Латинські квадрати та ребуси для початківців

РЕБУСИ

Числові ребуси

1. Продовжте послідовності чисел на три числа:

а) 123, 456, 789, 101, 112, 131, 415, ... ;

б) 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, …

в) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … ;

г) 5455, 4455, 5444, 5555, 4444, … .

Буквені ребуси

2. Продовжте послідовності на три букви:

1) П, В, С, Ч, … ;

2) С, Л, Б, К, … ;

3) К, О, Ж, З, … ;

4) О, Д, Т, Ч, … .





3.Наступні ребуси – це завдання, в яких треба відновити цифри у буквеному записі арифметичної дії.

Однаковим буквам відповідають однакові цифри, різним буквам відповідають різні цифри.

1) ЛІНІЯ + ЛІНІЯ = ФІГУРА;

2) КНИГА + КНИГА + КНИГА = НАУКА;

3) БОРЩ + КОРЖ = ОБІД;

4) УДАР + УДАР = ДРАМА

5) ШЛЯХ + ПЛЯЖ = ХВИЛЯ.

Ребуси на фігурах



1. Утворіть магічний квадрат 3х3. Для цього накресліть порожній клітинковий квадрат, розміром 3х3. Заповніть кожну клітинку якоюсь однією цифрою, використовуючи всі цифри, окрім 0, так , щоб сума трьох чисел, що розташовані по горизонталям, і сума трьох чисел, що розташовані по вертикалям, і сума трьох чисел, що розташовані по діагоналям була однакова.

Обговорення отриманих результатів.

Зрозуміло, що для того аби знайти число, що рівне сумі чисел по рядках, треба додати усі цифри та отримати 45. Якщо це число розділити на 3, то отримаємо 15. Отже, сума по горизонталях, по вертикалях, по діагоналях рівна 15. Середнє серед цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - це 5, тому воно повинно стояти в центральній клітинці. Помітимо, що числа рівновіддаленні від числа 5 – це числа однакової парності і мають таку властивість: 1+ 9 =10, 2+8 =10, 3 + 7 =10, 4+ 6 = 10. Тоді в сусідній з нею клітинках повинні стояти непарні цифри. В кутових клітинках повинні стояти тільки парні числа, бо у противному випадку: цифра 7 і 9 опиняються або на одній діагоналі, або в одному стовпчику, що суперечить умові задачі(адже 9+7=16, що не рівне 15). Знайшовши одне правильне розташування можна отримати ще вісім таких квадратів за допомогою повороту навколо центральної клітинки.

2. Розмістити в таблиці 3х3 числа від 1 до 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була різна; 2) число записане в центрі таблиці було найбільшим із можливих; 3) по кожній діагоналі квадрата суми чисел рівні і найбільші із можливих; 4) суми чисел по центральному рядку та центральному стовпчику рівні і найменші із можливих.

3. Розставте числа від 1 до 8 у клітинках таблиці 3х4, окрім кутових клітинок так, щоб жодних два послідовних числа не стояли у клітинках, які мають спільну вершину.Звертаємо увагуна те, що кутові клітинки залишаються порожніми.

4. Заповнити таблицю 1х21, використовуючи цифри 1, 2, 3, 4, 5 і дотримуючись таких умов: 1) будь-які дві сусідні цифри в таблиці не рівні; 2) всі двоцифрові числа, що утворені двома сусідніми цифрами, відрізняються між собою, якщо читати їх зліва направо.

5. Розмістити в таблиці 3х3, числа від 1 до 9 так, щоб виконувалась така умови: 1) по усіх рядках, по усіх колонках сусідні(послідовні) числа не стоять поряд; 2) по кожній діагоналі квадрата суми чисел рівні ; 3) сума чисел по центральному рядку та центральному стовпчику рівні.

6. Розмістити в таблиці 3х3, в якій заповнені дві кутові клітинки нижньої горизонталі відповідно 3 та 4, числа 1, 2 та від 5 до 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була однакова; 2) число записане в центрі таблиці було найбільшим із можливих. 3) сума чисел по центральному рядку та центральному стовпчику рівні.

7. Числа 1, 2, 3, 4, 5 розмістити в клітинках квадрата 5х5, причому кожна цифра міститься тільки один раз в рядку, стовпчику, і в кожній з ліній, паралельних до діагоналей.

8. Циферблат годинника треба розрізати на 4 частини так, щоб суми чисел кожної частини були чотирма послідовними числами 18, 19, 20, 21.

9.Записати чотирма двійками та арифметичними діями такі цифри: 1, 2, 3, 4, 5,6.

