6 клас. І етап математичної олімпіади

Шкільна математична  олімпіада 2000 року

6 клас

1. У родині четверо дітей, їм 5, 8, 13 і 15 років, а звуть їх Таня, Юра, Світлана та Олена. Одна дівчинка ходить у дитячий садок, Таня старше, ніж Юра, а сума років Тані і Світлани ділиться на 3. З’ясувати, скільки років кожній дитині. Відповідь обґрунтувати.

Розв’язання. Оскільки у дитячий садок ходить дівчинка, те це точно не Юра, якому не менш 8, тому що Таня старше Юри, їй 13 або 15, а так як сума років Тані та Світлани ділиться на 3, те це тільки 13, адже 15 у сумі з будь-яким іншим віком не ділиться на три. Отже, Тані - 13 років. Оскільки Таня старше Юри, а йому не менш 8, то Юрі 8 років. Тепер, сума віків Тані та Світлани ділиться на три, Тані 13, а Світлані 5 або 15, друге не підходить, а значить Світлані 5 років. Залишається Олена - їй 15 років.

Відповідь: Світлані 5 років, Юрі 8 років, Тані 13 років, Олені 15 років.

2. На мапі кожна з чотирьох країн має форму трикутника. Як можуть бути розташовані ці країни, якщо в кожної з них є спільний кордон з трьома іншими? Зробити малюнок.

Відповідь: один з можливих розв’язків зображений на рисунку.

3. Квадрат деякого натурального числа записується цифрами 0, 2, 3, 5 (кожна цифра входить до запису квадрата числа тільки один раз). Знайти це число.

Розв’язання: Квадрат жодного натурального числа не закінчується цифрами 2 і 3. Одним нулем квадрат числа теж закінчуватися не може. Отже, дане число закінчується цифрою 5. Квадрати чисел, запис яких  закінчується цифрою 5, мають в записі дві останні цифри 25. Нулем число починатися не може, отже перша цифра 3. Тоді друга – нуль. Дане число – 3025=55²   .

Відповідь: 3025.

4. Михайлик і Віталій купили по одній коробці чаю у пакетиках. Відомо, що одного пакетика вистачає на дві або три чашки чаю. Михайликові коробки вистачило тільки на 41 чашку, а Віталію – на 58. Скільки пакетиків було в коробці? Відповідь обґрунтувати.

Розв’язання. Михайлик не міг використати більше ніж 20 пакетиків чаю, бо інакше він випив би не менше 21*2 =42  чашок. Віталій не міг використати менше ніж 20 пакетиків чаю, бо інакше він випив би не більше  19*3 = 57 чашок. Таким чином, у коробці 20 пакетиків чаю. Розв’язання було б не повним, якби ми не вказали спосіб випити 41 і 58 чашок чаю, виходячи із 20 пакетиків. Так, Михайлик 19 разів заварив пакетик на 2 чашки чаю і 1 раз – на 3. Віталій 18 разів заварив пакетик на 3 чашки і двічі – на 2.

Відповідь: 20 пакетиків.

Шкільна математична олімпіада 2002 року

6 клас

1. У класі 25 учнів. Відомо, що серед довільних трьох учнів є двоє друзів. Доведіть, що є учень, у якого не менше ніж 12 друзів.
Вказівка. Припустимо, що немає  учня, у якого рівно 12 друзів. Тоді, розподілимо усіх учнів по кімнатам. У кімнату під номером 0 помістимо учнів, у яких немає друзів. У кімнату під номером 1 помістимо учнів, у яких тільки один друг У кімнату під номером 2 помістимо учнів, у яких тільки двоє друзів. І так далі, у кімнату під номером 11 помістимо учнів, у яких тільки 11 друзів. Якщо у кожній кімнаті по два чоловіки, то усіх учнів у класі 24, це протиріччя вказує на неправильне припущення.
 2. Якби Колі купив три зошити, то в нього залишилося б 11 коп., а коли б він захотів купити 9 таких зошитів, то йому не вистачило 7 коп. Скільки грошей у Колі?
Відповідь. 7+11=18 коп припадає на 9-3=6 зошитів. Отже, один зошит коштує 18:6=3 коп.  3∙3+11=20 коп було у Колі.
3. Олег, Борис і Віктор вирішили за прикладом Куклачова приступити до дресирування своїх кошенят. Борине кошеня стрибало через палицю краще, ніж кошеня сіамської породи. Персидське кошеня стрибало краще ніж Мурзик. Вітине кошеня стрибало краще, ніж Пушок, а Тигрик стрибав не гірше, ніж персидське кошеня. Але сибірському кошеняті надоїло дресирування, і воно подряпало свого господаря. Кого подряпало сибірське кошеня?
Відповідь. Віктор мав сибірського кота Тигрика. Борис мав персидського кота Пушка, Олег мав сіамського кота Мурзика.
4. Для   номерації  сторінок   підручника   використали   312 цифр. Скільки сторінок в цій книжці? Скільки цифр потрібно для нумерації сторінок книжки, яка має 160 сторінок?
Відповідь.  9 цифр для нумерація перших дев'яти сторінок, для 90 двоцифрових номерів сторінок потрібно 180 цифр. 312 -189 = 41∙3, отже у книзі 140 сторінок. Для нумерації 160 сторінок потрібно 9+2∙90+3∙61=372 цифри.
5. Пофарбований куб із стороною 12 см розрізали на кубики із стороною 2 см. Скільки кубиків мають пофарбовані 3 грані, скільки - 2 і у скількох лише одна грань пофарбована? Скільки кубиків зовсім непофарбованих?
Відповідь: 3 грані пофарбовані  у 8 кубиків, 2 грані пофарбовані у 48 кубиків, одна грань пофарбована у 96 кубиків, 0 граней пофарбовано у 64 кубиків.

