МАТЕМАТИЧНІ ШКІЛЬНІ ОЛІМПІАДИ.: 7 клас. І етап математичної олімпіади

Шкільна математична олімпіада 7 клас

1 тур(2 години)

Частина перша

Вказати тільки одну правильну відповідь.

1. Квиток у кінотеатр коштує 11 грн, диск улюбленої групи- 20 грн, чіпси - 3,5 грн, проїзд на маршрутному таксі - 0,75 грн. Антон має 32 грн. Скільки з наведених тверджень не є правильними? 1) Антонові не вистачить грошей на диск, кіно і чіпси. 2)Після купівлі диска і відвідування кінотеатру в Антона залишаться гроші на проїзд у маршрутному таксі. 3)Поїздка в маршрутному таксі і купівля чіпсів не дозволять Антонові придбати два квитки в кінотеатр.

всі наступні пункти хибні;
усі не вірні;
усі вірні;
2 правильних і 1 неправильне.

2. Токарі Василь, Микола, Петро, Сергій повинні за два дні виготовити 42,18,24,37 деталей відповідно. Двоє з них виконали завдання в перший день, третій хворів перший день, він усе своє завдання виконав за другий день, а четвертий обидва дні хворів, але загальне завдання двох днів було виконано повністю. Хто з токарів хворів, якщо токарі, які працювали у перший день, другого дня зробили стільки, скільки й першого?

хворів Микола;
хворів Василь;
хворів Сергій;
всі попередні пункти хибні.

3. Батьки маленького Сергійка мають виконати три види домашньої роботи: 1)почистити килими (на це потрібно 40 хв, вони мають 1 пилосос); 2)підрізати дерева в саду (на це потрібно 40 хв, у них є одні ножиці); 3)нагодувати й заколисати Сергійка (на це потрібно 40 хв). Кожну з цих робіт може виконувати кожен з батьків. Як розподілити цю роботу між батьками, щоб закінчити її в найкоротший час?

60 хв.;
50 хв.;
40 хв;
всі попередні пункти хибні.

4. Лічильник автомобіля показував 23 932 км. Через 3 год на лічильнику знову з'явилося число, що однаково читається з обох кінців. З якою швидкістю їхав автомобіль? Швидкість виражається цілим числом.

65 км/год;
60 км/год;
70 км/год;
всі попередні пункти не вірні.

5. 15 кульок можна скласти у вигляді трикутника, але не можна у вигляді квадрата - однієї кулі не вистачає. З якої кількості кульок, меншої від 50, можна скласти як трикутник, так і квадрат?

з 25 кульок;
з 49 кульок;
з 36 кульок;
всі попередні пункти не вірні.

6. Дати часто записують так: число, місяць, дві останні цифри року, наприклад, 9.5.05 – дев'ятого травня 1905 р. Скільки разів протягом XX століття дату можна було записати, використовуючи тільки одну цифру?

12;
14;
13;
всі попередні пункти не вірні.

7. Учні вирішили поїхати в цирк на автобусі. Замовлення автобуса коштує 100 грн, а квиток у цирк на одного – 5 грн. Вирішили, що кожен учень внесе по 8 грн. Яка найменша кількість учасників має взяти участь у поїздці, щоб можна було покрити усі витрати?

34 учні;
32 учні;
33 учні;
всі попередні пункти не вірні.

8. Батьки придбали люстру з 15 лампочками і хочуть мати можливість вмикати будь-яку кількість із них від 1 до 15 – одну, чи дві, чи три, чи .... Яка найменша кількість звичайних вимикачів знадобиться для цього?

6 лампочок;
8 лампочок;
7 лампочок.;
всі попередні пункти хибні.

9. Скількома способами шість шахістів, серед яких є два майстри спорту, можуть об'єднатися у дві команди по 3 спортсмени в кожній для одночасної гри в двох містах так, щоб у кожній команді був майстер спорту?

15;
13;
12;
всі попередні пункти хибні.

10. У супермаркеті два ескалатори: один піднімає клієнтів вгору, другий спускає їх униз. Одна особа біжить по ескалатору, що їде вгору, і в результаті піднімається зі швидкістю 2,5 м/с. Друга особа з тією самою швидкістю біжить угору по ескалатору, що спускається вниз, і в результаті піднімається вгору зі швидкістю 0,5 м/с. З якою швидкістю рухаються ескалатори, якщо ці швидкості однакові?

