ВЛАСТИВОСТІ ПАРНОСТІ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

ВЛАСТИВОСТІ ПАРНОСТІ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ



Ділення чисел на кількісні (кардинальні) і порядкові (ординальні) існувало в найстародавніші часи, як про це свідчать відповідні мовні джерела. А чи були у ті часи марковані числа(типу 12:30:25 позначення часу)? Питання залишається відкритим. Ці форми існують в шумерській і єгипетській, грецькій і латинській мовах. Терміни «кардинальні» і «ординальні» числа зустрічаються вперше у римської граматики Прісціана (441 – 518 рр.).

Ділення чисел на парне і непарне приписується піфагорійцям. Платон заявляє: арифметика є учення про парні і непарні числа. Розрізнення цих двох видів чисел є вже у єгиптян. У папірусі Райнда, який відноситься до періоду 1900– 1700 рр., до н. е. даються уявлення у вигляді сум доль всіх дробів з чисельником два і із знаменниками, що представляють всі непарні числа від п’яти до 99. Дроби з парними знаменниками не включені в таблицю: очевидно, під час складання таблиці вже розрізнялися парні і непарні числа.

Піфагорійська школа (VI і V вв. до н.е. в південній Італії), за свідченням Арістотеля, включила в таблицю своїх категорій і зіставлення парного і непарного, з якої вже до епохи Платона (429 – 348 рр.) виникла поширена в широких кругах народу гра в «чот і нечот» (Платон, діалог «Лізіда»).

У діалозі «Закони» Платон дає визначення парного числа як числа, що розбивається на два однакових цілочисельних доданків. Це визначення приймає і Евклід («Почала», кн. VII). У інших своїх творах Платон указує, що парні і непарні числа зустрічаються в рівній кількості (діалоги «Теетет», «Горгіас», «Республіка»). Евклід визначає непарне число, як таке, що відрізняється від парного на одиницю, або як таке, що не розбивається на два однакових цілочисельних доданки. У латинській мові вже за часів Ціцерона (I в. до н. е.) існують терміни «парні» і «непарні» числа.

З класифікації чисел на парні і непарні починається розвиток теоретичного інтересу людини до чисел; цей момент є початок історії теоретичної арифметики, початок науки про числа. Вчення про властивості натуральних чисел у деяких стародавніх авторів (Піфагор, Платон, Нікомах та інші) розумілося містикою. Проте вже і у цих авторів є початки наукових відомостей про натуральне число.

Роботами Піфагора (VI – V вв.), Евкліда, Архімеда, Эратосфена (III в. до н. э.) і Діофанта (III–IV вв. н. э.), а в новий час працями Ферма (1601 – 1665 рр.), Ейлера (1707 – 1783 рр.), Лежандра (1752 – 1833 рр.), Гауса (1777 – 1855 рр.), П. Л. Чебишева (1821 – 1894 рр.) і сучасних математиків, на першому місці з яких потрібно поставити І. М. Виноградова, – вчення про властивості цілих чисел стало величезною областю математики, яка багатством і глибиною своїх проблем, трудністю і різноманіттям своїх методів, привертає до себе увагу найвидатніших математиків.

Гаус неодноразово говорив про «чарівливу красу теорії чисел, додаючій арифметиці ту чарівну красу, яка зробила її улюбленою наукою найбільших геометрів». Французький математик Ламе, будучи ряд років професором Петербурзького інституту інженерів шляхів сполучення (почало XIX в.), виражав упевненість в тому, що в майбутньому «теорія чисел зробиться такою ж необхідною для фізики, як і аналіз нескінченно малих».

Уродженець Росії, німецький математик Герман Мінковський (1864 – 1909 рр.) говорив про наближення того часу, «Коли найвишуканіша арифметика торжествуватиме в області фізики і хімії, коли, наприклад, опиниться, що істотні властивості речовини аналогічні з розбиттям простих чисел на суму двох квадратів». Торжество атомістичних ідей в сучасному природознавстві дає підставу рахувати думки Мінковського вже не тільки мрією.

Аналогію між методами теоретичної хімії і теорії чисел детально вивчали на початку нинішнього століття юр’євский професор В. Г. Алексеев і німецький математик Гордан: про це ж писав відомий представник теорії чисел Куммер (1810 – 1893 рр.), підкреслюючи, що ці аналогії не можна вважати випадковими: «причина їх, – говорить він, – заключається в тому, що хімія і теорія чисел мають своїм предметом і основним початком, хоча в різних сферах дійсності, одне і те ж поняття складу».

