Різні факти про подільність многочленів

ФОРМУЛИ СКОРОЧЕНОГО МНОЖЕННЯ
Різні факти про подільність многочленів та розклад їх на множники з цілими коефіцієнтами можуть допомогти розв'язувати задачі з цілими числами. Досить часто використовується те, що для цілих а і b та натурального n число

aⁿ - bⁿ ділиться на а - b,

а число

a^2n-1 + b²ⁿ⁺¹ ділиться на а + b.

Степінь двочлена. (Біном Ньютона)

(a + b)⁰ = 1;

(a + b)¹ = a + b

(a + b)² = a² + 2ab + b² – це квадрат суми двох чисел;

(a - b)² = a² - 2ab + b² – це квадрат різниці двох чисел;

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – це куб суми двох чисел;
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ – це куб різниці двох чисел;

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab² + b⁴;
(a - b)⁴ = a⁴ - 4a³b + 6a²b² - 4ab² + b⁴;

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵;
(a - b)⁵ = a⁵ - 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ - b⁵;

(a + b)⁶ = a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶;
(a - b)⁶ = a⁶ - 6a⁵b + 15a⁴b² - 20a³b³ + 15a²b⁴ - 6ab⁵ + b⁶.

Сума та різниця степенів двох цілих виразів

a² – b² = (a – b)(a + b) – це різниця квадратів двох виразів.

а³ – b³ = (a – b)(a² + аb + b²) – це різниця кубів двох виразів.

а³ + b³ = (a + b)(a² – аb + b²) – це cума кубів двох виразів.

а⁴ – b⁴ = (a – b)(a³ + а²b + аb² + b³);

а⁵ – b⁵ = (a – b)(a⁴ + а³b + а²b² + аb³ + b⁴);

а⁵ + b⁵ = (a + b)(a⁴ – а³b + а²b² – аb³ + b⁴);

a^2m + b^2m = a^2m( 1 + b^2m / a^2m) = b^2m( 1 + a^2m / b^2m);

аⁿ – bⁿ = (a – b)(a^n-1 + а^n-2b + а^n-3b² + … + а²b^n-3 + аb^n-2 + b^n-1);

Якщо b = 1, тоді

аⁿ – 1 = (a – 1)(a^n-1 + а^n-2 + а^n-3 + … + а² + а + 1);

Для непарних n

аⁿ + bⁿ = (a + b)(a^n-1 - а^n-2b + а^n-3b² - … + а²b^n-3 - аb^n-2 + b^n-1);

Якщо b = 1, тоді

a²ⁿ⁺¹ + 1= (a + 1)( a^n-1 - а^n-2 - а^n-3 + … + а² - а + 1);

а³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² +c² – аb – bc – ac)

(a + b + c)² = a² + b² +c² + 2аb + 2bc + 2ac

Наприклад, доведемо, що 2¹⁹⁸¹ + 1 ділиться на 43.

Маємо 2¹⁹⁸¹ + 1 =(2⁷)²⁸³ + 1²⁸³, а це число ділиться на 2⁷ +1 =3•43.

Задача. Довести, що число 100...01 складене (всього 1991 нулів).

Розв'язання.

Дане число запишемо

100...01 = 10¹⁹⁹² + 1 = (10⁶⁶⁴)³ + 1³,

Отже, число 100...01 ділиться на 10⁶⁶⁴ + 1.

Наступна задача ілюструє ще один оригінальний метод доведення подільності.

Задача. Довести, що для будь-якого натурального n число

3²ⁿ⁺³ + 40n - 27

ділиться на 64.

Розв'язання.

Позначимо

f(n) = 3²ⁿ⁺³ + 40n - 27, f(1) = 256 br>
ділиться на 64. Тепер нам досить довести, що для будь-якого n

g(n) = f(n + 1) - f(n)

ділиться на 64, адже

f(n) = (f(к) - f(к-1)) + (f(k-1) - f(k-2)) + ... + (f(2) - f(1)) + f(1).

Маємо

g(n) = 8•3²ⁿ⁺³ + 40.


Щоб довести, що g(n) ділиться на 64, аналогічно

перевіряємо, що ділиться

g(1) = 1984,

і розглянемо

g(n + 1) - g(n) = 64•3²ⁿ⁺³.

Очевидно, що всі

g(n + 1) - g(n) діляться на 64,

тому діляться всі g(n), а, отже, і всі f(n).

Задача. Довести, що для будь-якого n

2^2n-1 - 9n² + 21n - 14

ділиться на 27.







БЛОК 2

Завдання на дослідження


1. Чи вірно, що:

а) число 5⁵ - 5⁴ + 5³ ділиться на 21;

б) число 957² - 43² ділиться на 1000?

Дослідження.

а) Перетворимо даний вираз:

5⁵ - 5⁴ + 5³ = 5³(5² - 5 + 1) = 5³ • 21.

Як бачимо, дане число ділиться на 21.

б) Перетворимо даний вираз:

957² - 43² = (957 + 43)(957 - 43) = 1000•914.

Як бачимо, даний вираз ділиться на 1000.



2. Чи вірно, що при кожному натуральному значенні n:

а) (n + 1)² - (n – 1)² ділиться на 4;

б) (3n + 2)² - (3n - 2)² ділиться на 24;

в) (5n + 3)² - (5n - 3)² ділиться на 60?