0,9;
1,2;
0,25;
1.

11. Учаснику олімпіади відразу нараховується 100 балів. За кожну правильно розв'язану задачу набрана до цього моменту кількість балів збільшується на 10 %, а за неправильно розв'язану задачу — зменшується на 10 %. Після розв'язання кількох задач в учасника олімпіади виявилося 80,19 бала. Скільки при цьому задач він розв'язав правильно?

1;
2;
3;
всі попередні пункти хибні.

12. У класі 30 учнів. Вони здавали залік з математики по черзі. Перший одержав 10 балів, другий — 8 балів, а кожен наступний одержав кількість балів, яка дорівнює середньому арифметичному кількостей всіх балів, отриманих попередніми учнями. Яку оцінку одержав останній учень?

всі наступні пункти хибні;
12;
9;
10.

ЧАСТИНА ДРУГА

Записати повне розв’язання задач і записати відповідь.

1. Шість однакових діжок вміщують 28 відер води. Скільки відер води можуть вмістити таких 15 діжок?

2. Дмитро і Максим грають у таку гру. За свій хід гравець повинен за декілька пострілів і попасти в деякі області мішені(див. рис.), так щоб сума вибитих очок






16	17	18	24	39	40

дорівнювала 80, при цьому 80 очок треба вибити іншим способом. Виграє той, хто останнім виб’є потрібну суму очок. Хто з гравців забезпечить собі перемогу, якщо гру розпочинає Дмитро? Детально обґрунтуйте відповідь.

3. Запиши сотню дев’ятьма різними числами від 1 до 9, які записані у порядку зростання та з’єднані знаками арифметичних дій. Скількома способами число 100 можна так записати?

4. Поясни, чому 9999¹⁰ більше, ніж 99²⁰?

5. Є двоє пісочних годинників: на 7 хвилин і на 11 хвилин. Куряче яйце вариться 15 хвилин. Як відміряти цей час за допомогою наявних годинників?

6. За один хід число, написане на дошці, дозволяється або замінити на подвоєне, або стерти в нього останню цифру. Спочатку на дошці написано число 458. Як за декілька ходів отримати число 14?

Відповіді до задач першого туру

Перша частина.

1. 2 правильних і 1 неправильне;

2. хворів Василь;

3. 60 хв.;

4. 70 км/год;

5. з 36 кульок;

6. 13;

7. 34 учні;

8. 8 лампочок;

9. 12;

10. 1;

11. 1;

12. 9.

Друга частина.

1. Розв’язання. 28:2=14 відер вміщують три діжки(6:2=3).

14·5=70 відер води вміщують 15 діжок(3·5=15).

Відповідь: 70 діжок.

2.Розв’язання. Всього п’ять різних способів за один хід набрати рівно 80 очок.

Ось вони: 16*5=80,

40*2=80,

23+17+40=80,

16+24+40=80,

2*24+2*16=80.

Таким чином, забезпечить собі перемогу починаючий, так як він робить п’ятий непарний хід. А це за умовою задачі Дмитро.

3.Розв’язання.

1. 1+2+3+4+5+6+7+8*9=100;

2. 12-3-4+5-6+7+89=100;

3. 123+45-67+8-9=100;

4. 123-4-5-6-7+8- 9=100;

5. 123-45-67+89=100;

6. 123+4-5+67-89=100;

7. 12+3-4+5+67+8+9=100; … і так далі.

4. Розв’язання.

9999¹⁰ = [99 (100+1)]¹⁰ = 99¹⁰ 101¹⁰ > 99¹⁰ 99¹⁰ = 99²⁰?

Шкільна математична олімпіада 6 -7 класи

2 тур(2 години)

ЧАСТИНА ПЕРША

Вказати тільки одну правильну відповідь.

1. Для яких натуральних чисел n число вигляду n*n - 5 ділиться на число вигляду n - 5?

всі наступні пункти хибні;
1, 50, 100, 200;
1, 15, 30, 45;
1, 5, 10, 25; .

