Рівняння Піфагора
Цікавим прикладом
діофантового рівняння є рівняння Піфагора
х2 + у2 = z2,
розв’язки (x; y; z) якого є цілочисловими
довжинами відповідно катетів та гіпотенузи у прямокутних трикутниках. Взаємно
прості розв’язки цього рівняння знаходять за формулами:
x = m2 - n2,
y = 2mn,
z = m2 + n2 ,
де m, n – взаємно прості натуральні
числа і m>n. Помноживши кожен із цих розв’язків на натуральні числа k, можна дістати всі
розв’язки заданого рівняння.
Таблиця сторін піфагорових прямокутних
трикутників
m/n
|
2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
12
|
1
|
3, 4,
5
|
15, 8,17
|
35,12,37
|
63,16,65
|
99,20,101
|
143,24,145
|
3
|
5,12,13.
|
7,
24. 25
|
-------------
|
55. 48 .73
|
91. 60, 109
|
--------------
|
5
|
21. 20. 29
|
9.
40. 41
|
11,
60, 61
|
38, 80, 89
|
-------------
|
169,120,119
|
7
|
45. 28. 53
|
33. 56. 65
|
13.
84. 85
|
15.
112. 113
|
51. 140. 149
|
95. 169. 193
|
9
|
77. 36. 85
|
65. 72. 97
|
------------
|
17.
144. 145
|
19.
180. 181
|
-------------
|
11
|
44.117.125
|
88.105.137
|
85.132.157
|
57.176.185
|
21.220.221
|
23.264.265
|
13
|
52.165.173
|
104.153.135
|
133.156.175
|
105.208.233
|
69.260.269
|
25.312.313
|
15
|
60.221.229
|
120.209.241
|
-----------
|
161.240.289
|
-------------
|
--------------
|
17
|
68.285.293
|
136.273.305
|
204.253.325
|
225.273.353
|
189.340.380
|
145.408.433
|
19
|
76.357.365
|
152.345.377
|
228.325.397
|
297.304.425
|
261.380.461
|
217.456.505
|
21
|
84.437.445
|
168.425.457
|
------------
|
366.377.505
|
341.420.541
|
--------------
|
23
|
92.525.533
|
184.513.540
|
276.493.565
|
368.468.593
|
429.460.629
|
385.552.673
|
25
|
100.621.629
|
200.609.641
|
589.300.661
|
400.561.689
|
-------------
|
481.600.769
|
Приклад. Знайти всі прямокутні трикутники з цілочисловими довжинами сторін, одна з яких
дорівнює 1997.
Розв’язання. Сторони таких трикутників задовольняють співвідношенню
a2 + b2 = c2.
Оскільки 1997 – просте число
, то числа
a, b, c
мають бути попарно взаємно простими. Зрозуміло, що
2mn≠1997.
Якщо ж
m2-n2 = 1997,
то
(m+n)(m-n) = 1997,
звідки
m + n = 1997,
m – n = 1.
Отже
m = 999, n = 998.
Якщо
m2 + n2 = 1997,
то повним перебором по
m Î[1;p], де р = 44 – ціла частина
числа ,
знаходимо, що дану рівність
при умові m>n задовольняють лише числа
m = 34,
n = 29.
Отже, сторони шуканих трикутників є такими:
1997,
2·999·998 = 1994004,
9992+9982 = 1994005
та
342-292 = 315,
2·34·29 = 1972,
1997.
ДІОФАНТОВЕ
РІВНЯННЯ ДРУГОГО СТЕПЕНЯ
З
ДВОМА НЕВІДОМИМИ
Означення.
Рівняння вигляду
ах2 +
bxy
+ cy2
+ dx
+ ey + f = 0, (*)
де а2+
c2 + b2≠ 0, а, b, c, d, e,
f - відомі цілі числа, х, у
– невідомі цілі числа, називається
діофантовим рівнянням другого степеня з
двома невідомими.
Для того, щоб уявляти повну картину
відносно рівняння (*) поставимо собі запитання.
Яку геометричну фігуру задає дане
рівняння в декартовій площині хОу?
Відповідь на це запитання неоднозначна.