Шкільна математична олімпіада 2003 року

6 клас

1. Дано числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Розташуйте їх по чотири на кожній стороні трикутника так, щоб суми на кожній стороні трикутника були рівними:  а) одному парному числу; б) одному непарному числу; в) трьом послідовним натуральним числам.

Відповіді: Починаючи з вершини за часовою стрілкою, числа розміщуються так:  а) 5; 3;  4; 8; 1; 9; 2; 6; 7( на кожній стороні по 20).   б)8;  5; 3; 7; 6;  1;  9;  4;  2; ( на кожній стороні по 23)   в) 8; 3; 5; 7; 6; 2; 9; 1; 4(це числа 22,23,24).  

2. Поставте між числами довільні арифметичні дії(без повторень знаків дій)  так, щоб виконувалась рівність:        6    3    3 = 6  3   3.

Відповіді: Враховуючи перестановку лівої та правої частин рівності, отримаємо: 63:3 = 6∙3+3;   63 = 6∙3:3;   6∙3:3 = 6-3+3;   6:3∙3 = 63;  6-3+3 = 6∙3:3; 6∙3+3 = 63:3.   

3. Дід сам випиває діжечку квасу за 14 днів, а разом з бабою випиває таку ж діжечку квасу за 10 днів. За скільки днів одна баба вип'є таку ж діжечку квасу?

Відповідь. За 70 днів один дід вип'є 70:14=5 діжечок квасу, а  дід і баба  разом вип'ють 70:10=7 діжечок квасу.  Отже, одна баба за 70 днів вип'є 7-5=2 діжечки квасу. А одну діжечку квасу баба вип'є за 70:2=35 днів.

4. Якими способами можна видати зі складу 185 кг фарби, за допомогою лише відер вагою 16 кг, 17 кг, 21 кг? Запиши усі можливі розв'язки.

Відповідь: 1 спосіб: 8 відер по 21кг  та 1 відер по 17 кг.

2 спосіб: 2 відра по 16 кг та 9 відер по 17 кг.

3 спосіб: 1 відро по 16 кг, 5 відер по 17 кг та 4 відра по 21 кг.

4 спосіб: 5 відер по 16 кг та 5 відер по 21 кг.

5 спосіб: 6 відер по 16 кг,  4 відра по 17 кг та 1 відро по 21 кг.

5. У два бідона вміститься десять з половиною літрів води. Якщо б об'єм першого бідона був у два рази більше, а об'єм другого бідона на 8 л більше, ніж в дійсності, то загальний об'єм подвоївся б. Який об'єм кожного бідона?

Відповідь:  х+8+ 2∙у = 2∙10,5. Або х+х + у+у = 21. Звідси, другий бідон має 8 літрів, а другий 2,5 літри.

6. Дано 7 монет. Дві з них фальшиві(легші, ніж справжні). За два зважування на терезах без гир вказати три справжні монети.

Відповідь. Перенумерувати монети від одного до семи. На одну шальку (назвемо її А) терезів покласти монети з номерами 1,2,3, а на другу шальку терезів(назвемо її Б)  покласти монети з номерами 4,5,6. Отримаємо два випадки: або рівновагу, або тяжчу чашечку терезів(на ній усі справжні монети). У випадку рівноваги двох шальок, монета під номером 7 - справжня, то за одне зважування монет  під номером 1 та 2 легко вияснити дві дійсні монети. Якщо вага монети 1 рівна вазі монети 2, то це дійсні монети. У випадку не рівноваги монет 1 та 2, тяжча монета та монета 3 і 7 є справжніми. 

7. Чи можна видати за допомогою тринадцяти грошей номіналом  25; 5; 1 гривень суму 198 гривень?

Відповідь: Тринадцять будь-яких непарних доданків у сумі дають тільки непарні числа, отже, тринадцять непарних чисел не можуть дати у сумі  парне чило. Не можна.

8. Є круглий торт. На цьому торту зробили по колу шість крапок з крему на однаковій відстані по краях. Тільки через ці крапки провели усі можливі прямі лінії. На скільки шматочків розділилася поверхня торта?

Відповідь: 30 шматків.

 9. На конгресі зустрілися біолог, історик, математик і хімік. Кожний із них володів двома іноземними мовами з числа таких: англійська, італійська, німецька, російська. При цьому не було такої мови, якою б володіли всі, але була одна, якою володіли троє. Ніхто не знав німецьку і російську мови одночасно. Хоча хімік і не розмовляє англійською, він може бути перекладачем, якщо захочуть поговорити біолог та історик. Історик знає російську мову і може поговорити з математиком, хоч той і не знає російської мови. Хімік, біолог і математик можуть розмовляти втрьох однією мовою. Якими мовами володіє кожний із вчених?

Відповідь:  хімік знає російську і італійську, історик знає англі  йську та російську, біолог знає німецьку, італійську, математик знає англійську та італійську.

 10. Велосипедист проїжджає 1 км за вітром за 3 хв, а проти вітру - за 5 хв. За скільки хвилин він проїде 1 км, коли не буде вітру?

