Задачі на дослідження властивостей натуральних чисел.

Задачі  на  дослідження властивостей натуральних чисел.

Математика володарка палацу, в якому є  безліч колекцій невичерпних істин.

1.      Скільки існує натуральних чисел від 1 до 1000 включно, у яких сума цифр рівна 24?

Відповідь: 10 чисел: 888, 996, 969, 699, 987, 897, 879, 978, 798, 789.

2.      Скільки існує натуральних чисел від 1 до 1000, у яких сума цифр рівна 3?

Відповідь:  10 чисел: 3, 30, 300, 12, 21, 102, 120, 210, 111, 201.

3.      Скільки існує натуральних чисел від 1 до 1000 включно, у яких сума цифр рівна 1?

Відповідь: 4 чисел: 1, 10, 100, 1000.

4.      Чи існує натуральне десятицифрове число, яке ділиться націло на 11, у запису якого різні цифри?

Відповідь: так, існує, і не одне. Наприклад: 2753967180 або 1427385960 та інші.

5.      Яких двоцифрових чисел більше: тих, що є добутками двох будь-яких цифр, чи тих, які не дорівнюють добутку двох цифр?

Відповідь: порівну, 45 і 45

6.      Яке найменше натуральне число можна отримати, шляхом розстановки знаків плюс та мінус перед числами 1, 2, 3, 4, 5, …. , 99?

Відповідь: 1.

7.      Чи можна у вершинах рівностороннього восьмикутника розташувати числа 1,  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  таким чином, щоб суми чисел розташовані у будь-яких  трьох сусідніх вершинах були б більше 11?

Відповідь: Так, наприклад, по часовій стрілці: 1, 5, 7, 2, 4, 6, 3, 8.

8.      Чи можна у вершинах рівностороннього восьмикутника розташувати числа 1,  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  таким чином, щоб суми чисел розташовані у будь-яких  трьох сусідніх вершинах були б більше 13?

Відповідь: не можна.

9.      Чи існує  квадрат 3х3,  в клітинках якого розташовані натуральні числами від 1 до 3 таким чином, сума  трьох різних цифр: у кожній діагоналі , у кожному стовпчику, у кожному рядку рівна?

Відповідь: не існує.

10.  Якщо між цифрами деякого двоцифрового числа вписати 0, то отримаємо трицифрове число, яке в 9 разів більше від початкового числа. Яке початкове число?

Відповідь: 45.

11.  Один множник збільшили на 10%, а другий множник зменшили на 10%. На скільки відсотків змінився при цьому добуток?

Відповідь: зменшився на відсоток.

12.  Чи існує натуральне число від 1 до 1000, у яке при діленні  на 9 має остачу 2, а при діленні на 6 має остачу 1?

Відповідь: не існує.

13.  Знайти натуральне число, сума цифр якого дорівнює різниці між числом 328 і  самим числом?

14.  Відповідь: 317.

15.  В Іванка 44 монети і 10 кишень. Чи зможе він розкласти монети в кишені так, щоб в кожній кишені була різна кількість монет?

Відповідь: не може.

16.  Від двоцифрового числа  відняли суму його цифр і отримали число, записане тими самими цифрами, але в зворотному порядку. Яке це число?

Відповідь: 54.

17.  Знайти двоцифрове число, перша цифра якого дорівнює різниці між числом, записаним тими самими цифрами, але в зворотному порядку.

Відповідь:98