КОДУВАННЯ В БАГАТОРІВНЕВИХ МНОЖИНАХ ЗА ДОПОМОГОЮ МАРКОВАНИХ ЧИСЕЛ.

КОДУВАННЯ в БАГАТОРІВНЕВИХ МНОЖИНАХ

ЗА ДОПОМОГОЮ МАРКОВАНИХ ЧИСЕЛ.

1.ОЗНАЧЕННЯ БАГАТОРІВНЕВОЇ МНОЖИНИ

 Задаємо злічену кількість множин і впорядкуємо їх за допомогою індексу. 

НЕХАЙ:

Множина ПЕРШОГО рівня має елементи:

 ꭥ₁={ M₀, M₁, M₂, M₃, … , M_i-2,  M_i-1, M_i}, де M₀ÎÆ, iÎN.

Множина ДРУГОГО рівня має елементи:    

ꭥ₂={ R₀, R₁, R₂, R₃, … , R_k-2,  R_k-1, R_k}, де R₀ÎÆ,  kÎN.

Множина ТРЕТЬОГО рівня має елементи:    

ꭥ₃={ T₀, T₁, T₂, T₃, … , T_p-2,  T_p-1, T_p}, де T₀ÎÆ, pÎN.

………………………………………………

Множина N-ого рівня має елементи:    

ꭥ_n={ D₀, D₁, D₂, D₃, … , D_j-2,  D_j-1, D_j}, де D₀ÎÆ, jÎN.

Накладемо на   множини ꭥ_{1, …}ꭥ_n умову підпорядкування.

ВЛАСТИВІСТЬ ПІДПОРЯДКОВАННЯ:  усі елементи множини ꭥ_k-1  утворюють повний(вичерпний) набір  структурних елементів, з яких можна утворити будь-який елемент множини ꭥ_k,   де kÎN, користуючись дією об’єднання підмножин із множини ꭥ_k-1.  

ВЛАСТИВІСТЬ УНІКАЛЬНОСТІ: для будь-яких двох різних натуральних чисел  kÎN    та j ÎN виконується умова:   ꭥ_k Ç ꭥ_j =Æ.

Утворимо такі об’єкти,  використовуючи упорядковані  послідовності  елементів множин ꭥ_k,  де k=1.. n.

α (n) = α₁:α₂:α₃: _… :α_i-1:α_i:α_i+1: _… :α_n-2:α_n-1:α_n,                                 (1.1)

де  α_i Î ꭥ_j, j=1.. n називаються маркером  i-ого рівня.

Означення 1. МАРКОВАНИМ  ЧИСЛОМ називається кодування  об’єктів  у вигляді (1.1).

Означення 2. МНОЖИНА  ꭥ називається n-рівневою множиною, якщо  її елементами є тільки марковані числа α (k), де k =1.. n.  Індекс j  множини ꭥ_j означає j-ий рівень у множині ꭥ.

Означення 3. Маркованим нуль-ЧИСЛОМ НАЗИВАЄТЬСЯ КОДУВАННЯ  із порожніх множин або нулів.

Приклади маркованих нуль-чисел:  Æ:Æ:Æ,   або Æ:Æ,або 0:00:00000:000, або 00:00.

Зразки використання маркованих чисел на практиці.

ПРИКЛАД 1. Електронний формат записується для вимірювання або фіксування часу в одній добі:

17:46:15,

що означає 17 годин 46 хвилин 15 секунд.

Множина першого рівня(години) має елементи:

ꭥ₁={00; 01; 02; 03; 04; 05; 06; …, 21; 22; 23}.

Множина другого рівня(хвилини) має елементи:

ꭥ₂={00; 01; 02; 03; 04; 05; 06; …, 58; 59}.

Множина третього рівня(секунди) має елементи:

ꭥ₃={00; 01; 02; 03; 04; 05; 06; …, 58; 59}.

Властивість підпорядкування для множин ꭥ_1, ꭥ_2, ꭥ₃ виконується, тому що будь-яку кількість хвилин можна записати в секундах. Будь-яку кількість годин можна записати в хвилинах.

Загальний вигляд маркованого числа для фіксування часу в добі:

ꭥ₁ :ꭥ₂ :ꭥ₃ .

ПРИКЛАД 2. Нехай є множина доріг в деякій країні. Розбиваємо дороги за рівнями їх значимості.

Нехай множина доріг міжнародного значення:  

ꭥ_M ={ M_0, M₁, M₂, M₃, … , M_n-2,  M_n-1, M_n},  де M₀ÎÆ, nÎN.