Відповідь: 1/3 км за хвилину швидкість руху за вітром, 1/5 км швидкість руху проти вітру. Тоді різниця цих швидкостей є подвоєнною швидкістю вітру, тобто 1/3  - 1/5  = 2/15 км за хвилин, а швидкість вітру становить 1/15 км за хвилину.  Різниця швидкості велосипедиста за вітром та швидкості самого вітру це 1/3  -1/15  = 4/15 км за хвилини власна швидкість. Обернений дріб до 4/15 означає час руху велосипедиста, за який він подолає 1 км. Це дріб 15/4 = 3 хвилини 45 секунд.

 11. Скільки разів і коли саме за такий проміжок часу від 0 до 12 год хвилинна стрілка співпаде із годинною?

  Відповідь: 11 разів.

Шкільна математична олімпіада 2004 р.

 6 клас

1. Hа затонулій каравелі XIV століття було знайдено шість мішків із золотими монетами. По-перше чотирьох мішках опинилося по 60, 30, 20 і 15 золотих монет. Коли підрахували монети в тих, що залишилися два, хтось відмітив, що число монет в мішках складає якусь послідовність. Прийнявши це до уваги, змогли б ви сказати, скільки монет в п'ятому і шостому мішках?

 Відповідь: 12 та 10.

2.   Уважно розгляньте наведені числа:

  4   5    6   7     8   9

61  52  63  94  46  ?

Яке число повинне стояти замість знаку питання? Будь ласка поясніть, за яким принципом розташовані числа в нижньому ряду.

Відповідь: 18, бо 9² = 81.

3. Записано першу тисячу натуральних  чисел. Яку цифру використано частіше від інших?

Відповідь: 1

4.  З літопису відомо, що зимою 401 року замерзло Чорне море. Це трапилося знову через 610 років, а після цього повторилося ще через 609 років. У які роки відбулися ці незвичайні явища природи і скільки часу минуло від останнього з них до на­ших днів?

Відповідь: 1011 та 1620.

5. Скільки тризначних чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо кожну з цих цифр можна використовувати не більше одного разу?

Відповідь: 3∙4∙5

 6. В одній клітинці квадратної таблиці 8x8 стоїть знак мінус, а в інших стоять плюси. Дозволяється за один хід у яко­мусь з квадратів 2x2 змінювати знаки на протилежні. Довести, що за допомогою таких ходів не можна отримати таблицю з одних плюсів.

Доведення. При заміні знаків у квадраті 2x2 на протилежні, кількість мінусів може змінитись лише на 2 або на 4, тобто в усій таб­лиці кількість мінусів зберігає свою парність, а тому змінитись з 1 на 0 не може. 7. На кожному з 44 дерев, що розміщені по колу, сидить один горобець. Час від часу якісь два горобці перелітають на сусіднє дерево - один за ходом годинникової стрілки, а другий - проти. Чи можуть усі горобці зібратись на одному дереві?

Розв'язання. Пронумеруємо дерева по колу з 1 по 44. Сума номе­рів дерев, на яких сидять горобці, при їх перелітанні або не змінюєть­ся, або змінюється на 44, тобто остача від ділення цієї суми на 44 не змінюється. Спочатку ця остача була 22, а якщо всі горобці сядуть на одне дерево, ця остача стане рівною нулю. Отже, горобці не можуть зібратись на одному дереві.

Відповідь: ні.

Шкільна математична олімпіада 2006 р

6 клас

1. Довести, що бісектриси трикутника не можуть перетинатися під прямим кутом.

Доведення.

Якщо припустити, що бісектриси перетинаються під прямим кутом, тоді маємо таке протиріччя. Сума половинок двох кутів трикутника рівна прямому куту, тоді сума двох цілих цих кутів рівна двом прямим кутам, тобто 180 градусів. Але у будь-якого трикутника сума усіх трьох кутів рівна 180 градусів.

2. Повна діжечка квасу має вагу 34 кг,  а наповнена на половину має вагу 17,75 кг. Яка вага порожньої діжки?

Розв’язання.

17,75∙2 -34 = 1,5 кг

3. Чи може добуток  тринадцяти натуральних чисел дорівнювати сумі цих чисел?

Розв’язання

Наприклад, 4∙5∙1∙1….∙1 = 4+5+1+1+….+1.

4. Кондуктор пасажирського поїзда, швидкість якого 50 км/год, помітив, що зустрічний товарний поїзд, який йде зі швидкістю 40 км/год  пройшов повз нього за 10 сек. Визначити довжину товарного поїзда.

Розв’язання.

40+50 = 90 (км/год)  швидкість зближення поїздів

90 000:3600 = 25 (м/с) швидкість зближення поїздів

25∙10 = 250 (м)  довжина товарного поїзда.

5. Пасажирський поїзд долає відстань між Львовом і Києвом за 10 год, а товарний цю відстань долає за 15 год. Через який час ці поїзди зустрінуться.

Розв’язання.

Вся відстань це одне ціле. Тоді (1/10)+(1/15) =(1/6) – це швидкість зближення двох поїздів. Отже за 6 годин поїзди зустрінуться.

6. Дід і баба разом випивають діжечку квасу за 10 діб, а  один дід таку ж діжечку квасу випиває за 15 діб. За скільки діб вип’є таку  ж діжечку квасу тільки баба?

Розв’язання.

