Класичні дидактичні задачі-ігри.

Класичні дидактичні   задачі-ігри.

1. Гра «Хрестики-нулики» проводиться на квадратичному полі 3х3, що містить 9 квадратні клітини. Двоє гравців по черзі за­повнюють вільні клітини: перший — заповнить своїми символами горизонталь, вертикаль або діагональ з трьох квадратів. Якщо це не вдалося нікому, то гра закінчується внічию. Хто забезпечить собі перемогу?

2. Гра «9 цифр». На столі лежать 9 карток, на кожній з яких написано одну з цифр від 1-го до 9-ти включно. Цифри на всіх картках різні. Картки лежать написами догори. Двоє гравців по черзі беруть по одній картці зі столу. Переможцем вважається той,  хто першим візьме 3 картки, сума цифр на яких дорівнюватиме 15 (на руках у переможця можуть бути й інші картки). Хто забезпечить собі перемогу?

3. Гра «9 слів». На столі лежать 9 карток, кожна з них містить одне зі слів: Лорен, какао, місто, хек, ліс, рама, Алла, меч, рік. [Слова на різних картках різні. Картки лежать написами догори, Два гравці по черзі беруть по одній картці зі столу. Переможцем вважається той, хто першим візьме 3 картки зі словами, що мають одну спільну літеру (на руках у переможця можуть бути й інші картки). Хто забезпечить собі перемогу?

4. Гра «9 шляхів». 8 міст, позначених першими літерами латиниці, сполучає 9 шляхів, що проходять відповідно через міста АЕН, АF, АDG, ВЕ, ВDFН, ВG, СF, СGН. Два гравці по черзі зафарбовують своїм кольором (червоним або синім) позначення шляхів на карті. Переможцем вважається той, хто перший зафарбує своїм кольором позначення всіх шляхів, які проходять через одне місто.  Хто забезпечить собі перемогу?

5. Гра Баше(Клод Гаспар Баше де Мезірака (1581—1638) — французький математик, поет,  перекладач). На початку гри в купці є п предметів. Два гравці  по черзі забирають з цієї купки предмети (від 1 до p включно). Переможцем вважається той, хто примусить суперника зробити останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

6. Гра «На стежині». На кінцях стежини, розбитої на т клітин, стоять шашки різного кольору. Двоє гравців по черзі рухають шашку певного кольору на вільну клітину на довільну кількість клітин у межах від однієї до р включно в довільному напрямку, але без перескакування шашки суперника й виходу за межі стежини. Переможцем вважається той, хто зробить останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

7. Певну кількість фішок розташовано в ряд. Два гравці по черзі забирають довільні одну або дві фішки, які стоять поруч, переможцем вважається той, хто зробить останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

8. Певну кількість фішок розташовано по колу. Два гравці по черзі забирають довільні одну або дві фішки, які стоять поруч. Переможцем вважається той, хто зробить останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

9. На початку гри є k груп предметів. Двоє гравців по черзі  ділять кожну групу, що містить більше одного предмета, на дві менші групи. Переможцем вважається той, хто виконає останній поділ. Хто забезпечить собі перемогу?

10.  Два гравці по черзі виймають зі скриньки предмети, кількість яких не перевищує половини наявних у скриньці. Програє той,  хто візьме останній предмет. Хто забезпечить собі перемогу?

11. Є дві купи предметів. Два гравці по черзі забирають одну купу, а іншу ділять на дві частини (обидві дії виконує один і той самий гравець). Переможцем вважається той, хто останнім ходом залишить дві купки по одному камінцю. Хто забезпечить собі перемогу?

12. Є 15 шашок, розташованих в ряд. Двоє гравців ходять по черзі. Першим ходом перевертається будь-яка шашка, а кожним наступним – будь-які одна або дві сусідні ще не перевернуті шашки. Переможцем вважається той, хто примусить суперника зробити останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

13. Китайська гра «ФАН-ТАН»На початку гри є k груп предметів. Двоє гравців по черзі  забирають з будь-якої групи довільну додатну кількість предметів (можливо й усі предмети групи). Переможцем вважається той, хто виконає останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

Аналіз виграшних позицій з «кінця» гри.

Розглянемо таку задачу-гру, розв'язання якої потребує додаткових методів.

Задача Баше. У коробці знаходиться 60 сірників. За один хід можна взяти будь-яку кількість від 1 до 5 сірників. Програє той, хто не може зробити хід. Хто з гравців (починаючий чи його суперник) може забезпе­чити собі виграш?