Проблеми теорії цілих чисел є надзвичайно важкими, не дивлячись на їх простоту, що здається. Геніального французський математика Ферма говорить про «запутаннейших таємниці простих чисел», а Гаус в листі до Ольберсу (1805 р.) пише з приводу одного арифметичного питання: «Протягом чотирьох років рідко проходив тиждень, в який я не робив би тієї або іншої спроби розв'язати цей вузол. Але всі старання, всі зусилля були марні, і сумно я клав перо. Але недавно... загадка вирішилася з швидкістю блискавки... і коли я викладу це питання, ніхто не буде в змозі уявити собі, яка напруга коштувало мені це рішення».

Властивості цілих чисел вивчаються, окрім елементарної арифметики, вищою арифметикою або теорією чисел. Багато питань про числа розглядаються в обох цих дисциплінах.

Історія теорії чисел російською мовою дана А. В. Васильєвим («Введення в аналіз», ч. I і в кн. «Ціле число», 1922). У цій книзі висловлюється історія розвитку тільки тих питань теорії чисел і теоретичної арифметики, які входять в шкільну програму або безпосередньо примикають до неї. Ці питання, що зародилися в глибокій старовині, і складають основний зміст теорії арифметики.

Повну історію розвитку досягненні теорії чисел, доведену до 1918 р., дає вказану у введенні обширну тритомну працю «Історія теорії чисел» професора університету Чікаго Л. Е. Діксону.

Означення. Будь-яке число, яке можна подати, як суму двох однакових натуральних чисел, називають парним.

Парні числа позначають формулою m = 2n.

Парних чисел безліч.

Парні числа, закінчуються на цифри: 0, 2, 4, 6, 8.

Приклади. Такі числа є парними: 2, 4, 6, 8, 56, 78, 40.

Означення. Будь-яке число, яке не можна подати, як суму двох однакових натуральних чисел, називають непарним.

Непарні числа позначають формулою m = 2n - 1.

Приклади. Такі числа є непарними: 21, 43, 65, 87, 56, 781, 409.

Непарних чисел безліч.

Непарні числа, закінчуються на цифри: 1, 3, 5, 7, 9.

Варто звернути увагу на те, що сума парної кількості непарних чисел є парною.

Узагальнення цього факту виглядає так:

парність суми кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків: якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною.

Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:

2•n + 2•k + … + 2•f + 2•q = 2•(n + k + … + f + q) = 2•m

СУМА БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

2•n – 2•k – … – 2•f – 2•q = 2•(n – k – … – f – q) = 2•m

РІЗНИЦЯ БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2•n -1)+ (2•k-1)+ … + (2•f-1) + (2•q-1) = 2•(n + k + … + f + q)- 2s = 2•(m-s)

СУМА ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2•n -1)+ (2•k-1)+ … + (2•f-1) + (2•q-1) = 2•(n + k + … + f + q)- 2s -1 = 2•(m-s) - 1

СУМА НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ НЕПАРНА.

Таким чином, парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів між цілими числами, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є завжди парним числом.

Звертаємо увагу ще на одну цікаву властивість.

Сума квадратів парної кількості непарних чисел є парною. (2•n -1)² + (2•k-1)² + … + (2•f-1)² + (2•q-1)² = 2•p

(парна кількість непарних доданків)

Сума квадратів непарної кількості непарних чисел є парною.

(2n -1)² + (2k-1)² + … + (2f-1)² + (2q-1)² = 2p – 1 (непарна кількість непарних доданків)

Зокрема, сума двох квадратів натуральних чисел може при ділені на 4 мати остачу 0, 1, 2, але не може мати остачу 3.

Приклади: 1² + 2² = 4 + 1, 1² + 3² = 4•2 + 2, 2² + 2² = 4•2 + 0.

Варто запам’ятати, що n² + k² не рівно 4m + 3. Узагальнення попередніх фактів виглядає так:

Парність суми довільних натуральних степенів кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків:

якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною.

Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:

(2n)^z + (2k)ⁿ + … + (2f )^s + (2q)^t = 2p (будь-яка кількість доданків)

СУМА cтепенів БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2n)^z - (2k)ⁿ - ... - (2f)^s - (2q)^t = 2p

(будь-яка кількість доданків)

РІЗНИЦЯ cтепенів БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2n -1)^z + (2k-1)ⁿ + … + (2f-1)^m + (2q-1)^w = 2p

(парна кількість непарних доданків)

СУМА cтепенів ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2n -1)^z + (2k-1)ⁿ + … + (2f-1)^m + (2q-1)^w = 2p - 1

(непарна кількість непарних доданків)

СУМА cтепенів НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ НЕПАРНА.

Звертаємо увагу ще на одну цікаву і не зовсім очевидну властивість.