За НСК(10;15) = 30 діб обоє разом вип’ють 3 діжки, а один дід вип’є 2 діжки, отже баба за 30 діб вип’є одну, 3-2=1.

7. Дівчинка наклеює в альбом картинки. Якщо вона на кожну сторінку наклеїть по 4 картинки, то в альбомі не вистачить місця для 20 картинок, коли ж вона на кожну сторінку наклеїть по 6 картинок, то в альбомі залишиться 5 сторінок вільними. Скільки було у дівчинки картинок і скільки сторінок в альбомі?

Розв’язання.

20:4 = 5,  6∙5 = 30,  20+30 = 50,  6-4 = 2,  50:2 = 25 сторінок в альбомі. 4∙25+20=120 картинок.

8. Є 70 монет по 20 коп  і по 15 коп. на однакові суми. Скільки є монет кожної вартості окремо?

Розв’язання.

Цю задачу можна розв'язувати кількома способами.

 1-й спосіб.   Спосіб спроб. Нехай монет кожної вартості буде по 35 коп. Тоді їх сума становитиме (20 • 35 = 700) 700 коп. і (15 ∙35 = 525) 525 коп. Різниця між сумами становитиме (700–525 = 175) 175 коп. Замінивши одну 20-копійкову монету 15-копійковою, мати­мемо 34 монети по 20 коп., на суму 680 коп. і 36 монет по 15 коп. на суму 140) коп., причому різниця між сумами становитиме (680–540= 140) 140 коп. При заміні 20-копійкової монети 15-копійковою ми змен­шимо різницю на (175 – 140 = 35) 35 коп. Оскільки початкова різ­ниця становила 175 коп., то таку заміну слід виконати (175 : 35 = 5) 5 раз, тобто, монет по 20 коп. залишиться 35 – 5 = 30, а по 15 коп. буде 35+ 5= 40.

2-й спосіб. Він грунтується на способі спроб. Виходимо з припущення, що всі 70 монет вартістю по 15 коп. Тоді загальна сума грошей становитиме (15∙70= 1050) 1050 коп. При заміні 15-копій­кової монети 20-копійковою різниця сум монет кожної вартості ста­новитиме (20 + 15 = 35) 35 коп., тому що одна сума зменшилась на 15 коп., а друга збільшилась на 20 коп., що дає 35 коп. Але монет кож­ної вартості має бути на ту саму суму, тому заміну 15-копійкових монет 20-копійковими слід виконати (1050 : 35 = 30) 30 раз. Монет по 20 коп. було 30 шт., а монет по 15 коп. було (70–30 = 40) 40 шт. Для більшої наочності можна запис оформити таблицею.

3-й спосіб.   Виходимо з припущення, що всі 70 монет були вартістю по 20 коп.  кожна. Розв'язування і міркування аналогічні до тільки що наведених.

Шкільна математична олімпіада  6 клас 2007 рік

1. Двоцифрове число в сумі з числом, яке записано тими самими цифрами, але в зворотному порядку, дає квадрат натурального числа. Знайдіть усі такі двоцифрові числа.

2. У шафі стоять книжки, які треба упакувати. Коли їх зв'язати в пачки по 4, по 5 чи по 6, то щоразу залишається одна зайва, а коли зв'язати по 7 книжок у пачку, то зайвих книжок не залишиться. Скільки книжок у шафі, коли відомо, що в ній їх не більш як 400?

3. Є аркуш паперу. Його розрізують на 4 частини, потім деякі (або всі) частини знову розрізують на 4 частини і т. д. Чому не можна при цьому дістати 50 частин аркуша?

4. Скільки є чотирицифрових чисел, заданих тільки: непарними цифрами?

5. П’ять семикласників стали в шеренгу і тримають 37 прапорців. У всіх справа від Тані – 14 прапорців, справа від Яші – 32 прапорця, справа від Віри 20, справа від Максима – 8. Скільки прапорців у Даші?

6. В кафе зустрілися троє друзів; скульптор Білий, скрипаль Чорний і художник Рудий. "Чудово, що один із нас блондин, інший – брюнет, а третій – рудий, і при цьому у жодного з нас колір не від­повідає прізвищу", – зауважив чорноволосий. "Ти правий", – сказав Білий. Визначте колір волосся художника.

На виконання роботи виділяється 3 години.

Використання записників і калькулятора не дозволяється.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.  

Загальні критерії оцінювання завдань наведено в таблиці.

7	Повне правильне розв’язання
6-7	Повне правильне розв’язання. Є невеликі недоліки, які в цілому не впливають на розв’язання.
5-6	Розв’язання в цілому вірне. Однак воно містить ряд помилок, або не                        розглянуті окремі випадки, але може стати правильним після невеликих                         виправлень або доповнень.
4	Правильно  розглянуто один з двох (більш складний) істотних випадків,                      або в задачі типу «оцінка-приклад» вірно отримана оцінка.
2-3	Доведені допоміжні твердження, що допомагають у розв’язанні задачі.
0-1	Розглянуто окремі важливі випадки за відсутності розв’язання (або при                       помилковому розв’язанні).
0	Розв’язання неправильне, просування відсутні. Розв’язання відсутнє.

 Не можна зменшувати кількість балів за те, що розв’язання занадто довге. Виправлення в роботі (закреслення раніше написаного тексту) також не є підставою для зняття балів. У той же час будь-як завгодно довгий текст розв’язання, що не містить корисних просувань, повинен бути оцінений в 0 балів.

