Необхідні і достатні умови при розв’язуванні задач

Необхідні і достатні умови при розв’язуванні задач

При розв’язуванні задач умови, необхідні і достатні, іноді мають інший суть, ніж в доведені  теорем, і ними користуються здебільшого при дослідженнях розв’язків і відповідей.

   Наприклад.

1.Задача. При яких значеннях дріб (a²+a-2):(2+a)=0?

Розв’язання. Відомо, що для того, щоб дріб був рівний нулю потрібно, щоб чисельник дробу був рівний нулю, а знаменник при тій же умові не дорівнював нулю.

Використовуючи необхідність ознаки, ми можемо записати:

Якщо (a²+a-2):(2+a)=0, то a²+a-2=0 і 2+a- не дорівнює нулю; з цього виходить, що a=1.

Але так як умова достатньо, тобто, якщо a²+ a - 2=0  і a+2-не дорівнює нулю, то як висновок, якщо а = 1, то даний дріб рівний нулю.

Задача. Яким  умовам має задовольняти число m, щоб тричлен

у = x² - 2(4m-1)x + 15m² - 2m - 7

був додатним при будь-яких значеннях х?

Розв’язання. Відомо , для того, щоб тричлен був додатнім при будь-яких значеннях аргумента х (при додатному коефіцієнті при х²), потрібно щоб дискримінант трьохчлена був від’ємним.

Використовуючи потрібність даного признака, можна написати, що

D = (4m - 1)² - (15m² - 2m-7) < 0

або

m² - 6m + 8 < 0

і m повинно бути між коренями тричлена

m²- 6m + 8,

тобто

2< m < 4,

які знаходяться з рішення рівняння

m² - 6m + 8 = 0.

Але так як ця умова виявляється достатньою, щоб при цих значеннях m дискримінант тричлена, який містить х,був від’ємним, то нерівності 2 < m < 4 являється достатнім, щоб даний тричлен був додатнім при будь-яких значеннях х.