8-9 клас. Банк задач математичних олімпіад

Банк задач математичних олімпіад 

Задачі підвищеної складності

1. На числовій прямій відмічено дві точки. Де розташовано їх середнє арифметичне?

2. Чи можна в клітках таблиці 5x5 записати числа так. щоб в кожному рядку сума чисел була додатною, а в кожному стовпці  – від’ємною.

3. Є дві купи каменів різної кількості. Два гравці по черзі беруть будь-яку кількість каменів, але тільки з однієї купи. Виграє той. хто візьме останній камінь. Чи може хтось з них гарантовано виграти?

4. Доведіть, що добуток  цифр будь-якого числа не більше його самого.

5. Побудуйте трикутник, якщо відомі всі його кути і периметр.

6. Чи існує така нескінченна послідовність з двох букв, що ніяка комбінація з декількох букв не повториться двічі підряд?

7. Кожну грань кубика розбили на чотири рівних квадрата і розфарбували ці квадрати в три кольори так. щоб квадрати, що мають загальну сторону, були пофарбовані в різні кольори. Доведіть, що в кожен колір пофарбовано 8 квадратів.

8. Чи можна розставити по колу 20 червоних і декілька синіх фішок так, щоб в кожнійточці, діаметрально протилежній червоній фішці, стояла синя і ніякі дві сині фішки не стояли поряд?

9. Чи можна який-небудь трикутник помістити всередину круга, радіус якого менше радіусу описаного біля цього трикутника кола?

10. Президент акціонерного суспільства «Не обдуриш – не продаси» оголосив на зборах акціонерів, що за кожні п'ять послідовних місяців витрату фірми перевищував дохід, а за весь рік дохід перевищила витрата. Чи повинні акціонери подати на нього до суду?

11. Мандрівник виходить з готелю в 3 години дня і повертається в 9 годин вечора по тому ж маршруту. Відомо, що по рівних ділянках він йде із швидкістю 4 км/год, в гору – 3 км/год, під гору – 6км/год. Знайдіть відстань, яку пройшов мандрівник, якщо він йшов без відпочинку.

12. Доведіть, що будь-які 100 точок на площині можна розбити на дві групи так, щоб ніяка пряма не відокремлювала одну групу від іншої.

13. Чи вірна наступна ознака рівності трикутників: по двох сторонах і медіані, проведеній до третьої сторони.

14. Коли я збігаю по ескалатору станції метро «Жовтнева», то встигаю налічити 100 сходинок, а коли біжу вниз по ескалатору, що йде вгору, налічую 300 сходинок. Скільки сходинок на нерухомому ескалаторі?

15. Вовк і вовченя, ведмідь і ведмежа, лис і лисеня вирішили переправитися з лівого берега річки на правий. У них був човен, в який поміщався будь-хто двоє з них. Як їм переправитися на інший берег, якщо не можна залишати дитинчат з чужими татами без свого?

16. У легенді про винахідника шахової гри мовиться, що на першу клітину дошки він просив покласти одне рисове зернятко, на другу – два, на третю – чотири і так далі, кожного разу подвоюючи кількість зерен. Виразите загальну кількість зерен на дошці формулою.

17. Вася рахує пальці від великого до мізинця, потім в зворотному порядку (кожний рахунок доводиться на інший палець), потім назад і т.д. На який палець припаде рахунок 1990?

18. Три цілі числа пов'язані співвідношенням х² + у² = z². Доведіть, що х або у ділиться на 3.

19. Катер, пливучи вгору по річці, втратив під мостом пляшку. Виявивши втрату через 10 хвилин, він повернув назад і наздогнав пляшку на відстані 1 км  від моста. Визначите швидкість річки.

20. Знайдіть безліч середин всіх відрізків, кінці яких лежать

а) на даному півколі;

б) на фігурі, що є об'єднанням діагоналей квадрата.

21. Якщо надрукувати всі числа від 1 до 1000. то скільки разів зустрінеться цифра 3?

22. Скільки чисел серед 1, 2, 3 ..., 1000 містять в своєму записі хоч би одну трійку?

23. На шахівниці розставляють королів так, щоб вони били всі клітки. Яке найменше число королів? (Клітка, на якій стоїть король, вважається битою.)

24. Шестизначне число ділиться на 7. Доведіть, що, якщо останню його цифру переставити в початок, то отримане число теж ділитиметься на 7.

25. Побудувати чотирикутник, знаючи всі його сторони і кут між двома протилежними сторонами.

26. Подайте  число 100 у вигляді суми декількох натуральних чисел так, щоб їх добуток був найбільшим.

27. Подвоїти відрізок за допомогою одного циркуля.

28. Є 10 мішків монет.

а) У дев'яти мішках монети сьогодення, кожна важить 10 г, а в одному – фальшиві, кожна важить 11г. Як одним зважуванням за допомогою терезів без гирь визначити цей мішок?

б) Те ж питання для випадку, коли мішків з фальшивими монетами декілька.

29. Побудувати коло, що проходить через дві дані точки і відсікає від даного кола хорду даної довжини.

30. Кульгавий слон ходить тільки на одну клітку по диагоналі. Яка кількість ходів потрібна кульгавому слонові, щоб обійти всі білі клітини дошки 10х10?

31. У краплю води, де знаходилися 1000 бактерій, посадили один вірус. Після цього кожну хвилину стало відбуватися наступне: кожен вірус знищував по одній бактерії, після чого кожна бактерія ділилася на дві бактерії, а кожен вірус – на два віруси. Чи вірно, що через деякий час не залишиться жодної бактерії?