Шкільна математична олімпіада 6  клас

1 тур(2 години)

Частина перша

Вказати тільки одну правильну відповідь.

1. Квиток у кінотеатр коштує 11 грн, диск улюбленої групи- 20 грн, чіпси - 3,5 грн, проїзд на маршрутному таксі - 0,75 грн. Антон має 32 грн. Скільки з наведених тверджень не є пра­вильними? 1) Антонові не вистачить грошей на диск, кіно і чіпси. 2)Після купівлі диска і відвідування кіноте­атру в Антона залишаться гроші на проїзд у мар­шрутному таксі. 3)Поїздка в маршрутному таксі і купівля чіпсів не дозволять Антонові придбати два квитки в кінотеатр.

всі наступні пункти хибні;
усі не вірні;
усі вірні;
2 правильних і 1 неправильне.

Конец формы

2. Токарі Василь, Микола, Петро, Сергій повинні за два дні виготовити 42,18,24,37 деталей відповідно. Двоє з них виконали завдан­ня в перший день, третій хворів перший день, він усе своє завдання виконав за другий день, а четвертий обидва дні хворів, але загальне зав­дання двох днів було виконано повністю. Хто з токарів хворів, якщо токарі, які працювали у перший день, другого дня зробили стільки, скільки й першого?

Начало формы

хворів Микола;
хворів Василь;
хворів Сергій;
всі попередні пункти хибні.

Конец формы

3. Батьки маленького Сергійка мають вико­нати три види домашньої роботи: 1)почистити килими (на це потрібно 40 хв, вони мають 1 пилосос); 2)підрізати дерева в саду (на це потрібно 40 хв, у них є одні ножиці); 3)нагодувати й заколисати Сергійка (на це потрібно 40 хв). Кожну з цих робіт може виконувати кожен з батьків. Як розподілити цю роботу між батька­ми, щоб закінчити її в найкоротший час?

Начало формы

60 хв.;
50 хв.;
40 хв;
всі попередні пункти хибні.

Конец формы

4. Лічильник автомобіля показував 23 932 км. Через 3 год на лічильнику знову з'явилося число, що однаково читається з обох кінців. З якою швидкістю їхав автомобіль? Швидкість вира­жається цілим числом.

Начало формы

65 км/год;
60 км/год;
70 км/год;
всі попередні пункти не вірні.

Конец формы

5. 15 кульок можна скласти у вигляді три­кутника, але не можна у вигляді квадрата - однієї кулі не вистачає. З якої кількості кульок, мен­шої від 50, можна скласти як трикутник, так і квадрат?

Начало формы

з 25 кульок;
з 49 кульок;
з 36 кульок;
всі попередні пункти не вірні.

Конец формы

6. Дати часто записують так: число, місяць, дві останні цифри року, наприклад, 9.5.05 – де­в'ятого травня 1905 р. Скільки разів протягом XX століття дату можна було записати, викори­стовуючи тільки одну цифру?

Начало формы

12;
14;
13;
всі попередні пункти не вірні.

Конец формы

7. Учні вирішили поїхати в цирк на автобусі. Замовлення автобуса коштує 100 грн, а квиток у цирк на одного – 5 грн. Вирішили, що кожен учень внесе по 8 грн. Яка найменша кількість учасників має взяти участь у поїздці, щоб мож­на було покрити усі витрати?

Начало формы

34 учні;
32 учні;
33 учні;
всі попередні пункти не вірні.

Конец формы

8. Батьки придбали люстру з 15 лампочками і хочуть мати можливість вмикати будь-яку кількість із них від 1 до 15 – одну, чи дві, чи три, чи .... Яка найменша кількість звичайних вимикачів знадобиться для цього?

Начало формы

6 лампочок;
8 лампочок;
7 лампочок.;
всі попередні пункти хибні.

Конец формы

9. Скількома способами шість шахістів, серед яких є два майстри спорту, можуть об'єднатися у дві команди по 3 спортсмени в кожній для одночасної гри в двох містах так, щоб у кожній команді був майстер спорту?

Начало формы

15;
13;
12;
всі попередні пункти хибні.

Конец формы

10. У супермаркеті два ескалатори: один піднімає клієнтів вгору, другий спускає їх униз. Одна особа біжить по ескалатору, що їде вгору, і в результаті піднімається зі швидкістю 2,5 м/с. Друга особа з тією самою швидкістю біжить угору по ескалатору, що спускається вниз, і в резуль­таті піднімається вгору зі швидкістю 0,5 м/с. З якою швидкістю рухаються ескалатори, якщо ці швидкості однакові?

Начало формы

0,9;
1,2;
0,25;
1.

Конец формы

11. Учаснику олімпіади відразу нараховуєть­ся 100 балів. За кожну правильно розв'язану задачу набрана до цього моменту кількість балів збільшується на 10 %, а за неправильно розв'я­зану задачу — зменшується на 10 %. Після розв'язання кількох задач в учасника олімпіади ви­явилося 80,19 бала. Скільки при цьому задач він розв'язав правильно?

Начало формы

1;
2;
3;
всі попередні пункти хибні.

Конец формы

12. У класі 30 учнів. Вони здавали залік з математики по черзі. Перший одержав 10 балів, другий — 8 балів, а кожен наступний одержав кількість балів, яка дорівнює середньому арифметичному кількостей всіх балів, отриманих попередніми учнями. Яку оцінку одержав останній учень?