Нехай множина  доріг республіканського значення:  

ꭥ_R ={ R_0, R₁, R₂, R₃, … , R_k-2,  R_m-1, R_m},  де R₀ÎÆ, mÎN.

Нехай множина доріг обласного значення:  

ꭥ_O ={ O_0, O₁, O₂, O₃, … , O_p-2,  O_p-1, O_p},  де O₀ÎÆ, pÎN.

Нехай множина доріг районного значення:

ꭥ_T ={ T_0, T₁, T₂, T₃, … , T_p-2,  T_k-1, T_k},  де T₀ÎÆ, kÎN.

Властивість підпорядкування для множин ꭥ_M, ꭥ_R, ꭥ_O, ꭥ_T виконується, тому що будь-яку кількість доріг із множини  ꭥ_M можна записати  дорогами із множини ꭥ_R. Будь-яку кількість доріг із множини  ꭥ_R можна записати  дорогами із множини ꭥ_О. Будь-яку кількість доріг із множини  ꭥ_О можна записати  дорогами із множини ꭥ_Т.

Маркованим  числом дороги в країні називається кодування:

M_i:R_j:О_g:Т_h.

Наприклад, марковане число   M₇:R₃:О₅:Т₂ означає, що подане кодування означає: на міжнародній дорозі M₇  є республіканська дорога  R₃  при цьому є ще дороги нижчого рівня, а саме: обласна дорога О₅  і є районна дорога Т_2.   

Загальний вигляд маркованого числа для фіксації  доріг в країні:

ꭥ_M :ꭥ_R :ꭥ_T:ꭥ_D.

Приклад 3. Розглянемо фіксацію маркованими числами множини мостів в країні. Розмітимо територію країни на три області, області  розділимо на вісім районів, райони - на територіальні громади і  на територіях громад  введемо відповідне кодування мостів.

НЕХАЙ:

Множина ПЕРШОГО рівня містить три області країни:

 ꭥ₁={ M₀, M₁, M₂, M₃}, де M₀ÎÆ.

Введемо нумерацію областей,  якою потім скористаємося для зручного кодування мостів.

Нехай країна розбита на три області.

Область M₁ позначатимемо  числом 01.

Запис області М₁ у вигляді маркованого  числа:   01:00:00:00.

Область M₂ позначатимемо  числом 02.

Запис області М₂ у вигляді маркованого числа:   02:00:00:00.

Область M₃ позначатимемо числом  03.

 Запис області М₃ у вигляді маркованого  числа:   03:00:00:00.

Множина ДРУГОГО рівня містить усі райони для усіх областей із множини ꭥ₁:   

ꭥ₂={ R₀, R₁, R₂, R₃, … , R₆,  R₇, R₈}, де R₀ÎÆ. 

Введемо нумерацію районів, якою потім скористаємося для зручного кодування мостів.

В області M₁ маємо три райони.

Район R₁ позначатимемо  числом 01.

Запис району R₁ у вигляді якісного числа:   01:01:00:00.

Район  R₂ позначатимемо числом 02.

Запис району R₂ у вигляді якісного числа:   01:02:00:00.

Район R₃ позначатимемо числом 03.

Запис району R₃ у вигляді якісного числа:   01:03:00:00.

В області M₂ маємо два райони:

Район R₄ позначатимемо   4.  Запис району R₄ у вигляді маркованого числа:   02:04:00:00.

Район  R₅ позначатимемо  5.  Запис району R₅ у вигляді маркованого числа:   02:05:00:00.

В області M₃ маємо три райони.

Район R₆ позначатимемо  числом 6. Запис району R₁ у вигляді маркованого числа:   03:06:00:00.

Район  R₇ позначатимемо числом 7. Запис району R₂ у вигляді маркованого  числа:   03:07:00:00.

Район R₈ позначатимемо числом 8. Запис району R₃ у вигляді маркованого числа:   03:08:00:00.

Множина ТРЕТЬОГО  рівня містить усі територіальні громади.  тобто

ꭥ₃={ T₀, T₁, T₂, T₃, … , T_p-2,  T_p-1, T_p}, де T₀ÎÆ, pÎN.

Введемо нумерацію територіальних громад двоцифровими числами, якою потім скористаємося для зручного МАРКУВАННЯ мостів.

Множина ЧЕТВЕРТОГО  рівня містить усі мости:   

ꭥ₄={ N₀, N₁, N₂, N₃, … , N_p-2,  N_p-1, N_p}, де N₀ÎÆ, pÎN.

