10 клас. І етап математичної олімпіади

Завдання І етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 2005 рік

10 клас

на виконання роботи надається 4 астрономічні години

1. Знайти суму чотирьох натуральних чисел a, b, c, d, якщо множина можливих сум трьох з цих чисел дорівнює одному  числу із множини {2004; 2005; 2006}.

Вказівка. Нехай a, b, c, d – дані натуральні числа. З умови  задачі складемо систему  трьох рівнянь:  

  a+ b+ c =2004;     b+c+d = 2005;      a+b+ d = 2006.

               

Звідки 2a +3b +2c +2d =6015  або 2(a+c+d) +3b =6015. За умовою задачі a+c+d може дорівнювати 2004, 2005 або ж 2006. З того, що 6015 ділиться на 3 і 3b теж ділиться на 3, a+c+d  має ділитись на 3. Отже, це може бути лише 2004, так як сума цифр 2+0+0+4 =6, а 6:3=2. Далі знаходимо b =669, a = 669, c = 667, d =668. Знайдемо суму цих чисел  669+ 669+ 667+668=2673.

          Відповідь: 2673.

2.  В чотирикутнику кут ABCD діагональ BD є бісектрисою кута ABC і AC=BC. Відомо, що кут ВDC=60° і кут ACB=20°. Знайти значення кута BAD.

Вказівка.  Оскільки BC=AC, то трикутник ABC рівнобедрений і кутСBA=кутСAB=80°. Кут BDC також дорівнює 80°, отже кути BAC і  BDC є вписаними кутами і навколо чотирикутника ABCD можна описати коло. Тоді кутBDA= кутBСA=20°, як вписані кути, що спираються на одну дугу. Залишається знайти кут BAD. В трикутнику BAD кутBAD=180°-40°-20°=120°.                 Відповідь: 120°.

3. У тесті є 20 питань. За кожну правильну відповідь дається 7 балів, за кожну неправильну знімається 2 бали, а за кожне пропущене питання – балів. Андрій набрав 87 балів. Скільки питань пропустив Андрій?

Вказівка. Позначимо через x – кількість правильних відповідей, через y – кількість неправильних відповідей. Тоді маємо рівняння в цілих числах 7x -2y =87. Розв’язком цього рівняння, що задовольняє умову задачі (загальна кількість запитань 20) є x=13, y =2. Тоді пропущено було 20-13-2=5. Відповідь: 5 запитань.

4. Побудувати графік рівняння |х+3| + |у-2| = 4.

Відповідь: графіком цього рівняння буде множина  усіх точок, що лежать на сторонах квадрат ABCD, де  A(-3; 4), B(-1; 2), C(-3; 0), D(-5; 2).

5. Скільки існує шестицифрових чисел, запис яких закінчується тільки трьома цифрами «7»?

Вказівка. Всього шестицифрових чисел, які закінчуються на 777 є 900=9*10*10, та серед них теж є 90 =9*10 чисел, які на третьому місця мають цифру 7, що призведе до чотирьох сімок в кінці числа. Тому всього шестицифрових чисел, які закінчуються на 777 є 810.         Відповідь: 810.

повний розв’язок кожного з чотирьох завдань оцінюється у 7 балів

Завдання І етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 2006 рік

10 клас  

на виконання роботи надається 4 астрономічні години

1. Квадрат 8x8 складений із 32-х доміно розмірами 1x2. Доведіть, що якісь дві з них утворюють квадрат 2x2.

Вказівка. Припустимо супротивне і розглянемо ситуацію на головній діагоналі. Клітинки на ній повинні бути покриті тільки горизонтальними (або вертикальними) доміношками.

2. Для яких натуральних чисел n число n²+ 5 ділиться на число n + 5?

Вказівка. n²+5 = (n+5)(n-5)+30. Перебрати усі можливі цілі розв’язки цього рівняння. Відкинути зайві розв’язки.

Відповідь: 1, 5, 10, 25.

3. Катя та її друзі стали по кругу так, що сусіди кожної дитини або обидва хлопчики, або обидві дівчинки. Хлопчиків серед Катрусиних друзів 2006. А скільки дівчаток? Відповідь обгрунтуйте.

Відповідь. 2005 дівчаток.