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
12;
9;
10.

ЧАСТИНА ДРУГА

Записати повне розв’язання задач  і записати відповідь.

1. Шість однакових діжок вміщують 28 відер води. Скільки відер води можуть вмістити таких 15 діжок?

2. Дмитро і Максим грають у таку гру. За свій хід гравець повинен за декілька пострілів і попасти в деякі області мішені(див. рис.), так щоб сума вибитих очок

16	17	18	24	39	40

дорівнювала 80, при цьому 80 очок треба вибити іншим способом. Виграє той, хто останнім виб’є потрібну суму очок. Хто з гравців забезпечить собі перемогу, якщо гру розпочинає Дмитро? Детально обґрунтуйте відповідь.

3. Запиши сотню дев’ятьма різними числами від 1 до 9, які записані у порядку зростання та з’єднані знаками арифметичних дій.  Скількома способами число 100 можна так записати? 

4. Поясни, чому 9999¹⁰ більше, ніж  99²⁰?

5. Є двоє пісочних годинників: на 7 хвилин і на 11 хвилин. Куряче яйце вариться 15 хвилин. Як відміряти цей час за допомогою наявних годинників?

6. За один хід число, написане на дошці, дозволяється або замінити на подвоєне, або стерти в нього останню цифру. Спочатку на дошці написано число 458. Як за декілька ходів отримати число 14?

Відповіді до задач першого туру

Перша частина.

1. 2 правильних і 1 неправильне;

2. хворів Василь;

3. 60 хв.;

4. 70 км/год;

5. з 36 кульок;

6. 13;

7. 34 учні;

8. 8 лампочок;

9. 12;

10. 1;

11. 1;

12. 9.

Друга частина.

1.     Розв’язання. 28:2=14 відер вміщують три діжки(6:2=3).

                       14·5=70 відер води вміщують 15 діжок(3·5=15).

Відповідь: 70 діжок.

2.Розв’язання. Всього п’ять різних способів за один хід набрати рівно 80 очок.

Ось вони: 16*5=80,

                 40*2=80,

                 23+17+40=80,

                 16+24+40=80,

                 2*24+2*16=80.

Таким чином,  забезпечить собі перемогу починаючий, так як він робить п’ятий  непарний хід. А це за умовою задачі Дмитро.

3.Розв’язання.

1.     1+2+3+4+5+6+7+8*9=100;

2.     12-3-4+5-6+7+89=100;

3.     123+45-67+8-9=100;

4.     123-4-5-6-7+8- 9=100;

5.     123-45-67+89=100;

6.     123+4-5+67-89=100;

7.     12+3-4+5+67+8+9=100; … і так далі.

     4. Розв’язання. 

         9999¹⁰  = [99 (100+1)] ¹⁰  = 99¹⁰ 101 ¹⁰ > 99¹⁰ 99¹⁰  =  99²⁰?

Шкільна математична олімпіада 6 -7 класи

2 тур(2 години)

ЧАСТИНА ПЕРША

Вказати тільки одну правильну відповідь.

1. Для яких натуральних чисел n число вигляду n*n - 5 ділиться на число вигляду n - 5?

всі наступні пункти хибні;
1, 50, 100, 200;
1, 15, 30, 45;
1, 5, 10, 25; .

Конец формы

2. Якщо натуральне число непарне, тоді добуток усіх його цифр є число, яке ділиться на усі цифри цього числа.

Начало формы

Всі наступні пункти не вірні;
Це твердження правильне не завжди;
Це твердження правильне завжди;
Це твердження правильне, якщо число має цифру нуль.

Конец формы

3. Якщо натуральне число складається з парної кількості непарних цифр, тоді сума цифр числа це непарне число.

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
це твердження правильне завжди;
це твердження правильне не завжди;
це твердження правильне, якщо число має цифру нуль.

Конец формы

4. Якщо число 5555 піднести до степеня 2222, тоді остача від ділення отриманого числа на 7 дорівнює:.

Начало формы

0;
1;
2;
4.

Конец формы

5. Якщо натуральне число парне, тоді його можна записати, як суму непарних чисел.

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
це твердження неправильне;
це твердження правильне завжди;
всі попередні пункти вірні.

Конец формы

6. Якщо натуральне число непарне, тоді його можна записати, як добуток двох непарних чисел.

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
це твердження неправильне;
це твердження правильне завжди;
всі попередні пункти вірні.

Конец формы

7. Якщо натуральне число непарне, тоді його можна записати, як суму парного і непарного натуральних чисел.

Начало формы

Це твердження правильне не завжди;
це твердження неправильне;
це твердження правильне завжди;
це твердження правильне тільки для двоцифрових чисел;
всі пункти вірні.

Конец формы

8.Якщо натуральне число закінчується на цифру 7, тоді сота степінь цього числа закінчується на цифру:

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
1;
7;
9.

Конец формы

9.Чи завжди будь-яке парне натуральне число можна записати, як суму простих чисел.

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
це можна зробити тільки для всіх двоцифрових парних чисел;
це можна зробити не для всіх парних чисел;
всі попередні пункти хибні.

Конец формы

10. Якщо натуральне число має непарну кількість дільників, тоді дане число можна записати як квадрат деякого натурального числа.

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
таких чисел існує декілька;
це неправильно;
це правильно.

Конец формы

11.Знайти найменше натуральне число, яке має тільки десять дільників.

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
96;
92;
91.

