6 клас. ІІ етап математичної олімпіади

Завдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2012 рік

6 клас

***

Дані відрізки довжиною 7 см і  12см. Скільки і яких відрізків треба взяти, щоб із них скласти відрізок в 1 м?

***

На зборах секції було близько 80 школярів, третина з них — дівчата, половина з яких вчиться в 6 класі. З присутніх хлопчаків — 5/7 не вчаться в 6 класі. Скільки школярів 6 класу було на зборах секції?

***

В двозначному числі закреслили цифру і воно зменшилося в 31 раз. Яку цифру закреслили і в якому числі?

***

Прапори деяких держав утворено з чотирьох горизонтальних смуг різного кольору. Скільки існує різних варіантів прапорів з білою, синьою, жовтою та червоною смугами?

***

Розв'язати рівняння:

8x — 3(2x+1) = 2x + 4

Другий етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики (Дніпропетровська область) – 2012 рік.

6 клас

1. Місце для купання в морі обмежують буйки, розташовані по прямій так, що відстань між будь-якими сусідніми буйками однакова і дорівнює 12 м. Знайти відстань між третім та сьомим буйками.
2. Знайдіть усі натуральні числа x, що не перевищують З0, такі, що НСД(х,4) • НСД(х,З0) = 1. Відповідь поясніть.
3. Кожен учень деякого класу вивчає або англійську, або німецьку мови. Усього в класі 25 учнів, англійську вивчають 21, німецьку 10. Відомо, що п’ята частина тих учнів школи, які одночасно вивчають англійську та німецьку складають саме учні цього класу. Скільки учнів у школі вивчають англійську та німецьку мови?
4. Знайдіть усі способи подати число 34 у вигляді двох натуральних доданків, добуток яких дорівнює 93.
5. Михайлик та Тарасик грають у дивну гру. На кожному кроці від числа, яке раніше утворилося в результаті гри віднімається один з його дільників. Програє той, після ходу якого утвориться число 0. Гру починає Михайлик з числа 2012. Хто з гравців може грати так, щоби не зважаючи на те, як ходить другий гравець завжди вигравати?

На виконання завдань відводиться З години

Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2009 р.

Завдання

6 клас

1. Андрійкові було 16 років 19 місяців тому, а Миколці буде 19 років через 16 місяців. Хто із них старший за віком? Відповідь обґрунтуйте.

2. Назвемо число «дзеркальним», якщо справа наліво воно читається так само, як і зліва направо. Наприклад, число 78887 – «дзеркальне». Знайдіть усі «дзеркальні» п’ятицифрові натуральні числа, в записі яких використовуються тільки цифри 1 та 0. Відповідь обґрунтуйте.

3. Марійка подивилася на малюнок і сказала: «Тут зображено сім прямокутників: один великий і шість маленьких». «Тут є ще інші – середні прямокутники» – сказала її матір. Скільки ж всього прямокутників на цьому малюнку? Відповідь обґрунтуйте.

4. Третина військової роти залишилася на території військової частини, а всі інші її бійці поїхали на стрільби. Бійці цієї роти, що залишилися, за обідом з’їли четвертину приготовленого для роти борщу, а бійці, що повернулися зі стрільб, отримали порції борщу в півтора рази більші, ніж видавалися за обідом. Скільки борщу залишилося для ротної собаки Найди? Відповідь обґрунтуйте.

5. Двоє по черзі вписують хрестики в клітинки таблиці розміром 4х4. Програє той, після чийого ходу утвориться квадрат 2х2, в усіх клітинках якого вписані хрестики. Хто виграє: той хто починає гру чи його суперник, і як потрібно грати, щоб виграти? Відповідь обґрунтувати.

Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2010 р.

Завдання

                           6 клас

1.   Буквами А і Б позначено різні цифри. Через БА позначено число, що складається з Б десятків і А одиниць. Відомо, що А -А = БА, Б + Б = А. Чому дорівнює А?

2.   У шаховому турнірі кожний учасник з кож­ним грав по одній партії. У Пішакіна в цьому турнірі перемог було вдвічі більше, ніж поразок, нічиїх у нього не було. Чи може загальна кількість учасників турніру дорівнювати 28?

3.   У Марійки є іграшковий кінозал прямокутної форми (в усіх рядах однакова кількість місць). На кожне місце вона посадила ляльку, біля кожного ряду з одного боку поставила олов'яного солдати­ка, за кожним місцем останнього ряду — вершни­ка. Ляльок у 5 раз більше, ніж олов'яних солда­тиків, яких, у свою чергу, в 5 раз більше від верш­ників. Чому дорівнює загальна кількість ляльок, солдатиків і вершників?

