Задачі на ознаки подільності чисел.

Задачі на ознаки подільності чисел.

1. Тільки три цифри п'ятицифрового натурального числа — одиниці. Знайти всі  такі числа, знаючи, що вони діляться без остачі на 72.
2. Тільки три цифри п'ятицифрового натурального числа — четвірки. Знайти всі такі числа, знаючи,   що   вони  діляться  без  остачі на 315.
3. Дано натуральне число А.   Знаючи,   що   сума цифр числа А — це число В,   та число С — сума цифр числа В, обґрунтуйте подільність суми  А+В+С на найменше непарне просте число.
   Якщо   до   двоцифрового   числа  додати  суму його цифр, вийде число, написане тими самими цифрами в зво­ротному порядку. Знайти це число.
4. Якщо до  двоцифрового   числа   додати   суму його цифр,   а   потім зробити це саме із  знайденим числом, то вийде двоцифрове число, яке складається з тих самих цифр, що й початкове. Яке це число?
5. Знайти натуральне  число, яке   більше   від   суми   його   цифр у 12 раз.
6. Знайти  натуральне  число,   яке   більше   від   суми  його цифр в 11 раз.
7. Знайти число, яке дорівнює квадрату суми його цифр.
8. Знайти чотирицифрове число, яке дорівнює четвертому степеню суми його цифр.
9. Знайти   чотирицифрове   число,   яке  в  чотири рази більше від числа, записаного тими самими цифрами в зво­ротному порядку.
10. Записано першу тисячу натуральних  чисел. Яку цифру використано частіше від інших?
11. Довести, що не існує точного  квадрата,   більшого за 9, всі цифри якого однакові.
12. Визначити дві останні цифри числа 7²⁰⁰⁷?.
13. Визначити дві останні цифри числа 4²⁰⁰⁷.
14. Визначити дві останні цифри числа 56⁵⁶ .

Відповіді:

1.      41112, 11160. Останні три цифри діляться на 8, а сума їх цифр 9 або 18.

2.        44415.

3.      Використати ознаку подільності на 3.

4.        45.

5.       21.

6.       108.

7.       198.

8.       81.

9.      2401, досить перевірити четверті степені чисел 6, 7, 8, 9.

10.   

11.  Одиниця.