Конец формы

12.Якщо різниця будь-яких сусідніх цифр шестицифрового натурального числа рівна одиниці, то добуток цифр ділиться на 8.

Начало формы

це вірно в окремих випадках;
це не вірно;
це вірно;
всі попередні пункти хибні.

ЧАСТИНА ДРУГА

Записати повне розв’язання задач  і записати відповідь.

1. Знайдіть всі трицифрові  числа, які в результаті викреслювання середньої

цифри зменшуються в 7 разів.

2. У квадраті 3х3 клітинки верхня ліва вершина позначена літерою А. Скільки можна побудувати трикутників, одною з вершин яких є точка А, а дві інші вершини – будь-які вершини квадратиків 1х1 даного квадрата?

3.  Поставте дужки у виразах:    7∙9 + 12:3-2 = 23,    7∙9 + 12:3-2=75.

4. Поставте плюси та мінуси у лівій частині виразу:  1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100. Скільки існує способів  утворення правильної рівності?

5. Скількома способами можна поділити 50 грн. між Петриком та Павликом так, щоб кожен хоча б один з них отримав парну кількість гривен?

6. Чи можна розміняти 25 карбованців за допомогою десяти купюр вартістю 1, 3 та 5 карбованців? Обгрунтувати відповідь.

7.Є 9 монет, одна з яких фальшива (вона легше, ніж справжня монета). Як за два зважування визначити фальшиву монету?

Відповіді до задач 2 туру

Перша частина

1. 1, 5, 10, 25;

2. Це твердження правильне не завжди;

3. Всі наступні пункти хибні;

4. 2;

5. Це твердження правильне завжди;

6. Це твердження правильне завжди;

7. Це твердження правильне не завжди;

8. 1;

9. Це можна зробити не для всіх парних чисел;

10. Це правильно.

11. Всі наступні пункти хибні;

12. Це вірно.

Друга частина

1. Знайдіть всі трицифрові  числа, які в результаті викреслювання середньої цифри зменшуються в 7 разів.

Відповідь: 105. Розв'язання. Нехай шукане число має вигляд abc =100a + 10b + c. Тоді згідно умови задачі отримуємо: 100a + 10b + c = 7(10a + c).

Звідси

30a + 10b = 6c.

Цю рівність поділимо на 2.

15a + 5b = 3c.   

5(3a + b) = 3c.

З останньої рівності випливає, що с ділиться націло на 5.

Розглянемо два випадки:

1) с = 0. Тоді 15a + 5b = 0. Оскільки a і b є цифрами числа, то рівність може виконуватись тільки в тому разі, коли a = b = 0. Проте утворити трицифрове число з трьох цифр, які всі дорівнюють 0, неможливо.

2) с = 5. Тоді 15a + 5b = 15. Звідси 3a + b = 3. Оскільки a як перша цифра трицифрового числа не може бути нулем, то 3a ³ 3. З цього можна зробити висновок, що b = 0, a = 1.

 2. У квадраті 3х3 клітинки верхня ліва вершина позначена літерою А. Скільки можна побудувати трикутників, одною з вершин яких є точка А, а дві інші вершини – будь-які вершини квадратиків 1х1 даного квадрата?

Відповідь: 25 трикутників.

 3.  Поставте дужки у виразах:    7∙9 + 12:3-2 = 23,    7∙9 + 12:3-2=75.

Розв'язання. (7∙9 + 12):(3-2)=75,    (7∙9 + 12):3-2=23.

4. Поставте плюси та мінуси у виразі:  1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100.

Розв'язання.

1.  12-3-4+5-6+7+89=100;
2. 123+45-67+8-9=100;
3. 123-4-5-6-7+8- 9=100;
4. 123-45-67+89=100;
5. 123+4-5+67-89=100;
6.  12+3-4+5+67+8+9=100.

Відповідь: 6 способів.

5. Скількома способами можна поділити 50 грн. між Петриком та Павликом так, щоб кожен хоча б один з них отримав парну кількість гривен?

Розв'язання.

50 = 0 + 50,

50 = 2 + 48,

50 = 4 + 46,

50 = 6 + 44,

50 = 8 + 42,

50 = 10 + 40, ...,

50 = 46 + 4,

50 = 48 + 2,

50 = 50 + 0.

Від 0 до 50 існує 26 парних чисел.

Відповідь: 26 способів.

6. Чи можна розміняти 25 карбованців за допомогою десяти купюр вартістю 1, 3 та 5 карбованців?

Розв'язання цієї задачі грунтується на простому спостереженні:   сума парної кількості непарних чисел є парною. Узагальнення цього факту виглядає так: парність суми кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків: якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною.

Відповідь: не можна.

Шкільна математична олімпіада 6 -7 класи

3 тур(2  години)

ЧАСТИНА ПЕРША

Вказати тільки одну правильну відповідь.

1. В розкладах на прості множники двох натуральних чисел n та m відсутні однакові числа. Який спільний дільник цих чисел?

всі наступні пункти хибні;
половина від n та m;
двічі по півтора n та m;
1.

Конец формы

2. В розкладах на прості множники двох натуральних чисел n та m відсутні однакові числа. Яке спільне кратне цих чисел?

Начало формы

усі прості множники цих чисел;
nm;
n+m;
всі попередні пункти хибні.

Конец формы

3. В розкладах на прості множники двох натуральних чисел n та m зустрічаються тільки числа в парних степенях. Чи являється добуток двох чисел квадратом натурального числа?

