неділя, 13 листопада 2016 р.

Трикутні та квадратні числа та їх властивості

Трикутні та квадратні числа та їх властивості


Багатокутні числа
Натуральний ряд чисел починається з 1, а всі інші числа отримуємо додаванням до попереднього числа по одиниці. Природно прийти до думки скласти таку числову послідовність, яка починається з одиниці і утворює наступні числа додаванням до попереднього числа по 2, по 3, по 4 і так далі…

Таким чином утворюються послідовності чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ……  n …..
1, 3, 5,  7,  9,  11, 13, 15, 17, …. 2n-1….
1, 4,  7, 10,  13, 16, 19, 21, ….. 3n-1….
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, …..4n-1….
Знайдемо суми одного , двох, трьох, чотирьох  і так далі…
Утворяться такі послідовності:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …..  трикутні числа.
1, 4, 9, 165,25, 36, 49,…..  квадратні числа.
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, …. п’ятикутні числа.
1,  6, 15, 28, 45, 66, 91, … шестикутні числа.


Ці числа зустрічаються у піфагорійців (VI в. до н. е.) і потім у подальших грецьких математиків (Ератосфен, Гипсикл). Особливо детально вивчали їх математиків перших століть 158 нашої ери: Нікомах, Теон Смірнській (II в.) і їх сучасники. Цим захоплювався і батько грецької алгебри Діофант III-IV ст. н. е.), що написав про них цілу книгу, що дійшла до нас.
Незалежно від грецьких математиків багатокутними числами займалися індійські і китайські математики.
Грецьких математиків знайшли різні властивості багатокутних чисел, які в більшості випадків доводилися на фігурах.
Теорема. Довести, що довільне восьмикутне число рівне сумі шести (n - 1)-х трикутних чисел плюс n.
Правильність теореми видно з таблиці: друге восьмикутне число 8 = 61 + 2; третє: 21 =63 + 3, четверте: 40 = 6 6 + 4,  п'яте:  65 = 610 + 5 і так далі.
Для доказу досить побудувати креслення і сказати, за зразком індійського керівництва: дивися!
Дуже важкі теореми про багатокутні числа доводили Ферма (XVII в.), Ейлер і Лагранж (XVIII в.), Гаус (XIX в.) і ін. Ці теореми грали і грають велику роль у вищій арифметиці.
Найважливішою з цих теорем є теорема, яку Ферма назвав «золотий»: всяке натуральне число є або трикутне або сума два або трьох трикутних чисел; або квадратне або сума два, три або чотирьох квадратних чисел; або п'ятикутне або сума два, три, чотири або п'яти п'ятикутних чисел і так далі. Ферма не міг дати доведення цієї теореми, що слыдуэ, за його словами, «з багатьох глибоко прихованих таємниць чисел». Пройшовши через руки Ейлера, Лагранжа, Лежандра і Гауса, теорема Ферма була повністю доведена французьким математиком Коші (1813-1915 рр.). З цієї теореми витікають багато важливих    властивостей пропозиції теорії чисел.
Зазначимо, що в європейській математиці зустрічаються ще фігурні числа, цими числами у європейських математиків називалися коефіцієнти членів ступенів бінома (а+b)при n = 1, 2, 3, 4... , тобто числа з трикутника Паска ля.

Трикутні  числа

Як відомо,   трикутними   називаються   числа,   утворені  шляхом   послідовного  підсумовування  чисел натурального   ряду,   т.   е.   числа 
1=1                                                     1    3   6    10     15    21
1+2 =3                                                   2   5    9     14     20
1+2+3= 6                                                 4   8    13     19     
………………                                           7    12   18
1+2+3 + …… + n = 0,5n(n+1)                   11    17
………………………………………..          16
Трикутне число рівне половині добутку двох сусідніх чисел натурального ряду, тобто Тn = 0,5n(n+1).
Позначають трикутні числа таким чином:
Т1 = 1,  Т2 = 3,  Т3 = 6, Т4 = 10, Т5 = 15, Т6 = 21, Т7 = 28, Т8 = 36, Т9=  45, Т10 =  55, Т11 = 66, Т12 = 78, Т13= 91, Т14 = 105, … , Тn = 0,5n(n+1), …
Трикутні числа володіють безліччю цікавих властивостей.
Так, сума двох послідовних трикутних чисел рівна квадратному числу
Тn-1   +  Тn = 0,5n(n-1) + 0,5n(n+1)  = 0,5n2 + 0,5n2 + 0,5n - 0,5nn2.               (1)
Або   
Тn n2  – Тn-1.
а їх різниця
Тn+1   –  Тn = 0,5n(n-1) - 0,5n(n+1)  = 0,5n2 – 0,5n2 + 0,5n - 0,5nn.                      (2)
Або  
Тn =  Тn -1  +  n  .