32. Кожний з чотирьох гномів – Беня, Веня, Євген, Сеня – або завжди говорить правду, або завжди бреше. Ми почули таку розмову. Веня – Бені: «Ти брехун». Євгену – Веню: «Сам ти брехун». Сеня – Євгену: «Та обидва вони брехуни, (подумавши) втім, і ти теж». Хто з них говорить правду?

33. Усередині опуклого 10-кутника відзначили 10 точок і розбили його на трикутники з вершинами в цих  точках і вершинах 10-угольника. Чи може при цьому вийти 30 трикутників?

34. По кругу стоять числа 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8. Дозволяється узяти будь-які два сусідні числа і замість них записати на їх місця середнє арифметичне цих чисел. Чи можна, повторивши багато раз цю операцію, отримати 8 однакових чисел?

35. Послідовні непарні числа згруповані таким чином: (1)  (3,5)  (7,9,11) (13,15,17,19) ... Знайдіть суму чисел в сотій групі.

36. Ваня, Андрій і Алеша грали в настільний теніс. Хто програв партію всякий раз поступався місцем тому, хто в ній не брав участь. За день Ваня зіграв 10 партій. Андрій – 21 партію. Скільки партій зіграв Алеша?

37. Кожні двоє з 17 учених переписуються по одній з трьох тем. Доведіть, що є троє учених, що пишуть один одному по одній і тій же темі.

38. При даній сумі додатних чисел добуток максимальний тоді, коли вони рівні. При даному добутку додатних чисел сума мінімальна тоді, коли ці числа рівні. Доведіть.

39. Вершини одного паралелограма лежать на сторонах іншого, причому різні вершини  – на різних сторонах. Доведіть, що центри цих паралелограмів співпадають.

40. Сума 10 різних натуральних чисел рівна 1994. Яке найбільше значення може приймати сума трьох найменших з них?

41. Чи існує зростаюча геометрична прогресія, у якої перші 100 членів – цілі числа, а решти всіх членів не є цілими?

42. Чи може трапитися так, що

а) довжини всіх висот трикутника менше 1 см, а його площа більше 100 см²?

б) довжини всіх висот трикутника більше 2 см, а його площа менше 2 см²?

43. Два поїзди їдуть по перпендикулярних шляхах до точки перетину. Один потяг знаходиться на відстані 80 км. Від точки перетину, і його швидкість 30 км/год. Інший потяг – на відстані 40 км., і його швидкість 40 км/год. Через який час поїзди будуть на найменшій відстані один від одного і чому рівна ця відстань?

44. Знайдіть два звичайні дроби – один із знаменником 8, інший із знаменником 13 такі, щоб вони не дорівнювали нулю і різниця між більшою і меншою з них була найменшою.

45. Через дану точку на площині проводяться всілякі прямі, що перетинають дане коло. Знайдіть геометричне місце середин хорд, що виходять з даної точки.

46. У крузі проведено два радіуси. Побудуйте хорду, яка ділиться ними на три рівні частини.

47. Доведіть, що осі симетрії багатокутника перетинаються в одній точці.

48. Дано одиничне коло з центром на початку координат. Розглядаються прямі, задані рівняннями aх + bу = с, з раціональними коефіцієнтами, що проходять через крапку (1; 0). Доведіть, що точки перетину цих прямих з колом мають раціональні координати.

49. За допомогою циркуля і лінійки провести з даної точки А пряму, перпендикулярну даній  прямій с. Провівши не більше трьох ліній (третя лінія є шуканий перпендикуляр).

50. У державі 1990 міст. Доведіть, що їх можна з'єднати дорогами з одностороннім рухом так, щоб з кожного міста можна було проїхати в кожен або по одній, або по двох дорогах.

51. Скільки осей симетрії може мати семикутник?

52. Дана таблиця 8х8, в одній з кліток якої стоїть знак «–», а в інших – «+». Дозволяється за один хід міняти всі знаки на протилежні в довільних клітках квадрата 2x2. Чи можна добитися того, щоб у всіх клітках стояли знаки «+»?

53. На площині відзначили два мільйони різних точок. Чи існує пряма, по кожну сторону від якої знаходиться рівно по мільйону точок?

54. За правилами турніру, якщо два лицарі А і В билися із С, то вони не б'ються між собою. Знайдіть мінімальне число поєдинків, якщо в турнірі беруть участь 12 лицарів.

55. На столі лежить купка з 1001 каменя. Хід полягає в тому, що з якої-небудь купки викидають камінь, а потім одну з куп ділять на дві. (Викинутий камінь зникає). Чи можна добитися того, щоб через декілька ходів на столі залишилися тільки купки, що складаються з трьох каменів?

56. На площині n точок попарно сполучені відрізками. Щонайдовший з них назвемо діаметром. Доведіть, що діаметрів не більше n.

57. При n > 3 вписаний чотирикутник можна розрізати на n вписаних чотирикутників. Доведіть.

58. Брат і сестра ділять трикутний торт. Брат указує точку на торті, а сестра проводить через неї прямий розріз і бере одну частину. Кожен хоче отримати побільше. Де братові слід вказати точку і яку частину торта він при цьому отримає?

59. Доведіть, що існує число, сума цифр квадрата якого більш ніж в 1000 разів перевищує суму цифр самого числа.