Адже рівняння є нелінійним і має два невідомих, тобто рівняння (*) є складним
для знаходження цілих розв’язків (х, у). І ось чому.
Якщо а
= с, b
= 0, d,
e, f - відомі ненульові цілі числа, то
рівняння (*) визначає коло в декартовій площині хОу. За цієї умови рівняння (*) можна тотожними перетвореннями
звести до стандартного рівняння кола:
(x-
n)2
+ (y
- m)2
= R2.
Якщо а
≠ 0, b2+c2 = 0, d, e,
f -
відомі ненульові цілі числа, то рівняння (*) визначає квадратичну параболу в
декартовій площині хОу. За цієї умови рівняння (*) можна тотожними перетвореннями
звести до стандартної квадратичної функції:
y = qx2 + px + g.
Якщо b ≠ 0, а2+ c2 + d2+ e2+f 2 = 0 -
відомі ненульові цілі числа, то рівняння (*) визначає параболу в декартовій
площині хОу. За цієї умови рівняння (*) зводиться до двох рівнянь прямих:
х
= 0, у = 0.
Якщо b ≠ 0, f ≠ 0, а2
+ c2 + d2+ e2 = 0 -
відомі ненульові цілі числа, то рівняння (*) визначає гіперболу в декартовій
площині хОу. За цієї умови рівняння (*) зводиться до оберненої пропорційності:
у
= k/х.
Якщо а
=1, с = 1, b
= -1, d
= 2, e = -4, f =
0, то рівняння (*) визначає еліпс в декартовій
площині хОу. За цієї умови рівняння (*) можна тотожними перетвореннями
звести до стандартного рівняння еліпса:
k(x- n)2 + l(y - m)2 = R.
Якщо a = c, f
2
+
b
2 + d2+ e2 = 0,
то рівняння (*) визначає одну точку (0; 0) в декартовій площині хОу. За цієї
умови рівняння (*) зводиться до рівняння:
х2 + y2 = 0.
Якщо a = c, f
>0, b
2 + d2+ e2 = 0,
то рівняння (*) не визначає точок в
дійсній декартовій площині хОу. За цієї умови рівняння (*) зводиться до
рівняння:
х2 + y2 = - f.
Нас цікавлять цілі розв’язки
діофантового рівняння (*). Отже, із вище зазначених прикладів маємо зробити
висновок: цілих розв’язків у даного рівняння може: не існувати, бути обмеженою
кількістю і бути безмежною множиною.
Якщо у рівняння (*) існують розв’язки, то серед них можуть виявитися(або
не виявитися) цілі розв’язки – це точки, що лежать на фігурі, яку задає
рівняння, і мають цілі значення абсциси та ординати.
На еліпсі, гіперболі та колі в дійсній декартовій площині хОу можуть
існувати точки з обома цілими координатами, або не існувати.
На еліпсі, гіперболі та колі в дійсній декартовій площині хОу при умові
існування точок з обома цілими координатами їх обмежена кількість. Їх шукають
методом перебору цілих значень на деякому обмеженому проміжку із областей
значень та визначень даного рівняння.
На квадратичній параболі, на прямій в
дійсній декартовій площині хОу область визначення та область значень
необмежена, тому існують випадки, коли можуть існувати точки з обома цілими
координатами, та випадки, коли не існує таких точок.
На прямій в
дійсній декартовій площині хОу при умові існування хоча б однієї точки з
обома цілими координатами, тоді таких
цілочисельних точок на даній прямій необмежена кількість. І відповідні
координати (і абсциси і ординати) цілих точок на прямій мають закономірності
двох арифметичних прогресій. Тому розв’язок діофантового рівняння (*) може бути
записаний лінійними формулами, які задають цілі числа арифметичної прогресії
через один цілий параметр k.
Відстань між сусідніми точками з обома цілими координатами на прямій завжди
однакова і ця відстань залежить від значення різниці арифметичної прогресії. Отже,
щільність таких точок постійна величина.
До речі, у цьому випадку ліва частина
рівняння (*) має розкладатися на два лінійних множники вигляду kx + my + n.