Розв'язання. Проаналізуємо кінцівку такої гри. Якщо кількість сірників менша за 5, то той гравець, чия черга ходити, закінчує гру. Якщо кількість сірників більша за 6, то гра закінчиться через два або більше ходи. Якщо ж кількість сірників дорівнює 6, то гравець, чий хід передував цій позиції, точно наступним своїм ходом закінчує гру (для цього він на хід суперника в k сірників бере 6 - k сірників). Тобто така позиція є виграшною для цього гравця. Очевидно, що позиції 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 (і т. д,) сірників для нього також є виграшними, бо таким самим способом він від позиції "24 сірники" переходить до позиції"18 сір­ників", від "18" до "12". Отже, початкова позиція виграшна для другого гравця «6 сірників», а його ви­грашною стратегією є доповнення ним ходів першого гравця до 6 сір­ників.

Теоретичний аналіз гри Баше на виграш починаючого або його суперника?

Задача-гра Баше У коробці знаходиться k сірників. За один хід можна взяти будь-яку кількість від 1 до n сірників( n<k). Програє той, хто не може зробити хід. Хто з гравців (починаючий чи його суперник) може забезпе­чити собі виграш?

Проаналізуємо цей розв'язок. Наші міркування при аналізі кінців­ки гри привели до розгляду класу виграшних позицій, що характери­зуються такими властивостями:

а)      за один хід з однієї виграшної позиції не можна перейти до іншої виграшної позиції (потрібно виконати два ходи);

б)      з будь-якої невиграшної позиції за один хід можна перейти до деякої виграшної (відмінної від попередньої виграшної) позиції.

Знаходження такого класу виграшних позицій для гри  Баше рівносильне  аналізу  розв'язанню. До перемоги веде стратегія перехід до виграшних позицій. При цьому, якщо:

·        початкова позиція виграшна, то виграє другий гравець,

·        початкова позиція програшна виграє той, що починає.

Пошук виграшних позицій в більшості випадків доцільно проводити за допомогою аналізу кінцівки гри, іноді до таких позицій можна дістатись інтуїтивно.

Запитання. В яких випадках в грі Баше забезпечує собі виграш починаючий?

А в яких випадках в грі Баше забезпечує собі виграш той, хто робить парні ходи?

Відповідь. Нехай   початкова кількість сірників k , а кожний гравець   за своїм ходом віднімає  від загальної кількості  n сірників.  Якщо:

·        k кратне n+1,  то виграє другий гравець;

·        k не ділиться на ціло на  n+1,  то виграє перший гравець.

Завдання для створення ігрових ситуацій у  групах.

Спробуйте здогадатися, чому в цій грі виграє завжди  перший гравець?

Задача. Двоє по черзі розрізають папір у клітинку, розміром  4х3 клітинок.  За один хід дозволяється зробити прямолінійний розріз  будь-якої частини вздовж лінії клітинок. Програє той, хто не зможе зробити хід.

 Розв’язок. Після кожного ходу кількість частинок збільшується рівно на 1.  

Спочатку був один шматок.   В кінці гри, коли не можна зробити жоден хід, папір розрізаний на клітинки 1х1. А їх – 12.  Таким чином, гра буде тривати рівно 11 ходів. Останній, 11-й хід (також, як і всі інші ходи з непарними номерами), зробить перший гравець. Тому він в цій грі перемагає, причому незалежно від того, як він буде грати.

Для викладачів. Звичайно, це ігра-жарт, але вона дозволяє без особливого напруження  подати школярам розуміння причини виграшу першого гравця.

Задача для повного пояснення та запис її розв’язання в зошит.

Задача 1. На дошці записано 10 одиниць і 10 двійок. За хід дозво­ляється стерти дві будь-які цифри, а, якщо вони однакові, написати двійку, а якщо різні – одиницю. Якщо остання цифра, що залишилася на дошці одиниця, виграв перший гравець, якщо двійка — то другий. Чому у цій грі завжди перемагає гравець, який не розпочинає гру?

Розв’язання:  Парність кількості одиниць на дошці після кожного ходу не змінюється. Оскільки спочатку одиниць було парне число, то після останнього
ходу на дошці не може залишатися одна (непарне число!)   одиниця.
Тому виграє другий гравець.

Задача 2. Дано смужку 1 х 17, клітинки якої пронумеровані послідовними натуральними числами. Двоє учнів грають у гру, по черзі роблячи свої ходи. За один хід треба закреслити одну довільну клітинку в смужці або деякі дві послідовні, де перша з них парна. Програє той, хто не може зробити хід. Хто може забезпечити собі виграш - починаючий чи його суперник? Вкажіть виграшну стратегію.