10. У кожній клітинці 9-клітинкової стрічки, розміром 1х9, розташовані невід’ємні цілі числа. Сума чисел у будь-яких трьох послідовних клітинках рівна 3. Дотримуючись умов задачі, обґрунтуйте відповіді на такі питання:

a) Скільки існує способів заповнення цієї стрічки?

b) Скільки клітинок будуть заповнені одним числом?

c) Чи завжди сума в будь-яких шести послідовних клітинках цієї стрічки рівна 6?

d) Яка найменша кількість послідовних клітинок заповненої стрічки, в яких сума чисел рівна 5?

e) В скількох послідовних клітинках заповненої стрічки знаходиться найбільший добуток чисел?

f) Чому дорівнює найменше число, яке може утвориться в заповненій стрічці?

g) Чи рівні між собою усі можливі добутки семи чисел, які знаходяться у необов’язково послідовних семи клітинках заповненої стрічки?

h) Скільки найменше треба взяти будь-яких клітинок із заповненої стрічки, аби добуток чисел цих клітинок був найбільшим?


БЛОК 2

Латинські квадрати




Спочатку складемо латинський квадрат з трьох цілих чисел 0, 1, 2.

1

0

2

2

1

0

0

2

1

Не дивлячись на те, що математиків цікавили в основному магічні квадрати найбільше застосування в науці і в техніці знайшли латинські квадрати.

Означення. Латинським квадратом розміром 3х3 називається клітинковий квадрат, розміром 3х3, в клітинках яких написані тільки числа 1, 2, 3, причому так, що в кожному рядку і кожному стовпчику зустрічаються всі ці числа по одному разу.

1

2

3

2

3

1

3

1

2

А спробуйте самостійно скласти декілька латинських квадратів розміром 3х3. Для цього треба використати символи A, B, C.

Наприклад на малюнку зображено латинський квадрат розміром 4х4. У ньому використані числа 1, 2, 3, 4. Деякі латинські квадрати володіють цікавою особливістю: якщо один квадрат накласти на інший, то всі пари чисел, що вийшли, виявляються різними. Такі пари латинских квадратів називаються ортогональними.

1

2

3

4

2

3

4

1

3

4

1

2

4

1

2

3

А спробуйте самостійно скласти декілька латинських квадратів розміром 4х4. Для цього треба використати символи A, B, C, D.

Відповідь: Таких квадратів можна утворити декілька.

Завдання відшукання ортогональних латинських квадратів вперше поставив Л. Ейлер, причому в такому цікавому формулюванні:

“ Серед 36 офіцерів порівну уланів, драгунів, гусарів, кірасирів, кавалергардів і гренадерів і крім того порівну генералів, полковників, майорів, капітанів, поручиків і підпоручиків, причому кожен родвойск представлений офіцерами всіх шести рангів. Чи можна вишикувати всіх офіцерів в каре 6х6 так, щоб в будь-якій колоні і будь-якій шерензі зустрічались офіцери всіх рангів?”

Ейлер не зміг знайти розв’язання цієї задачі. У 1901 р. було доведено, що такого розв’язку не існує. В той же час Ейлер довів, що ортогональні пари латинських квадратів існують для всіх непарних значень n і для таких парних значень n, які діляться на 4. Ейлер висунув гіпотезу, що для решти значень n, тобто якщо число n при діленні на 4 дасть в залишку 2, ортогональних квадратів не існує. У 1901 р. було доведено, що ортогональних квадратів 6х6 не існує, і це підсилювало упевненість в справедливості гіпотези Ейлера.

Проте в 1959 р. допомогою ЕОМ були знайдені спочатку ортогональні квадрати 10х10,потом 14х14, 18х18, 22х22. А потім було показано, що для будь-якого n, окрім 6, існують ортогональні квадрати nхn.

Магічні і латинські квадрати – близькі родичі. Нехай ми маємо два ортогональні квадрати. Заповнимо клітинки нового квадрата тих же розмірів таким чином.Поставимо туди число n(а – 1)+ b, де а - число в такій клітці першого квадрата, а b - число в такій же клітці другого квадрата. Неважко зрозуміти, що в отриманому квадраті суми чисел в рядках і стовпцях (але не обов'язково на діагоналях) будуть однакові.

Теорія латинських квадратів знайшла численні застосування як в самій математиці, так і на практиці.

Приведемо такий приклад. Нехай ми хочемо випробувати 4 сорти пшениці на врожайність в даній місцевості, причому хочемо врахувати вплив ступеня розрідженості посівів і вплив двох видів добрив. Для того розіб'ємо квадратну ділянку землі на 16 ділянок (дивись таблицю). Перший сорт пшениці посадимо на ділянках, відповідних нижній горизонтальній смузі, наступний сорт – на чотирьох ділянках, відповідних наступній смузі, і так далі. При цьому максимальна густина посівів хай буде на тих ділянках, які відповідають лівому вертикальному стовпцю малюнка, і зменшується при переході управо. Цифри ж, що стоять в клітках таблиці,не хай означають: перша – кількість кілограмів добрива першого вигляду, що вноситься на цю ділянку, а друга – кількість добрива другого вигляду, що вноситься. Неважко зрозуміти, що при цьому реалізовані всі можливі пари поєднань як сорти і густина посіву, так і других компонентів: сорту і добрив першого вигляду, добрив першого і другого видів, густини і добрив другого вигляду.

Використання ортогональних латинських квадратів допомагає врахувати всі можливі варіанти в експериментах в сільському господарстві, фізиці, хімії, техніці.