Дослідження.

а) Перетворимо даний вираз:

(n + 1)² - (n - 1)² = (n + 1 + n - 1)(n + 1 - n + 1) = 2n•2 = 4n.

Отриманий вираз кратний 4, тобто ділиться на 4.

б)(3n + 2)² - (3n - 2)² = (3n + 2 +3n - 2)(3n + 2 - 3n + 2) = 6n•4 = 24n.

Отриманий вираз кратний 24, тобто ділиться на 24.

в)(5n + 3)² - (5n - 3)² = (5n + 3 + 5n - 3)(5n + 3 – 5n + 3) = 10n•6 = 60n.

Отриманий вираз кратний 60, тобто ділиться на 60.



3. Чи вірно, що квадрат суми двох додатних чисел більший від суми їх квадратів?

Дослідження.

Нехай дано два додатних числа а і b. Знайдемо квадрат їх суми:

(a + b)² = а² + 2аb + b² = (а² + b²) + 2аb.

Оскільки а і b – числа додатні, величина 2аb – також число додатне, отже, квадрат суми двох

додатних чисел більший від суми їх квадратів.


4. Чи вірно, що квадрат суми двох чисел більший від їх подвоєного добутку?

Дослідження.

Нехай дано два числа n і m. Знайдемо квадрат їх суми:

(n + m)² = n² + 2nm + m² = 2nm + (n² + m²).

Величина m² + n² додатна при будь-яких значеннях n і m, таким чи-ном, квадрат суми двох

чисел більший від їх подвоєного добутку.



5. Чи вірно, що різниця квадратів двох непарних чисел ділиться на 4?

Дослідження.

Нехай дано два непарних числа: 2а + 1 і 2b + 1. Знайдемо різницю квадратів цих чисел:

(2а + 1)² - (2b + 1)² - (2а + 1 + 2b + 1)(2а + 1 – 2b - 1) = (2а + 2b+ +2)(2а – 2b) = 2(а + b + 1) ?2(а - b) = 4(а + b + 1)(а - b).

Отриманий вираз кратний 4, отже, різниця квадратів двох непарних чисел ділиться на 4.



6. Чи вірно, що різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8?

Дослідження.

Нехай дано два послідовних непарних числа 2а + 1 і 2а + 3. Знайдемо різницю квадратів цих чисел:

(2а + 3)² - (2а + 1)²= = (2а + 3 + 2а + 1)(2а + 3 - 2а - 1) = (4а + 4)•2 = 4•2(а + 1) = 8(а + 1).

Отриманий вираз кратний 8, отже, різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8.



7. Чи вірно, що різниця квадратів двох послідовних парних чисел на 8 не ділиться?

Дослідження.

Дано два послідовних парних числа: 2а і 2а + 2.

Знайдемо різницю квадратів цих чисел:

(2а + 2)² - (2а)² = (2а + 2 + 2а)(2а + 2 - 2а) = (4а + 2) ? 2 = 2(2а + 1)•2 = 4(2а + 1).

Як бачимо, різниця квадратів двох послідовних парних чисел на 8 не ділиться,

оскільки 2а + 1 – число непарне.



8. Чи вірно, що сума двох послідовних цілих чисел дорівнює різниці їх квадратів?

Дослідження.

Нехай дано два послідовних цілих числа а і а + 1.

Знайдемо їх суму:

а + а + 1 = 2а + 1.

Знайдемо різницю їх квадратів:

(а + 1)² - а² = (а + 1 + а)(а + 1 - а) = 2а + 1.

Як бачимо, сума двох послідовних цілих чисел дорівнює різниці їх квадратів.



9. Чи вірно, що непарне число дорівнює різниці квадратів двох деяких цілих чисел?

Дослідження.

Будь-яке непарне число можна представити у вигляді виразу 2а + 1. Перетворимо цей вираз:

2а + 1 = 2а + 1 + а² - а² = (а² + 2а + 1) - а² = (а + 1)² - а².

Як бачимо, непарне число дорівнює різниці квадратів двох деяких цілих чисел.



10. Чи вірно, що квадрат непарного числа при діленні на 8 дає в остачі 1?

Дослідження.

Нехай дано непарне число 2а + 1.

Квадрат цього числа дорівнює:

(2а + 1)² = 4а² + 4а + 1 = 4а(а + 1) + 1;

число а(а + 1) – парне при будь-яких значеннях а, тоді число 4а(а +1) – кратне 8, тобто ділиться на 8. Отже, квадрат будь-якого непарного чис¬ла при діленні на 8 дає в остачі 1.



11. Чи вірно, якщо сума двох натуральних чисел ділиться на 10, то квадрати цих чисел закінчуюються однаковими цифрами?

Дослідження.

Якщо квадрати двох натуральних чисел, сума яких ділиться на 10, закінчуюються однаковими цифрами, то різниця квадратів цих чисел закінчується цифрою 0, тобто кратна 10.

Нехай дано числа а і b, сума яких кратна 10, тоді:

а² - b² = (а + b)(а - b).

Як бачимо,
а² - b²
ділиться на 10, оскільки а + b ділиться на 10. Отже, квадрати даних чисел закінчуюються однаковими цифрами.