким чином, цілочисельний вираз х²+у² поділиться на 49 тоді і тільки тоді,  коли х=7m,  у=7k. 

Виконаємо на цю умову обмеження: 1<=7m<=1000, 1<=7k <=1000.  Отже, 1<=m<=142,  1<=k <=142.

Порахуємо кількість пар цілочисельних пар (х; у), враховуючи  (х; у) і (у; х) вважати однаковими: 

142+141+140+…2+1= 142*143/2=10153.

Відповідь: 10153 пар.

Задача 10.6. Чи існують два послідовні натуральні числа, у кожного з яких сума цифр ділиться без остачі на 7?

Розв’язання.

Якщо остання цифра першого числа не 9. Тоді сума Нехай s(a) – сума цифр числа а, та  

s(a +1) - сума цифр числа а+1,  

Якщо остання цифра числа а не 9, тоді  / s(a +1) – s(a) / = 1, отже s(a +1) та s(a) одночасно не діляться на 7.

 Якщо декілька останніх цифр числа а рівні 9, тоді 

s(a) = 9n + k =(7+2)n + k =    7n + 2n + k

    s(a +1) = k + 1.

Числа  вигляду  k + 1 та  2n + k  різної парності, отже при діленні  цих чисел на 7 отримуємо різні остачі. Таким чином   s(a +1) та s(a) одночасно не діляться на 7.