Задачі на розфарбування прямої

Задачі на розфарбування прямої

Задача 1.  Пряму зафарбували у чорний та білий кольори.

Довести, що на цій прямій існують три однокольорові точки А₁, А₂, А₃ для яких виконується умова: А₁ А₂ = А₃ А₂.

Доведення: На прямій візьмемо дві однокольорові точки С1 та С2 , це завжди можна зробити. Точка С1 розташована лівіше точки С2. На  однаковій відстані  С1С2 відкладемо від цих двох точок вліво та вправо  такі відповідні точки В1  та В2, а третю точку В3  відкладемо в середині відрізка  С1С2.  Можливі випадки:

    А) В3 одного кольору з однокольоровими точками  С1 та С2;

    Б)  В3  неоднакового кольору з однокольоровими точками  С1 та С2;

У випадку а) точки  В3, С1 та С2 достатньо перейменувати  ці точки на

А1, А2, А3.

У випадку б) точки  В3, С1 та С2 достатньо розглянути такі випадки:

Б1) В3  та    В1  однокольорові, але відмінні від кольору точки    В2  ;

Б2) В1  та    В2  однокольорові, але відмінні від кольору точки    В3;

Б3) В3  та  В2,  В1  однокольорові;

У випадку Б1 точки  В2, С1 та С2 достатньо перейменувати  ці точки на

А1, А2, А3.

У випадку Б2 точки  В2, С1 та С2 достатньо перейменувати  ці точки на

А1, А2, А3.

У випадку Б3 точки  В2, В3 та В1 достатньо перейменувати  ці точки на

А1, А2, А3.

Задача 2.  Пряму зафарбували у чорний та білий кольори. На прямій існують три однокольорові точки А1, А2, А3 для яких виконується умова: А1 А2 = А3 А2.  Чи можна на цій прямій взяти ще три точки X,Y, Z  одного кольору, для  яких виконується умова: XY=XZ. 

Розв’язання:  Так, адже доведення задачі 1, не використовує масштабу та точку відліку. Тому місце положення  трьох точок X,Y, Z  одного кольору, для  яких виконується умова: XY=XZ,  можна вибирати довільно. 

Задача 3.  Пряму зафарбували у чорний, білий  та жовтий кольори. На прямій існують три точки А1, А2, А3, які відрізняються одна від одної трьома кольорами, для яких виконується умова: А1 А2 = А3 А2.  Чи можна на цій прямій взяти ще таких три точки X,Y, Z , які відрізняються одна від одної трьома кольорами, для  яких виконується умова: XY=XZ?. 

Розв’язання:  Не завжди. Адже пряму можна пофарбувати дискретно. Лише одну точку у чорний колір, а всі інші в білий та жовтий.

       

Задача 4. Пряма зафарбована у два кольори. Довести, що знайдуться 2 точки на відстані 1 м  різних кольорів або 2 точки одного кольору на відстані 2м.

Доведення: Якщо на зафарбованій у два кольори прямі побудувати три точки так, щоб точка що лежить між двома іншими. Можливі такі випадки: а)якщо дана точка розташована на відстані  1м від лівої та правої точки, то із трьох цих точок  у крайньому разі дві будуть одного кольору. За принципом Діріхле, адже точок  3, а кольорів всього 2. Точки  одного кольору можуть знаходиться на відстані 1м або 2 м, вони і утворюють шукані дві точки; б) дана точка однокольорова з лівою та правою, вони теж утворюють шукані дві точки.

Задача 5. Усі точки прямої зафарбовані у чотири кольори. Чи можна серед 11 одиничних відрізків знайти два відрізки, у яких при накладанні співпадають  кольори кінців.

 Розв’язання:   На зафарбованій у чотири кольори  прямій можна задати щонайбільше десять одиничних відрізків, у яких кольори кінців не співпадають. Наприклад, якщо кольори кінців позначити числами 1,2,3,4, можливі такі кольори кінців одиничних відрізків: (1;1), (2;2 ), (3;3), (4;4 ), (1;2), (1;3 ), (1;4 ), (2;3 ), (2;4 ), (3;4 ). За принципом Діріхле серед 11 одиничних відрізків знайдуться щонайменше 2 одиничних відрізки, у яких при накладанні співпадають кольори кінців.

 Задача 6. Яку найбільшу кількість різних відрізків з різнокольоровими кінцями  у довільних чотирьох точках можна задати на  прямій, усі точки якої зафарбовані у два кольори.

Розв’язання:   У випадку, коли усі чотири точки одного кольору не має таких відрізків. У випадку, коли одна точка відрізняється від трьох інших, маємо три таких відрізки. У випадку, коли дві точки одного, а дві інші

Задача 7. Усі точки прямої зафарбовані у два , чорний та білий кольори. Чи можна підібрати розфарбування так, щоб не існувало для будь-яких двох однокольорових точок  відмінного за кольором центру симетрії.

Розв’язання:    Нехай усі невід’ємні числа координатної прямої зафарбували у чорний колір, а усі від’ємні числа – у білий. Допустимо, що існують три точки, що задовольняють умові. Проте, будь-яка чорна точка знаходиться правіше від будь-якої білої точки, а значить для будь-яких двох однокольорових кінців відрізка точка середини відрізка не буде відрізнятися кольором від кінців.