РІВНЯННЯ 2^m + m^2 = 4^m + m^4(mod 10)

РІВНЯННЯ 2^m + m² = 4^m + m⁴(mod 10)

А де ж використовуються нелінійні рівняння, в яких невідомі знаходяться у конгруенціях?

Наведемо зразок задачі, в якій необхідно розв'язати рівняння

2^m + m² = 4^m + m⁴(mod 10).

Задача на дослідження

А чи існують такі натуральні значення m, при яких вираз

2^m + m² - 4^m - m⁴

ділиться націло на 5? Якщо існують, тоді знайти їх.

Дослідження.

Нам треба дослідити ліву і праву частину на останню цифру, для треба розв’язати рівняння

2^m + m² - 4^m - m⁴ = 0(mod 10). (1)

2^m + m² - 4^m - m⁴ = 5(mod 10).

Розв’язання. 1)Знайдемо множину розв’язків рівняння



2^m + m² = х(mod 10). (2)

Для цього:

А) запишемо можливі останні цифри степенів двійки:

2^m = х(mod 10),

тобто, Х = {2; 4; 8; 6};

Б) запишемо можливі останні цифри квадратів:

m² = y(mod 10),

тобто, Y = {1; 4; 9; 6; 5; 6; 9; 4; 1; 0}.

Тепер знайдемо усі можливі суми х + у, де х є Х, у є У. За правилом добутку таких сум рівно 40. Запишемо їх у вигляді пар чисел

(m; 2^m + m²(mod 10)) і цю множину розв’язків рівняння (2) позначимо

Z = {(1; 3), (2; 8), (3; 7), (4; 2), (5; 7), (6; 0), (7; 7), (8; 8), (9; 3), (10; 4), (11; 9), (12; 0), (13; 1), (14; 0), (15; 3), (16; 2), (17; 1), (18; 8), (19; 9), (20; 6), (21; 7), (22; 6), (23; 3), (24; 4), (25; 1), (26; 8), (27; 3), (28; 2), (29; 7), (30; 2), (31; 5), (32; 2), (33; 5), (34; 8), (35; 9), (36; 4), (37; 5), (38; 6), (39; 5), (40; 8), …}.

1)Знайдемо множину розв’язків рівняння

4^m + m⁴ = g(mod 10). (3)

Для цього:

А) запишемо можливі останні цифри степенів двійки:

4^m = q(mod 10),

тобто, Q = {4; 6};

Б) запишемо можливі останні цифри біквадратів:

m⁴ = p(mod 10),

тобто, P = {1; 6; 1; 6; 5; 6; 1; 6; 1; 0}.

Тепер знайдемо усі можливі суми q + p, де q є Q, p є P. За правилом добутку таких сум рівно 20. Проте запишемо їх впорядковано від 1 до 40 у вигляді пар чисел

(m; 4^m + m⁴(mod 10))

і цю множину розв’язків рівняння (3) позначимо U = {(1; 5), (2; 2), (3; 5), (4; 2), (5; 9), (6; 2), (7; 5), (8; 2), (9; 5), (10; 6), (11; 7), (12; 0), (13; 7), (14; 0), (15; 1), (16; 0), (17; 7), (18; 0), (19; 7), (20; 4), (21; 5), (22; 2), (23; 5), (24; 2), (25; 9), (26; 2), (27; 5), (28; 2), (29; 5), (30; 6), (31; 7), (32; 0), (33; 7), (34; 0), (35; 1), (36; 0), (37; 7), (38; 0), (39; 7), (40; 4), …}.

Переріз двох множин U і Z це множина таких пар: {(4; 2), (12; 0), (14; 0), (28; 2)}. Враховуючи властивість періодичності послідовностей, які утворюють множини U і Z, отримаємо числа виду M = {2 + 40k, 12 + 40k, 14 + 40k, 28 + 40k}, k – натуральне число.

Числа множини М - це чотири арифметичні прогресії, члени яких задовольняють рівняння (1).

Серед послідовностей двох множин U і Z немає жодної пари чисел, яка б задовольняла рівняння:

2^m + m² - 4^m - m⁴ = 5(mod 10).

Останнє рівняння немає розвязку. Адже вирази

2^m + m²

4^m + m⁴

однакової парності і їх сума та різниця завжди закінчується парною цифрою.

Множина M нескінчена і складається тільки з парних чисел і містить в собі чотири арифметичні прогресії, з різницею 40.

Відповідь: M = {2 + 40k, 12 + 40k, 14 + 40k, 28 + 40k}, k – натуральне число.

Як знаходити цілі розв’язки нелінійних діофантових рівнянь

f(m) = g(m)(mod 10ⁿ)

в цілих числах на обмеженій підмножині чисел?

Для цього треба:

1) порахувати кількість цифр найбільшого числа в даный підмножині.

Кількість цифр найбільшого числа позначають n;

2) записати для лівої частини усю множину цілих розв’язків

Х = {x | x є Z, m є Z, f(m) = х(mod 10ⁿ)} даного рівняння

f(m) = х(mod 10ⁿ);

3)записати для лівої частини усю множину цілих розв’язків

У = {y | y є Z, m є Z, g(m) = y(mod 10ⁿ) } рівняння:

g(m) = y(mod 10ⁿ);

4) Знайти множину М, яка є перерізом множин цілих розв’язків Х і У та записати їх як відповідь.