Задачі на розфарбування простору

Задачі на розфарбування простору

Задача 1. Простір зафарбований у три кольори. Довести, що знайдуться 2 точки простору на відстані 1 м  : а) одного кольору; б) різних кольорів.

Доведення:а)Якщо у зафарбованому у два кольори просторі побудувати правильний тетраедр з ребром 1м, то із чотирьох його вершин у крайньому разі дві будуть одного кольору, за принципом Діріхле, адже вершин 4, а кольорів всього 3. Вершини одного кольору і утворюють шукані точки.

Б) На відстані не більше двох метрів візьмемо три точки А та В та С. Нехай серед цих точок  немає  однокольорових. Їх завжди можна вибрати таким чином. Побудуємо трикутну піраміду К АВС, в якій АК=КВ=КС=1 м. Колір точки К за принципом Діріхле відмінний від кольору якихось із двох точок, нехай це точки  А, В. Отже, точки А та К шукані.

Задача 2. Скількома способами можна пофарбувати в 6 кольорів грані куба.

Розв’язання: Довільну грань можна зафарбувати у перший колір. Нехай це верхня грань. Для нижньої грані маємо 5 варіантів. Довільну бічну грань можна розфарбувати  3! = 6 варіантів. І тоді перемножимо дані варіанти за правилом добутку, тримаємо 30.

Задача 3.  Як треба фарбувати кубики прямокутного паралелепіпеда розміром 3х4х3 кубики в два кольори, щоб по обидва боки кожної грані одиничного кубика були різні кольори.

Розв’язання: Фасадний прошарок  розміром 3х3х1 кубики зафарбуємо у шаховому порядку так, щоб нижній лівий кубик мав білий колір.  Наступний другий  прошарок розміром 3х3х1 кубики розфарбуємо у шаховому порядку так, щоб нижній лівий кубик мав чорний колір. Третій прошарок  розміром 3х3х1 кубики зафарбуємо у шаховому порядку так, щоб нижній лівий кубик мав білий колір.  Четвертий 

прошарок розміром 3х3х1 кубики розфарбуємо у шаховому порядку так, щоб нижній лівий кубик мав чорний колір.