 Введемо нумерацію мостів двоцифровими числами, якою потім скористаємося для зручного маркування мостів.

У кожній територіальній громаді маємо декілька  мостів. Фіксацію моста  у вигляді маркованого  числа:  

01:08:02:45,  у першій області є восьмий район і друга територіальна громада МАЄ 45-ИЙ  МІСТ.

03:06:01:05,  у третій області є шостий район і перша територіальна громада МАЄ 5-ИЙ МІСТ

02:05:03:10, у другій  області є п’ятий район і третя територіальна громада МАЄ ДЕСЯТИЙ МІСТ.

ПРИКЛАД   4.  У природі існує рослинний світ,  який містить деяку множину рослин,   а кожна рослина  складаються з рослинних тканин, а кожна рослинна тканина  містить клітини, які складаються в свою чергу з білків, а білки складаються із амінокислот, і так далі.

Для багаторівневої фіксації елементів рослинного світу використаємо марковане число  001:008:05:000002:04 , означає  у рослині № 1 маємо  рослинну тканину  № 8, а в ній маємо клітину № 5, у якій міститься білок № 2 з четвертою амінокислотою.

Перша множина ꭥ_R містить  номера усіх рослин у природі, тобто

ꭥ_R ={ R_0, R₁, R₂, R₃, … , R_k-2,  R_m-1, R_m},  де R₀ÎÆ, mÎN.

 Друга множина  ꭥ_Т містить номера усіх рослинних тканин,  тобто

ꭥ_Т ={ T₀, T₁, T₂, T₃, … , T_p-2,  T_p-1, T_p}, де T₀ÎÆ, pÎN.

Третя множина  ꭥ_К містить номера усіх рослинних клітин,  тобто

ꭥ_К ={ К₀, К₁, К₂, К₃, … , К_i-2,  К_i-1, К_i}, де К₀ÎÆ, iÎN.

Четверта  множина  ꭥ_В містить номера усіх рослинних білків,  тобто

ꭥ_B ={ B₀, B₁, B₂, B₃, … , B_p-2,  B_p-1, B_p}, де B₀ÎÆ, _pÎN.

П’ята множина  ꭥ_А містить номера усіх рослинних клітин,  тобто

ꭥ_А ={ А₀, А₁, А₂, А₃, … , А_n-2,  А_n-1, А_n}, де К₀ÎÆ, nÎN.

Властивість підпорядкування для множин ꭥ_R, ꭥ_T, ꭥ_K, ꭥ_B, ꭥ_A виконується, тому що будь-яку рослину можна записати як декілька рослинних тканини. Будь-яку рослинну тканини можна записати як набір рослинних клітин, і так далі.

ПРИКЛАД   5.  У Збройних Силах країни існує ієрархія бойових підрозділів.   Збройні Сили мають декілька стратегічних напрямів, кожний стратегічний напрям має декілька армійських корпусів, кожний армійський корпус  містить деяку множину бригад,   а кожна бригада  складається з полків, а кожний полк містить декілька батальйонів, кожний з яких має декілька рот, а кожна рота складаються із декількох  взводів, і так далі, кожний взвод ділиться на декілька відділень, кожне відділення складається із військовослужбовців.

Для багаторівневої фіксації військових підрозділів у Збройних Силах країни використаємо марковане число 

3:2:01:05:21:125:0261:0578:003980.

Це число означає, що на стратегічному напрямку № 3 базується армійський корпус №2, в якому знаходиться бригада № 1, у цій бригаді  маємо  полк  № 5, а в цьому полку маємо батальйон №21, у якій є рота №125, у цій роті є взвод №0261,  а до нього входить відділення №0578, а у цьому відділенні служить військовослужбовець № 003980.

Перша множина ꭥ_N містить  номера усіх стратегічних напрямів у  країні, тобто

ꭥ_N ={ N_0, N₁, N₂, N₃, … , N_k-2,  N_m-1, N_m},  де R₀ÎÆ, mÎN.

 Друга множина  ꭥ_А містить номера усіх армійських корпусів у  країні,  тобто

ꭥ_А ={ А₀, А₁, А₂, А₃, … , А_p-2,  А_p-1, А_p}, де А₀ÎÆ, pÎN.

Третя множина  ꭥ_В містить номера усіх бригад у  країні,  тобто

ꭥ_В ={ В₀, В₁, В₂, В₃, … , В_i-2,  В_i-1,В_i}, де В₀ÎÆ, iÎN.