Квадратні числа

Квадратні числа  числами вважають результат множення натурального числа на самого себе, іноді цю дію означають, як  другу степінь (квадрат) натурального числа. Приклади таких чисел:
К1 = 1,  К2 = 4,  К3 = 9, К4 = 16, К5 = 25, К6 = 36, К7 = 49, К8 = 64, К9=  81, К10 =  100,
К11= 121,  К12 =144, К13= 169, К14 =196, … , Кn = nn = n2, …


 1       4      9     16    25
 2       3      8     15    24
 5       6      7     14    23
10     11    12    13    22
17      18    19   20    21
Трикутні і квадратні числа зв'язані між собою багатьма співвідношеннями. Вкажемо тільки наступні, знайдені нами залежності:
3×Тn – Тn-1   + 1= (n + 1)2  = Кn+1                                  (3)
2×Тn×Т2n  /  Т2n-1    = n2  = Кn                                   (4)
Т2n(n+1)  /  Тn    = (2n + 1)2 = К2n+1                              (5)
Із формули (5), наприклад, при n = 5 маємо:
(  Т60   / Т5  )- 1 = 112.
Широко відома так звана формула Діофанта
8×Тn  + 1 = (2n + 1)2, або     Тn = 0,125((2n + 1)2 -  1) = 0,125К2n+1 – 0,125   (6)
Здавалося б, трикутні числа та квадрати взаємозв'язані вельми просто. Але знаменитий математик Л. Ейлер (1707- 1783) поставив таке завдання: знайти формулу для трикутних чисел, що одночасно є квадратами. Що такі числа є, легко переконатися. Так, вже Т1 = 1 = 12, Т8 = 36 = 62.
А далі?  Ейлер   дав    формулу   для    отримання   квадратних   чисел (піднесену нами в квадрат):
Кn  = ((3 + 21,5)n –  (3 –21,5)n )2 × 2-2,5                    (7)

При n =1 і n = 2 з неї отримуємо вже відомі нам числа 1 і 36, при n = 3 маємо К3  = 32, при n = 4,  К4  = = 2042 і т.д.
Формула (7) здалася Ейлерові дуже складною, і він запропонував іншим ученим спростити її або знайти іншу, простішу, але висловив при цьому припущення, що це, очевидно, найпростіша зі всіх можливих формул. Мабуть, це так і є, тому що до цих пір ніхто не запропонував більш простій залежності.

Про представлення  трикутних     чисел    квадратами

А що можна сказати про суму трьох  і чотирьох послідовних трикутних чисел?
Чи може така сума бути квадратом? Це завдання, не дивлячись на її простоту, до цих пір не ставилося. Тим часом такі трійки і четвірки трикутних чисел існують. Так, маємо трійки послідовних трикутних чисел:
Т5 + Т6 + Т7 = 82.
Т14 + Т15+ Т16 = К19 = 192,
або
105 + 120 + 136 = 361 = 192
Т63 + Т64 + Т65 = К79 = 792
Т152 + Т153 + Т154 = К188 = 1882 .
Можна відзначити, що квадратні числа, що є одночасно сумою трьох послідовних трикутних чисел, повинні бути також виду 3Тn + 1.
Тому
Тn-1   + Тn  +  Тn+1   = 3Тn + 1.

Існують і четвірки послідовних трикутних чисел, в сумі ті, що дають квадратне число. Наприклад:
Т5 + Т6 + Т+ Т8 = К10  = 102
Т39 + Т40 + Т41 + Т42 = К58 = 582
Т237 + Т238 + Т239  + Т240 = К338  = 3382
Т1391 + Т1392 + Т1393  + Т1394 = К338  = 19702
Ці формули, втім, як і попередні, можуть бути узагальнені, наприклад, таким чином:
Т3к-1 + Т + Т4к -1 + Т= (5к)2 = (3к)2 +(4к)2 .         (8)
При к =1 звідси маємо
Т2 + 2Т3 + Т4 = 52 або 3 + 6 + 6 + 10 = 25 = 52,
при к=2 отримаємо приведену раніше формулу,  при к = 7 маємо
Т20 + Т21 + Т27 + Т28 = 352
і т.д.
Звернемо увагу на праву частину формули (8). Вона відображає факт, що вже наголошувався (див. формулу (1)): сума двох послідовних трикутних чисел рівна квадратному числу. Але таким чином знаходження загальної формули для четвірок трикутних чисел виявляється безпосередньо взаємозв'язано з піфагоровимі числами! А саме: якщо піфагорійці знайшли тотожність, що охоплює трійки чисел, в яких числові значення катета і гіпотенузи є сусідніми числами в натуральному ряду:
(2n + 1)2 + (2n2  + 2n)2 = (2n2 + 2n + 1)2                   (9)
де n = 1,2,3,4      то нам треба знайти піфагорові трійки, у яких послідовними числами є величини катетів, т. е необхідно знайти числа, що задовольняють рівнянню а2 + (а + 1)2 = с2.
Такі трійки піфагорових чисел є. Ось вони:
32 + 42=52,
202 + 212=292,
1192+1202=1692
і т.д.
    Формула для знаходження квадратних чисел, що є      сумою  двох   послідовних   квадратних чисел, має наступний вигляд:
Сn = 2 -1,5×((1+ 20,5)2n-1 (1- 20,5)2n-1)                                                (10)
Числова послідовність, що виходить звідси при n  = 1,2,3         така:
1, 5, 29, 169, 985, 5741 ... .   (11)
А формула для знахождення всіх четвірок послідовних трикутних чисел, в сумі тих, що дають квадратне число, така:
Кn = ( 2 -0,5×((1+ 20,5)2n-1 (1- 20,5)2n-1))2                              (12)