 Вказівка.. Якщо у когось із Катрусшшх друзів сусіди однакової статі, то очевидно, що всі. хто стоять по кругу, - однакової статі, а це суперечить умові. Отже, хлопчики та дівчатка чергуються. Оскільки хлопчиків 2006, то усіх дівчаток також 2006, а без Каті - 2005.

4.  Квадрат суми цифр числа А дорівнює сумі цифр числа А². Знайти всі такі двоцифрові числа.

Розв’язання.  1. Зрозуміло, що A²<99²=9801<9999. Тому сума цифр A² менше 9∙4=36. Так як  вона рівна квадрату сумы цифр A, то сума цифр A менше 36^1/2 = (6∙6)^0,5 =6, тобто менше або рівна 5. Залишається 15 варіантов двоцифрових чисел: 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 40, 41, 50, із яких умові відповідають тільки 9 вариантів, вказаних  у відповіді.

Розв’язання. 2. Позначимо через S(n) суму цифр числа n. Зрозуміло, що при додаванні двох чисел "стовбчиком" можливий тільки  перенос одиниці в старший розряд, і кожний такий перенос зменшує  суму цифр на 9. Тому сума цифр сумы довільної кількості доданків  не перебільшує сумы цифр доданків. Як наслідок, S(n)<n, так як n=1+1+...+1 (n одиниць), при цьому  рівність досягається лише для одноцифрових  чисел, адже при додаванні чергової одиниці до сумме дев’яти одиниць уже виникає перенос. Крім того, від дописування справа нуля сума цифр не міняється, то тобто S(10n)=S(n).

Нехай шукане двоцифрове число  A=ab=10a+b. Тоді

S(A²)=S((10a+b)²) = S(100a²+10*2ab+b²) <  S(100a²)+S(10*2ab)+S(b²)=S(a²)+S(2ab)+S(b²) < <a²+2ab+b²=(a+b)²=(S(A))²,

 при цьому  рівність досягається тоді і тільки тоді, коли a², 2ab и b² - одноцифрові числа (якщо це  так, то при додаванні 100a², 10*2ab и b² переносів невідбудеться, так як вони містять усі свої ненульові  цифри  в різних розрядах). Ітого, необхідно  и достатньо, щоб числа a², b² и 2ab були менше 10, тобто 1<a<3, 0<b<3 и ab<4.

Звідси умові відповідають тільки 9 вариантів, вказаних  у відповіді.

Відповідь: 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 30, 31.

5. На острові 2/3 усіх чоловіків одружені і 3/5 усіх жінок вийшли заміж. Яка частина населення перебуває в шлюбі?

Розв’язання. Нехай число шлюбних пар на острові рівно N, тоді перебувають у шлюбі N жінок(або 3/5 усіх жінок ) і одружених N чоловіків( або 2/3 усіх чоловіків).  Тоді згідно пропорції маємо на острові (5/3)N жінок і (3/2)N чоловіків. Таким чином всього на острові (5/3)N+(3/2)N=(19/6)N жителів. А в шлюбі перебуває 2N  жителів або шукана частина дорівнює (2N)/((19/6)N)=12/19.

Відповідь: 12/19 населення острова.

На виконання роботи виділяється 4 години.

Використання записників і калькулятора не дозволяється.

Кожна задача оцінюється в 7 балів  

Загальні критерії оцінювання завдань наведено в таблиці.

7	Повне правильне розв’язання
6-7	Повне правильне розв’язання. Є невеликі недоліки, які в цілому не впливають на розв’язання.
5-6	Розв’язання в цілому вірне. Однак воно містить ряд помилок, або не                        розглянуті окремі випадки, але може стати правильним після невеликих                         виправлень або доповнень.
4	Правильно  розглянуто один з двох (більш складний) істотних випадків,                      або в задачі типу «оцінка-приклад» вірно отримана оцінка.
2-3	Доведені допоміжні твердження, що допомагають у розв’язанні задачі.
0-1	Розглянуто окремі важливі випадки за відсутності розв’язання (або при                       помилковому розв’язанні).
0	Розв’язання неправильне, просування відсутні. Розв’язання відсутнє.

 Не можна зменшувати кількість балів за те, що розв’язання занадто довге. Виправлення в роботі (закреслення раніше написаного тексту) також не є підставою для зняття балів. У той же час будь-як завгодно довгий текст розв’язання, що не містить корисних просувань, повинен бути оцінений в 0 балів.