Четверта  множина  ꭥ_Р містить номера усіх полків у  країні,  тобто

ꭥ_Р ={ Р_0, Р₁, Р₂, Р₃, … , Р_k-2,  Р_m-1, Р_m},  де Р₀ÎÆ, mÎN.

П’ята множина  ꭥ_Z містить номера усіх  батальйонів у країні,  тобто

ꭥ_Z ={ Z₀, Z₁, Z₂, Z₃, … , Z_n-2,  Z_n-1, Z_n}, де Z₀ÎÆ, nÎN.

і так далі для рот, взводів, відділень. Крайня множина буде такою.

Дев’ята множина  ꭥ_R містить номера усіх  військовослужбовців у країні,  тобто

ꭥ_R ={ R₀, R₁, R₂, R₃, … , R_n-2,  R_n-1, R_n}, де R₀ÎÆ, nÎN.

Властивість підпорядкування для множин ꭥ_N, ꭥ_A, ꭥ_B, ꭥ_P, ꭥ_{Z, …,}ꭥ_R,  виконується, тому що будь-який стратегічний напрям можна записати як декілька армійських корпусів. Будь-який армійський корпус можна зафіксувати як множину декількох бригад, і так далі.

ПРИКЛАД   6.  Психологія свідомості людини системно вивчає різні психологічні процеси: 1)відчуття; 2)сприйняття; 3)уваги; 4)пам’яті; 5)уяви; 6)мислення; 7)концентрації; 8)мовлення; 9)мислення; 10)пізнання; 11)релаксації; 12)емоційних переживань; 13)мотивації; 14)стресу; 15)конфлікту; 16)упереджень, і так далі. Кожний психологічний процес  виконує декілька психологічних функцій: 1)орієнтації; 2) захисту; 3) блокування; 4) обміну інформацією; 5) задоволення потреб; 6)  удосконалення навичок та умінь;  7)накопичення життєвого досвіду; 8) відношення до оточуючих; 9) осмислення змін у середовищі, тощо. Кожна психологічна функція змінює стани(явища) свідомості людини: 1)афекту; 2)напруги; 3)установки;  4)депресії;  5)шоку і так далі.  А кожний   стан людської свідомості має різні властивості: 1)рівень набутих здібностей; 2)характер  гальмування емоцій; 3) реакція страху на дезорієнтуючи подразники;  4)темперамент; 5) рівень адаптації до надзвичайних умов існування,  тощо. Властивості станів виявляються дії певних факторів:1) росту організму; 2)паніки в оточенні ; 3)громадської  думки; 4)чуток; 5)старіння організму; 6)зміни суспільного статусу; 7)сімейного укладу відносин; 8)стихійного лиха та катастроф; 9)моди на щось; 10) мобілізації до війська, тощо.

Для фіксування перебігу чи регуляції психологічних процесів використовуються марковані числа. Наприклад, марковане число

004:007:005:002:008

означає при четвертому психологічному процесі(відбувається запам’ятовування) реалізується 12-а психологічна функція(накопичення досвіду),  у стані № 5(шоку) проявляється властивість свідомості 2(гальмування емоцій), за умови дії фактору №8(катастрофи або стихійного лиха).

 ПРИКЛАД   7.  Параметри продукції, які виробляють підприємства записуються у форматі штрих-кодів.   Штрих-коди – це спосіб маркування товарів за допомогою штрихів(це смуги чорного та білого кольору різної довжини для машинного зчитування інформації, штрихи мають відносну довжину 1, 2,3,4 одиниць. Для кодування кожної цифри використовується чотири штрихи: двох білих і двох чорних, а довжина кодування кожної цифри дорівнює 7 одиниць. Наприклад: цифра 9 має довжини штрихів 3-1-1-2,  цифра 8 має довжини штрихів 1-2-1-3,  цифра 7 має довжини штрихів 1-3-1-2,  цифра 6 має довжини штрихів 1-1-1-4, цифра 5 має довжини штрихів 1-2-3-1,  цифра 4 має довжини штрихів 1-1-3-2, цифра 3 має довжини штрихів 1-4-1-1,  цифра 2 має довжини штрихів 2-1-2-2, цифра 1 має довжини штрихів 2-2-2-1, цифра 0 має довжини штрихів 3-2-1-1,  ) та маркованих чисел.  Штрихове кодування винайшов інженер Давид Коллінз. Наприклад, під штрихами деякого штрих-коду   записано таке число:

40:44572:30720:0.