2. Якщо натуральне число непарне, тоді добуток усіх його цифр є число, яке ділиться на усі цифри цього числа.

Всі наступні пункти не вірні;
Це твердження правильне не завжди;
Це твердження правильне завжди;
Це твердження правильне, якщо число має цифру нуль.

3. Якщо натуральне число складається з парної кількості непарних цифр, тоді сума цифр числа це непарне число.

всі наступні пункти хибні;
це твердження правильне завжди;
це твердження правильне не завжди;
це твердження правильне, якщо число має цифру нуль.

4. Якщо число 5555 піднести до степеня 2222, тоді остача від ділення отриманого числа на 7 дорівнює:.

0;
1;
2;
4.

5. Якщо натуральне число парне, тоді його можна записати, як суму непарних чисел.

всі наступні пункти хибні;
це твердження неправильне;
це твердження правильне завжди;
всі попередні пункти вірні.

6. Якщо натуральне число непарне, тоді його можна записати, як добуток двох непарних чисел.

7. Якщо натуральне число непарне, тоді його можна записати, як суму парного і непарного натуральних чисел.

Це твердження правильне не завжди;
це твердження неправильне;
це твердження правильне завжди;
це твердження правильне тільки для двоцифрових чисел;
всі пункти вірні.

8.Якщо натуральне число закінчується на цифру 7, тоді сота степінь цього числа закінчується на цифру:

всі наступні пункти хибні;
1;
7;
9.

9.Чи завжди будь-яке парне натуральне число можна записати, як суму простих чисел.

всі наступні пункти хибні;
це можна зробити тільки для всіх двоцифрових парних чисел;
це можна зробити не для всіх парних чисел;
всі попередні пункти хибні.

10. Якщо натуральне число має непарну кількість дільників, тоді дане число можна записати як квадрат деякого натурального числа.

всі наступні пункти хибні;
таких чисел існує декілька;
це неправильно;
це правильно.

11.Знайти найменше натуральне число, яке має тільки десять дільників.

всі наступні пункти хибні;
96;
92;
91.

12.Якщо різниця будь-яких сусідніх цифр шестицифрового натурального числа рівна одиниці, то добуток цифр ділиться на 8.

це вірно в окремих випадках;
це не вірно;
це вірно;
всі попередні пункти хибні.

ЧАСТИНА ДРУГА

Записати повне розв’язання задач і записати відповідь.

1. Знайдіть всі трицифрові числа, які в результаті викреслювання середньої

цифри зменшуються в 7 разів.

2. У квадраті 3х3 клітинки верхня ліва вершина позначена літерою А. Скільки можна побудувати трикутників, одною з вершин яких є точка А, а дві інші вершини – будь-які вершини квадратиків 1х1 даного квадрата?

3. Поставте дужки у виразах: 7∙9 + 12:3-2 = 23, 7∙9 + 12:3-2=75.

4. Поставте плюси та мінуси у лівій частині виразу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100. Скільки існує способів утворення правильної рівності?

5. Скількома способами можна поділити 50 грн. між Петриком та Павликом так, щоб кожен хоча б один з них отримав парну кількість гривен?

6. Чи можна розміняти 25 карбованців за допомогою десяти купюр вартістю 1, 3 та 5 карбованців? Обгрунтувати відповідь.

7.Є 9 монет, одна з яких фальшива (вона легше, ніж справжня монета). Як за два зважування визначити фальшиву монету?

Відповіді до задач 2 туру

Перша частина

1. 1, 5, 10, 25;

2. Це твердження правильне не завжди;

3. Всі наступні пункти хибні;

4. 2;

5. Це твердження правильне завжди;

6. Це твердження правильне завжди;

7. Це твердження правильне не завжди;

8. 1;

9. Це можна зробити не для всіх парних чисел;

10. Це правильно.

11. Всі наступні пункти хибні;

12. Це вірно.

Друга частина

1. Знайдіть всі трицифрові числа, які в результаті викреслювання середньої цифри зменшуються в 7 разів.

Відповідь: 105. Розв'язання. Нехай шукане число має вигляд abc =100a + 10b + c. Тоді згідно умови задачі отримуємо: 100a + 10b + c = 7(10a + c).