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
це куб натурального числа;
не являється квадратом;
це квадрати тільки простих чисел.

Конец формы

4. Чи може бути квадратом натурального числа сума квадратів двох непарних чисел?

Начало формы

всі наступні пункти хибні;;
іноді може;
не може;
це може тільки для 1 та 3.

Конец формы

5. Скільки натуральних дільників має натуральне числа, як отримане піднесенням деякого простого числа до степеня n?

Начало формы

n дільників;
n-1 дільників;
n+1 дільників;
всі попередні пункти не вірні.

Конец формы

6. Знайти суму цифр n та m, для яких сума чисел 10n+m i 10m+n являється точним квадратом.

Начало формы

n + m = 1;
n + m = 10;
n + m = 11;
всі попередні пункти не вірні.

Конец формы

7. Які остачі при діленні на 6 для простого числа, більшого ніж 5, можна отримати?

Начало формы

5 та 1;
6 та 1;
2 та 3;
всі попередні пункти не вірні.

Конец формы

8. Чи можна серед натуральних чисел вигляду n•n•n•n + 4 знайти просте число?

Начало формы

всі наступні пункти хибні;;
не можна;
в одному випадку це вірно;
існує безліч таких простих чисел.

Конец формы

9. Чому дорівнює найменше спільне кратне трьох послідовних простих чисел?

Начало формы

111;
сумі цих чисел;
добутку цих чисел;
всі попередні пункти хибні.

Конец формы

10. Відомо, що натуральне число вигляду n + 4m ділиться на 13. Чи поділиться на 13 натуральне число вигляду 10n + m?

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
таких чисел існує декілька;
це неможливо;
так, завжди поділиться.

Конец формы

11. Відомо, що натуральне число вигляду 3n + 2m ділиться на 17. Чи поділиться на 17 натуральне число вигляду 10n + m?

Начало формы

так, завжди поділиться;
таких чисел існує декілька;
це неможливо;
всі попередні пункти хибні.

Конец формы

12. Чи можна серед натуральних чисел вигляду (n+1)(n+2)(n+3)n знайти числа, які не діляться на 24?

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
можна знайти такі числа;
не можна знайти такі числа;
таких чисел існує декілька.

ЧАСТИНА ДРУГА

Записати повне розв’язання задач  і записати відповідь.

1. З Києва до Чернігова можна дістатися пароплавом, поїздом, автобусом, літаком; з Чернігова до Новгород–Сіверська  – пароплавом і автобусом. Cкількома способами можна здійснити подорож за маршрутом Київ – Чернігів – Новгород–Сіверськ?

2. Скільки є п'ятицифрових чисел, які діляться націло на 5?

3.    А) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 1?

Б) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 0?

В) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 2m -1?

Г) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 2m?

4.    Проста шашка знаходиться в крайньому нижньому лівому полі шахової дошки. Скількома різними способами вона може  пройти в дамки? Способи вважаються різними, якщо вони відміняються один від одного хоча б одним ходом.

5.    Складіть арифметичні вирази, кожний з яких  дорівнює парній цифрі, якщо ці вирази утворюються тільки з однакових непарних цифр та будь-яких арифметичних дій.

6.    Є 6 монет, з яких дві, – фальшиві, такі, що важать менше за справжню. Як при трьох зважуваннях визначити обидві фальшиві монети.

Відповіді до задач 3 туру

Перша частина

1. 1;

2. nm;

3. всі наступні пункти хибні;

4. не може;

5. n+1 дільників;

6. n + m = 11;

7. 5 та 1;

8. не можна;

9. добутку  цих чисел;

10.

11.

12.

Друга частина

1. З Києва до Чернігова можна дістатися пароплавом, поїздом, автобусом, літаком; з Чернігова до Новгород-Сіверська – пароплавом і автобусом. Cкількома способами можна здійснити подорож за маршрутом Київ – Чернігів – Новгород-Сіверськ?

   Розв’язання. Очевидно, число різних шляхів з Києва до Новгород-Сіверська дорівнює 4∙2 = 8, бо, обравши один з чотирьох можливих способів подорожі від Києва до Чернігова, маємо два можливих способи подорожування від Чернігова до Новгород-Сіверська.

2. Скільки є п'ятицифрових чисел, які діляться націло на 5?

Розв’язання. 99999:5 = 19999 (остача 4).

Відповідь: 19999.

3.    А) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 1?

Б) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 0?

В) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 2m -1?

Г) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 2m?

  Відповідь: а) і в) можна, це будуть утворюватися непарні число від -45 до +45, наприклад 0 + 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + 9 = 1; б) і г)не можна це зробити.

4.    Проста шашка знаходиться в крайньому нижньому лівому полі шахової дошки. Скількома різними способами вона може  пройти в дамки? Способи вважаються різними, якщо вони відміняються один від одного хоча б одним ходом.

 Відповідь: На другу горизонталь шашка може перейти одним способом, на третю – двома, на четверту – трьома, на п’яту – шістьма, на шосту – дев’ятьма, на сьому горизонталь – двадцятьма способами, а пройти в дамки шашка може 35 способами.

5.    Складіть арифметичні вирази, кожний з яких  дорівнює парній цифрі, що утворюються тільки з однакових непарних цифр та будь-яких арифметичних дій.

Відповідь: 3 + 3/3 = 4,    5+5/5 = 6.