Це марковане число означає: 40 – код країни; 44572 – код виробника(реєстраційний номер підприємства);    30720 – код товару(перша цифра найменування товару за №4, друга цифра – споживчі властивості товару за номером 4; третя цифра –розміри та маса за номером 5; четверта цифра –інгредієнти за номером 7;  п’ята цифра – колір за номером 2);  0- контрольна цифра для перевірки та визначення дійсності товару.

 Приклад обчислення контрольної цифри:

1-дія: додати усі цифри, що знаходяться на парних місцях: 0+4 +7+3+7+0 =21; 2-дія: отриману суму помножити на 3, тобто 3*21=63;

3-дія: додати усі цифри, що знаходяться на непарних місцях безконтрольної цифри:4+4 +5+2+0+2 =17;

 4-дія:додати числа, що отримані в 2-дії та 3-дії: 63+17=80;

5-дія: відкинути десятки в числі, що отримано в 4-дії: 80 = 0;

6 дія: від 10 відняти отримане в 5-дії число і відкинути в різниці десятки: 10-0=10,  остаточно 10=0.

Якщо отримана після розрахунку цифра не співпадає з контрольною цифрою у штрих-коді, це означає, що товар зроблений незаконно.

Примітка. Можливо, коли для коду країни відводиться три цифри, а для коду виробника відводиться чотири цифри. Для товарів України використовують код 482.

Властивості маркованих чисел.

Нехай дано довільне марковане число із  n-рівневої  множини  ꭥ.

α (n) = α₁:α₂:α₃: _… :α_i-1:α_i:α_i+1: _… :α_n-2:α_n-1:α_n,                                 (1.1)

де  α _j Î ꭥ_j, j=1.. n. –  називається маркером  j-рівня.

1.     У маркованому числі α (n) не можна  переставляти місцями  маркери  j-рівня  на маркери i -рівня.

2.     У маркованому числі α (n)   можна  закреслювати    одночасно усі маркери  від 1-ого рівня до j-рівня(зліва направо), де1< j<n. Незакреслені маркери утворюють марковане число, що належить n-рівневій множині.

α₁:α₂:α₃: _… :α_i-1:α_i:α_i+1: _… :α_n-2:α_n-1:α_n  = α_i:α_i+1: _… :α_n-2:α_n-1:α_n  

3.     У маркованому числі α (n)   можна  закреслювати    одночасно усі маркери  від n -ого рівня до j-рівня(справа наліво),  де1< j<n. Незакреслені маркери утворюють марковане число, що належить n-рівневій множині.

  α₁:α₂:α₃: _… :α_i-1:α_i:α_i+1: _… :α_n-2:α_n-1:α_n  = α₁:α₂:α₃: _… :α_i-1:α_i                                                           

У маркованому числі не можна  міняти місцями  j-рівня на  будь-якого рівня.

Введемо деякі операції над маркованими числами.

1.     Будь-яке марковане число α (n)  подати як розклад на маркери, а саме

 α (n) = α₁:α₂:α₃: _… :α_i-1:α_i:α_i+1: _… :α_n-2:α_n-1:α_n  =

= α₁È α₂ Èα₃È  _… È  α_i-1È α_iÈ α_i+1È _… È α_n-2 È α_n-1È  α_n     =

2.     Будь-яке марковане число α (n)  можна подати як розклад на згруповані марковані числа меншої довжини, а саме

α (n) = α₁:α₂:α₃: _… :α_i-1:α_i:α_i+1: _… :α_n-2:α_n-1:α_n  =

= α₁:α₂È α₃: α₄È _… È α_i-1:α_i-1È α_i:α_i+1È  _… È α_n-3:α_n-2È α_n-1:α_n,                                                                                              

Завдання для самостійного дослідження:
 1) Які довжини маркованих чисел можна конструювати на множині  k маркерів, а які не  можна?
2) Чи вірно, що множина  усіх маркованих чисел в багаторівневій множині  рівна 2^n, де n - це кількість елементів у множині найнижчого рівня?
3) Кодування номерів мобільних телефонів можна вважати маркованими числами. Ознайомтеся самостійно з багаторівневими множинами, на основі яких побудовані мобільні номери.
4) Чи можна вважати таблицю Мєндєлєєва хімічних елементів багаторівневою множиною, а позначення хімічних елементів - маркованими числами.
5) Знайдіть інформацію про американського інженера Уоллесом Флінтом, та історію виникнення штрих-кодів?