Степінь натурального числа (більша першої степені) не може бути записана у вигляді 4m +2.

Варто запам’ятати, що n^k не рівно 4m + 2, де натуральне k більше 1.

Зокрема, можна довести такі властивості.

Довільна степінь непарного числа вигляду 4q +1 подається у вигляді 4p + 1:

(4q + 1)ⁿ = 4p + 1.

Або цю рівність можна розуміти ще отак: будь-яка степінь непарного числа вигляду 4q +1 при діленні на 4 дає остачу 1.

Приклади: (4•2 +1)² = 4•20 + 1, (4•2 +1)³ = 4•182 +1, (4•2 +1)⁴ = 4•1640 +1. Непарна степінь непарного числа вигляду 4q + 3 подається у вигляді 4p + 3: (4q + 3 )^2n-1 = 4p + 3.

Або цю рівність можна розуміти ще отак: будь-яка непарна степінь непарного числа вигляду 4q +3 при діленні на 4 дає остачу 3.

Приклади: (4•2 +3)³ = 4•332 + 3.

Парна степінь непарного числа вигляду 4q + 3 подається у вигляді 4p + 1: (4q + 3 )²ⁿ = 4p + 1.

Або цю рівність можна розуміти ще отак: будь-яка парна степінь непарного числа вигляду 4q +3 при діленні на 4 дає остачу 1.

Приклади: (4•2 + 3)² = 4•30 + 1, (4•2 +3)⁴ = 14640 +1.

Задачі на дослідження парності

Задача 1. Петро купив загальний зошит на 96 аркушів і пронумерував всі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. Василь вирвав з цього зошита 35 аркушів і додав всі 70 чисел, що на них були написані. Чи міг він дістати 1990?

Відповідь: ні, не могло. Вказівка. На кожному аркуші сума номерів сторінок непарна, а сума 35 непарних чисел непарна.

Задача 2. Добуток 22 цілих чисел дорівнює 1. Доведіть, що їх сума не дорівнює нулю.

Вказівка. Серед цих чисел – парне число "мінус одиниць", а для того, щоб сума дорівнювала нулю, їх має бути рівно 11.

Задача 3. Чи можна скласти магічний квадрат з перших 36 простих чисел?

Відповідь: ні, не можна. Серед цих чисел одне (це 2) – парне, а інші непарні. Тому в рядку, де стоїть двійка, сума чисел непарна, а в інших – парна.

Задача 4. В ряд записано числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними знаки "+" та "–" так, щоб значення отриманого виразу дорівнювало нулю?

Відповідь: ні, не можна. І справді, сума чисел від 1 до 10 дорівнює 55, і змінюючи в неї знаки, ми змінюємо весь вираз на парне число.

Зауваження. Врахуйте, що від'ємні числа також бувають парними та непарними.

Задача 5. Коник-стрибунець стрибає вздовж прямої, причому першого разу він стрибнув на 1 см в якийсь бік, другого – на 2 см і так далі. Доведіть, що після 1985 стрибків він не може зупинитися там, де починав.

Вказівка. Доводиться так само, як і в задачі 20, бо сума 1 + 2 + … + 1985 непарна.

Задача 6. На дошці виписано числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Дозволяється стерти з дошки будь-які два числа і замість них записати модуль їх різниці. Врешті-решт на дошці залишається одне число. Чи може воно дорівнювати нулю?

Відповідь: ні, не може. Перевірте, що при зазначених операціях парність суми всіх написаних на дошці чисел не змінюється.

Тепер пропонуємо на ваш розгляд більш складні задачі, розв'язання яких, крім парності, використовує, як правило, і деякі додаткові міркування.

Задача 7. Чи можна покрити шахову дошку доміношками розміром 1x2 так, щоб вільними залишились тільки клітинки а1 і, h8?

Відповідь: не можна. Кожна доміношка покриває одне чорне і одне біле поле, а при викиданні полів а1 і h8 чорних полів залишається на 2 менше, ніж білих.

Задача 8. До 17-цифрового числа додали число, яке записано тими ж цифрами, але в зворотному порядку. Доведіть, що хоча б одна цифра суми, що отримана, є парною.

Вказівка. Розгляньте два випадки: сума першої і останньої цифр числа менша 10, і сума першої і останньої цифр числа не менш 10. Якщо припустити, що всі цифри суми непарні, то в першому випадку не може бути жодного переносу в розрядах (що, очевидно, приводить до суперечності), а в другому випадку наявність переносу при русі справа наліво або зліва направо чергується з відсутністю переносу, внаслідок чого ми одержимо, що цифра суми в дев'ятому розряді обов'язково парна.