Звідси

30a + 10b = 6c.

Цю рівність поділимо на 2.

15a + 5b = 3c.

5(3a + b) = 3c.

З останньої рівності випливає, що с ділиться націло на 5.

Розглянемо два випадки:

1) с = 0. Тоді 15a + 5b = 0. Оскільки a і b є цифрами числа, то рівність може виконуватись тільки в тому разі, коли a = b = 0. Проте утворити трицифрове число з трьох цифр, які всі дорівнюють 0, неможливо.

2) с = 5. Тоді 15a + 5b = 15. Звідси 3a + b = 3. Оскільки a як перша цифра трицифрового числа не може бути нулем, то 3a ³ 3. З цього можна зробити висновок, що b = 0, a = 1.

2. У квадраті 3х3 клітинки верхня ліва вершина позначена літерою А. Скільки можна побудувати трикутників, одною з вершин яких є точка А, а дві інші вершини – будь-які вершини квадратиків 1х1 даного квадрата?

Відповідь: 25 трикутників.

3. Поставте дужки у виразах: 7∙9 + 12:3-2 = 23, 7∙9 + 12:3-2=75.

Розв'язання. (7∙9 + 12):(3-2)=75, (7∙9 + 12):3-2=23.

4. Поставте плюси та мінуси у виразі: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100.

Розв'язання.

12-3-4+5-6+7+89=100;
123+45-67+8-9=100;
123-4-5-6-7+8- 9=100;
123-45-67+89=100;
123+4-5+67-89=100;
12+3-4+5+67+8+9=100.

Відповідь: 6 способів.

Розв'язання.

50 = 0 + 50,

50 = 2 + 48,

50 = 4 + 46,

50 = 6 + 44,

50 = 8 + 42,

50 = 10 + 40, ...,

50 = 46 + 4,

50 = 48 + 2,

50 = 50 + 0.

Від 0 до 50 існує 26 парних чисел.

Відповідь: 26 способів.

6. Чи можна розміняти 25 карбованців за допомогою десяти купюр вартістю 1, 3 та 5 карбованців?

Розв'язання цієї задачі грунтується на простому спостереженні: сума парної кількості непарних чисел є парною. Узагальнення цього факту виглядає так: парність суми кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків: якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною.

Відповідь: не можна.

Шкільна математична олімпіада 6 -7 класи

3 тур(2 години)

ЧАСТИНА ПЕРША

Вказати тільки одну правильну відповідь.

1. В розкладах на прості множники двох натуральних чисел n та m відсутні однакові числа. Який спільний дільник цих чисел?

всі наступні пункти хибні;
половина від n та m;
двічі по півтора n та m;
1.

2. В розкладах на прості множники двох натуральних чисел n та m відсутні однакові числа. Яке спільне кратне цих чисел?

усі прості множники цих чисел;
nm;
n+m;
всі попередні пункти хибні.

3. В розкладах на прості множники двох натуральних чисел n та m зустрічаються тільки числа в парних степенях. Чи являється добуток двох чисел квадратом натурального числа?

всі наступні пункти хибні;
це куб натурального числа;
не являється квадратом;
це квадрати тільки простих чисел.

4. Чи може бути квадратом натурального числа сума квадратів двох непарних чисел?

всі наступні пункти хибні;;
іноді може;
не може;
це може тільки для 1 та 3.

5. Скільки натуральних дільників має натуральне числа, як отримане піднесенням деякого простого числа до степеня n?

n дільників;
n-1 дільників;
n+1 дільників;
всі попередні пункти не вірні.

6. Знайти суму цифр n та m, для яких сума чисел 10n+m i 10m+n являється точним квадратом.

n + m = 1;
n + m = 10;
n + m = 11;
всі попередні пункти не вірні.

7. Які остачі при діленні на 6 для простого числа, більшого ніж 5, можна отримати?

5 та 1;
6 та 1;
2 та 3;
всі попередні пункти не вірні.

8. Чи можна серед натуральних чисел вигляду n•n•n•n + 4 знайти просте число?

всі наступні пункти хибні;;
не можна;
в одному випадку це вірно;
існує безліч таких простих чисел.