Варто мати на увазі, що одна і та ж
арифметична прогресія може бути записана різними лінійними формулами вигляду
хm = am + bn,
де
bn
– довільний член даної арифметичної прогресії, а – різниця цієї арифметичної прогресії.
На квадратичній параболі в
дійсній декартовій площині хОу при умові існування точок з обома цілими
координатами їх необмежена кількість. І відповідні координати цілих точок на
параболі мають закономірності послідовності типу
квадратичної. Відстань між сусідніми точками з обома цілими координатами
постійно змінюється і вона залежить від значення номера члена послідовності. Отже,
щільність таких точок непостійна.
Означення.
Дві цілочисельні арифметичні прогресії вигляду
х = n1k + m1,
у = n2k + m2
називаються однопараметричним розв’язком
діофантового рівняння другого степеня з двома невідомими (1), який
записують парою чисел
(х, у) = ( n1k + m1, n2k + m2), (2)
де
n1,
m1,
n2,
m2
–
цілі числа, k
– цілочисельний параметр, якщо пара чисел (2) задовольняє рівняння (1).
Виконаємо підстановку однопараметричного
розв’язку (2) у рівняння (1).
ах2
+ bxy
+ cy2 + dx + ey + f = а(n1k + m1)2 + b(n1k + m1)( n2k + m2) + c(n2k + m2)2 + d(n1k + m1) + e(n2k + m2) + f = 0,
Розкриємо повні квадрати:
а(n1 2k2 + 2n1 m1k +
m12) + b(n2n1k2 + m1n2k + m2n1k + m1m2) +
+
с(n2
2k2
+
2m2n2k +
m22) + d(n1k
+ m1)
+ e(n2k
+ m2)
+
f = 0,
Зведемо подібні доданки з відповідними
параметрами k2, k, k 0:
(аn1 2
+ bn2n1
+ cn22)k2 + (2n1
m1a + m1n2b + m2n1b+2m2n2c)k +
+( am12 + bm1m2
+ cm22
+ dm1 + em2 + f)=
0*k2
+ 0*k1
+ 0*k 0.
Прирівняємо коефіцієнти при параметрі k2, k, k
0
у
лівій та правій частині останньої рівності, отримаємо систему трьох нелінійних
рівнянь для визначення чотирьох невідомих n1, m1, n2, m2:
аn1 2
+ bn2n1
+ cn22 = 0, (3)
2n1
m1a + m1n2b + m2n1b+2m2n2c = 0, (4)
am12 + bm1m2
+ cm22
+ dm1 + em2 + f = 0. (5)
Отже, постає питання про існування та
знаходження розв’язків цієї системи рівнянь в цілих числах.
Рівняння (3) пов’язує між собою у
квадратичній залежності два невідомих n2 , n1. До
речі, взаємна заміна невідомих n2 на n1
змінює рівняння (3).
Зрозуміло, що варто розглянути випадок
системи, коли у рівняння (3) маємо тривіальний розв’язок (0; 0), тобто n2 = 0, n1
= 0. Тоді рівняння (5)
визначає умови
на цілі розв’язки рівняння (1), а саме можливе існування двох цілочисельних пар
(х, у):
x1 = {- (bg+ d) + [(b2 - 4ac)g2
+ (2bd- 4ae)g
+
(d2
-
4af)]0,5
}(2а)-1,
у1 = g.
x2 = {- (bq+ d) - [(b2 - 4ac)q2
+ (2bd- 4ae)q
+
(d2
-
4af)]0,5
}(2а)-1,
у2
= q.
Рівняння (5) пов’язує між собою у
квадратичній залежності два невідомих m2 , m1. Проте, якщо
розглядати випадок системи, коли
f =0,
то існує
тривіальний розв’язок рівняння (5), тобто m2 = 0, m1
= 0.
Тоді
рівняння (3) визначає умови
на цілі розв’язки рівняння (1), а саме за певних можливе існування двох
цілочисельних пар (х, у):
х3
= (-b
- (b2 - 4ac)0,5
)(2а)-1) k
у3 = k.
х4
= (-b
+ (b2 - 4ac)0,5
)(2а)-1) k
у4 = k.
З’ясуємо ці умови далі.