Розв’язання:  Розіб¢ємо клітинки з номерами 2-17 на 4 набори по 4 послідовні клітинки. Починаючий гравець спочатку закреслює першу клітинку з парним номером, а потім діє аналогічно до другого: якщо другий закреслює клітинку з парним номером, то починаючий іншу парну цього вибору, якщо другий закреслює дві клітинки, то перший - інші дві клітинки цього набору, якщо другий закреслює клітинку з непарним номером, то починаючий - іншу непарну клітинку цього набору. Так завжди починаючий буде мати можливість ходу, отже можна забезпечити собі перемогу.

Задача 3. На двох купках лежать монети. Двоє по черзі беруть із купок, тобто роблять ходи. За своїм ходом дозволяється з однієї купки (з якої саме - за власним вибором) взяти довільну кількість монет, але не менше однієї і, звичайно, не більше, ніж там є. Переможцем вважається той гравець, який забрав останні монети. Хто може забезпечити собі виграш, якщо в кожній купці по 4 монети? Вкажіть виграшну стратегію.

Розв’язання:  Домовимось будь-яку позицію позначити (а,в), де перша координата - це кількість монет у першій купці, друга - у другій. Нехай П - це множина програшних позицій, а В - множина виграшних позицій. Згідно з правилами гри, заключна позиція (0,0) належить до П. Тому (а,0) та (0,а) належить до В для всіх натуральних чисел а, адже кожну з цих позицій одним ходом можна перетворити на (0,0). Тепер проаналізуємо позицію (1,1), вона належить до П, бо кожний з двох можливих ходів перетворює її у виграшну позицію (0,1) чи (1,0). А ось решта позиці (а,1) та (1,а), де а більше 1, виграшні, бо кожну з них одним ходом можна перетворити на позицію (1,1). Наступним кроком дістаємо (2,2) - це програшна позиція, зате (2,а) та (а,2) - виграшні, якщо а більше 2. Вимальовується якась закономірність: позиція (а,в) програшна тоді і тільки тоді, коли а=в. Так як будь-який хід перетворює програшну позицію (а,а), а≠0, в позицію з різними координатами, тобто у виграшну позицію, то виграшна стратегія в даній грі полягає у зрівнюванні кількості монет у купках. Дотримуючись цієї стратегії, гравець, що робить другий хід, може забезпечити собі перемогу.

Задачі-ігри

1. На двох купках лежать сірники. У грі беруть участь два гравці. Процес гри полягає в тому, що суперники по черзі роблять ходи. За своїм ходом гравець може взяти з будь-якої однієї купки довільну кількість сірників (але не менше одного) або з обох купок по одному сірнику.

Переможцем вважається той гравець, який забрав останні сірники. Яку лінію поведінки повинен обрати перший гравець, щоб забезпечити собі перемогу, якщо сума сірників в обох купках непарне число.

2. На двох купках лежать монети. У грі беруть участь два гравці. Процес гри полягає в тому, що суперники по черзі роблять ходи. За своїм ходом гравець бере з будь-якої однієї купки довільну кількість монет (але не менше однієї) і відразу ж по тому перекладає будь-яку кількість сірників (можна й нульову) з однією (з якої - на свій розсуд) на другу (навіть, якщо ця друга вже була порожня). Хто переможе, якщо у кожній купці чотири монети? У цій грі переможцем вважається той, хто взяв останню монету.

3. На двох купках лежать цукерки. У грі приймають участь два гравці. Вони по черзі роблять ходи. За своїм ходом гравець бере з будь-якої купки довільну кількість цукерок, але не менше однієї, і якщо бажає, відразу ж  по тому перекладає з купки на купку (з якої на яку - на свій розсуд) одну цукерку. Хто забезпечить собі перемогу, якщо у першій купці 6 цукерок, у другій - 4 цукерки? У цій грі переможцем вважається той, хто взяв останню цукерку.

4. На двох купках лежать сірники. У грі приймають участь двоє гравців. Вони по черзі роблять ходи. За  своїм ходом гравець зобов¢язаний забрати одну з двох купок (не порожню), а ту, яка лишилась (якщо містить більше одного сірника), розкласти на дві. У цій грі переможцем вважається той, хто взяв останнього сірника. Хто з гравців забезпечить собі перемогу, якщо на двох купках по однаковій кількості сірників.