9. Чому дорівнює найменше спільне кратне трьох послідовних простих чисел?

111;
сумі цих чисел;
добутку цих чисел;
всі попередні пункти хибні.

10. Відомо, що натуральне число вигляду n + 4m ділиться на 13. Чи поділиться на 13 натуральне число вигляду 10n + m?

всі наступні пункти хибні;
таких чисел існує декілька;
це неможливо;
так, завжди поділиться.

11. Відомо, що натуральне число вигляду 3n + 2m ділиться на 17. Чи поділиться на 17 натуральне число вигляду 10n + m?

так, завжди поділиться;
таких чисел існує декілька;
це неможливо;
всі попередні пункти хибні.

12. Чи можна серед натуральних чисел вигляду (n+1)(n+2)(n+3)n знайти числа, які не діляться на 24?

всі наступні пункти хибні;
можна знайти такі числа;
не можна знайти такі числа;
таких чисел існує декілька.

ЧАСТИНА ДРУГА

Записати повне розв’язання задач і записати відповідь.

1. З Києва до Чернігова можна дістатися пароплавом, поїздом, автобусом, літаком; з Чернігова до Новгород–Сіверська – пароплавом і автобусом. Cкількома способами можна здійснити подорож за маршрутом Київ – Чернігів – Новгород–Сіверськ?

2. Скільки є п'ятицифрових чисел, які діляться націло на 5?

3. А) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 1?

Б) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 0?

В) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 2m -1?

Г) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 2m?

4. Проста шашка знаходиться в крайньому нижньому лівому полі шахової дошки. Скількома різними способами вона може пройти в дамки? Способи вважаються різними, якщо вони відміняються один від одного хоча б одним ходом.

5. Складіть арифметичні вирази, кожний з яких дорівнює парній цифрі, якщо ці вирази утворюються тільки з однакових непарних цифр та будь-яких арифметичних дій.

6. Є 6 монет, з яких дві, – фальшиві, такі, що важать менше за справжню. Як при трьох зважуваннях визначити обидві фальшиві монети.

Відповіді до задач 3 туру

Перша частина

1. 1;

2. nm;

3. всі наступні пункти хибні;

4. не може;

5. n+1 дільників;

6. n + m = 11;

7. 5 та 1;

8. не можна;

9. добутку цих чисел;

10.

11.

12.

Друга частина

1. З Києва до Чернігова можна дістатися пароплавом, поїздом, автобусом, літаком; з Чернігова до Новгород-Сіверська – пароплавом і автобусом. Cкількома способами можна здійснити подорож за маршрутом Київ – Чернігів – Новгород-Сіверськ?

Розв’язання. Очевидно, число різних шляхів з Києва до Новгород-Сіверська дорівнює 4∙2 = 8, бо, обравши один з чотирьох можливих способів подорожі від Києва до Чернігова, маємо два можливих способи подорожування від Чернігова до Новгород-Сіверська.

2. Скільки є п'ятицифрових чисел, які діляться націло на 5?

Розв’язання. 99999:5 = 19999 (остача 4).

Відповідь: 19999.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 1?

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 0?

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 2m -1?

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 2m?

Відповідь: а) і в) можна, це будуть утворюватися непарні число від -45 до +45, наприклад 0 + 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + 9 = 1; б) і г)не можна це зробити.

Відповідь: На другу горизонталь шашка може перейти одним способом, на третю – двома, на четверту – трьома, на п’яту – шістьма, на шосту – дев’ятьма, на сьому горизонталь – двадцятьма способами, а пройти в дамки шашка може 35 способами.

5. Складіть арифметичні вирази, кожний з яких дорівнює парній цифрі, що утворюються тільки з однакових непарних цифр та будь-яких арифметичних дій.

Відповідь: 3 + 3/3 = 4, 5+5/5 = 6.

МАТЕМАТИЧНІ ШКІЛЬНІ ОЛІМПІАДИ.

субота, 12 липня 2014 р.

7 клас. І етап математичної олімпіади

Немає коментарів:

Дописати коментар

субота, 12 липня 2014 р.

7 клас. І етап математичної олімпіади

Немає коментарів:

Дописати коментар

субота, 12 липня 2014 р.