Числова послідовність сум таких четвірок має вигляд:
22, 102,  582, 3382, 19702,11482….                   (13)
Відзначимо ще, що для всіх трьох послідовностей, що розглядаються тут, описуються формулами (7), (10) і (12), справедливе одне і те ж рекурентне співвідношення
аn+1 = n аn-1,
причому для послідовності 1, 6, 35, 204, 1189..., загальний член якої описується формулою Ейлера (7)
ао = a1 =1,
для послідовності (11)
ао= a1 =1
 і  для послідовності (13) (але без піднесення кожного члена в квадрат)
ао = a1 =2.
Трійки трикутних чисел,
Т5 + Т6 + Т7 = 82.
Т14 + Т15+ Т16 = К19 = 192,
Т63 + Т64 + Т65 = К79 = 792
Т152 + Т153 + Т154 = К188 = 1882,
є членами числової зворотної послідовності
 1, 2, 8, 19, 79, 188, 782...
Будь-який член цієї послідовності, що стоїть на непарних місцях, можна знайти по формулі
Кn = 4-1×6-0,5(39 + 16×60,5)(5 + 2×60,5)n – (39 – 16×60,5)(5 – 2×60,5)n )                    (14)
де n = 0, 1, 2, 3...
Будь-який член послідовності, що стоїть в ній на парних місцях, знаходиться по формулі
Кn = 4-1×6-0,5(9 + 4×60,5)(5 + 2×60,5)n – (9 – 14×60,5)(5 – 2×60,5)n )                   (15)
де n = 0, 1, 2, 3...
        
Формулі (14) відповідає рекурентне співвідношення
а2n+3 = 10а2n+1 a2n-1.
a1 = 1,  a3  = 8, а5 = 79, а7  = 782;   а9 =  7741
Для чисел, що стоять на парних місцях послідовності, рекурентне співвідношення має вигляд:
а2n+4 = 10а2n + 2  – а2n,
а2 = 2, a4 = 19, а6 =188,…
Отже, знайдені формули для обчислення піфагорових чисел, що є послідовними квадратами, яким рівні катети прямокутного трикутника, а також трійки і четвірки послідовних трикутних чисел, що в сумі мають квадратне число. Видно, груп по 5 і по 6 послідовних трикутних чисел квадратами бути не можуть. Але це питання поки залишається відкритим.
Повертаючись до формули Діофанта (6), відзначимо, що нам вдалося її узагальнити таким чином:
(kn + 1)2 = 8(k-1)Тn+((k-2)n – 1) 2.  (16)
Дана формула дозволяє представити будь-яке квадратне число у вигляді суми меншого квадрата і кратного трикутному числу числа.
З (16) якщо k = 1 маємо тривіальну тотожність
(n+1) 2 =  (- n - 1)2 ,
 при k =2 отримуємо залежність Діофанта (6),
при k =3 маємо
(3nа + 1)2 = 16Tn + (n - 1)2,
при к = 4
(4nа + 1)2 = 24Tn + (2n - 1)2
і т. д.
Відповідно до формули (16) квадратні числа можуть мати різне число представлень у вигляді вищезгаданої суми. Причому якщо kn - просте, то число представлень рівне лише двом. Якщо ж kn складене число, то число уявлень залежить від числа дільників kn. Наприклад, якщо kn = 35, то маємо наступні розкладання:
(1×35+1)2=8.0.Т35+362,
(5×7+1)2=8.4Т7+202,
(7×5+1)2=8×6 Т5+242,
(35×1 + 1)2=8×34Т1+322.
Як   бачимо,   при   розкладаннях   враховується   і   одиниця.
Для простих kn це видно особливо наочно. Так, для
kn = 5 маємо:
(5+1)2 = 6= (1×5+1)2 = 8×0×Т8+ 6= (5×1 + 1)2 = 8×1 +  22.
На закінчення вкажемо на наступне. Якщо розглядати не тільки квадратні, а будь-які натуральні числа у вигляді уявлення їх сумою трикутних чисел і при цьому не вимагати, щоб трикутні числа були послідовними, то приходимо до знаменитої проблеми теорії чисел, якою займалися Ферма, Ейлер, Лагранж та інші. Ці математики виявили і показали, що будь-яке число можна представити у вигляді суми n-кутних чисел, що складається не більше ніж n доданків. Зрозуміло, що для представлення квадратного числа достатньо суми трьох трикутних чисел.


Немає коментарів:

Дописати коментар