Рівняння (4) пов’язує між собою у квадратичній залежності
чотири невідомих m2 , m1, n2 , n1. Перетворимо
це рівняння:
(2m1a + m2b )n1+(2m2c + m1b)n2 = 0,
(2m1a + m2b )n1 = -(2m2c + m1b)n2
n1: n2 = -(2m2c + m1b):(2m1a
+ m2b
)
далі
буде показано, що
n1: n2 = (-b
- (b2 - 4ac)0,5
)(2а)-1.
Для початку перетворимо нелінійне рівняння
(3). Виразимо одне невідоме через інше. Розглянемо його, як квадратне рівняння
відносно n1:
аn1 2
+ bn2n1 + cn22 = 0. (6)
Постає питання існування невід’ємного
дискримінанту, як точного цілого квадрату:
D = b2n22 - 4acn22 = (b2 - 4ac)n2 2. (7)
Вважатимемо, що (b2 - 4ac)
= р2 – цілий точний квадрат. Тоді
D0,5 = n2р
Тоді постає питання існування цілих коренів
квадратного рівняння (6):
n11
= (-bn2 + n2р)(2а)-1 = n2(-b + р)(2а)-1, (8)
n12
= (-bn2
- n2р)(2а)-1 = n2 (-b - р)(2а)-1. (9)
Таким чином, якщо число
(b2 - 4ac)
– це невід’ємний точний квадрат, (10)
отримуємо пряму пропорційність із
коефіцієнтом пропорційності:
-b - (b2 - 4ac)0,5
)(2а)-1
між числами n2
,
n1.
І тільки при умові, що
(-b - (b2 - 4ac)0,5
)(2а)-1) – це ціле число (11)
можна вести мову про подальше
дослідження існування цілих розв’язків рівняння (1).
Перетворимо нелінійне рівняння (5).
Виразимо одне невідоме через інше. Розглянемо його, як квадратне рівняння
відносно m1.
am12 +(bm2 + d)m1 + (cm22 + em2 + f) = 0. (12)
Знову постає питання існування
невід’ємного дискримінанту, як точного цілого квадрату:
D = (bm2
+ d)2 - 4a(cm22
+ em2 + f)=
=b2m22
+2bm2d + d2 - 4acm22
- 4a em2 - 4af =
=(b2 -
4ac)m22
+ (2bd-
4ae)m2 + (d2 - 4af). (13)
Вважатимемо, що
(b2 - 4ac)m22 + (2bd- 4ae)m2 + (d2 - 4af) = q2 –
цілий точний квадрат. Тоді матиме місце для (13) рівність
повного квадрату
(b2 - 4ac)m22 + (2bd- 4ae)m2 + (d2 - 4af)= (m2 - h)2. (14)
де h – деяке ціле число
Ця
умова (14) виконується, якщо отримаємо
нульовий дискримінант у лівому квадратному виразі відносно m2, а
саме виходимо на коефіцієнти рівняння (1) і це означає виконання умови:
(2bd -
4ae)2 - 4(b2 - 4ac)(d2
- 4af)
=
0.
Поділимо на 4 і отримаємо:
(bd - 2ae)2 - (b2 - 4ac)(d2 - 4af)=0. (15)
Таким чином, корені квадратного рівняння
(12):
m11
={ - (bm2 + d) + [(b2 - 4ac)m22 + (2bd- 4ae)m2 + (d2 - 4af)]0,5 }(2а)-1, (8)
m12
={ - (bm2 + d) - [(b2 - 4ac)m22 + (2bd- 4ae)m2 + (d2 - 4af)]0,5 }(2а)-1, (9)
при умовах (13) – (15) можна записати ці
корені у такому вигляді:
m11 ={ - bm2 – d + m2 - h }(2а)-1,
m12 ={ - (bm2 + d) - (m2 – h) }(2а)-1,
m11 ={ (1- b)m2 - (h + d) }(2а)-1, (10)
m12 ={ (-1- b)m2 + (h - d) }(2а)-1, (11)
Таким чином, якщо виконується умова
(10), (11), (13), (15),
отримуємо лінійну залежність між числами
m2
,
m1.
Немає коментарів:
Дописати коментар