4.   Три богатирі вступили в бій з велетнями. Одержавши по 3 удари богатирськими палицями, велетні перелякалися і втекли. Найбільше ударів наніс Ілля Муромець — 7, найменше — Альоша Попович — 3. Скільки всього було велетнів?

5.   Мама дала Вірі кілька мотузок і доручила Їй нарізати маленькі мотузки для зав'язування мішків. Через деякий час Віра підрахувала, що вона зроби­ла 12 розрізів і одержала 19 маленьких зав'язок. Скільки мотузок розрізала Віра?

6.   Сергій підрахував, шо коли на утримання живого куточка кожна дівчинка принесе по 3 грн., а кожний хлопчик - по 5 грн., то всі 25 учнів принесуть 97 грн. Кого в класі більше - дівчат чи хлопців, і на скільки?

7.    Скільки існує натуральних чисел, у резуль­таті множення яких на 17 добуток буде більшим від 560, але меншим від 585?

На виконання роботи виділяється 2 години.

Використання записників і калькулятора не дозволяється.

Кожна задача оцінюється в 7 балів  

Загальні критерії оцінювання завдань наведено в таблиці.

7	Повне правильне розв’язання
6-7	Повне правильне розв’язання. Є невеликі недоліки, які в цілому не впливають на розв’язання.
5-6	Розв’язання в цілому вірне. Однак воно містить ряд помилок, або не                        розглянуті окремі випадки, але може стати правильним після невеликих                         виправлень або доповнень.
4	Правильно  розглянуто один з двох (більш складний) істотних випадків,                      або в задачі типу «оцінка-приклад» вірно отримана оцінка.
2-3	Доведені допоміжні твердження, що допомагають у розв’язанні задачі.
0-1	Розглянуто окремі важливі випадки за відсутності розв’язання (або при                       помилковому розв’язанні).
0	Розв’язання неправильне, просування відсутні. Розв’язання відсутнє.

 Не можна зменшувати кількість балів за те, що розв’язання занадто довге. Виправлення в роботі (закреслення раніше написаного тексту) також не є підставою для зняття балів. У той же час будь-як завгодно довгий текст розв’язання, що не містить корисних просувань, повинен бути оцінений в 0 балів.

Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2011 р.

Завдання

6  клас 

ПЕРША ЧАСТИНА ЗАВДАНЬ

Записати правильну відповідь

1. Коли вода перетворюється на лід, її об'єм збільшується на 9 %. На які відсотки змен­шиться об'єм, коли лід розтане? (Вкажіть най­точніший результат.

А. На 8%. Б. На 8,25%. В. На 8,75%.  Г. На  9%.

2.  Таблиця 2x2 заповнюється цифрами, відмінними від 0, так, що сума двоцифрових чисел, отриманих при читанні рядків таблиці зліва направо, дорівнює 100. Скільки є способів заповнити таблицю?         А. 17. Б. 72.  В. 18.  Г. 81

3.  На новорічному ранку кожен учень 6-б кла­су одержав пакет з цукерками (всі пакети одна­ кові). Протягом ранку деякі з дітей частину своїх цукерок роздавали однокласникам − усім порівну. Наприкінці ранку в Петрика виявилося 15 цуке­рок, а в Маші − 77. Скільки учнів у 6-б класі?

А. 46.  Б. 29.    В. 31. Г. 32.

4. Змішують два сорти чаю вартістю 30 грн і 50 грн за 1 кілограм. Скільки грамів чаю вищо­го сорту потрібно взяти, щоб одержати 500 г суміші вартістю 3 грн 50 к. за 100 г?

А. 125 г.  Б. 187,5 г.   В. 200 г.  Г. 375 г.

5. Робот рухається по поверхні Місяця зі сталою швидкістю, змінюючи напрям руху на 60° через кожні 10 хвилин. Через який час після початку руху робот уперше повернеться в точку, з якої він почав рух?   

А. Через 30 хв.          Б. Через 1 год. В. Через 1 год 10 хв. Г. Через 1 год 30 хв.

6.  У деякій державі 121 місто. Із кожного з них виходить однакова кількість доріг, що з'єднують його з деякими іншими містами. Яка кількість усіх доріг у державі?

 А. 300.           Б. 440.  В. 605.   Г. 330.

7.  Знайдіть остачу від ділення на 5 числа   2005²⁰⁰⁷ + 2006²⁰⁰⁶ + 2007²⁰⁰⁵.   

А.0.  Б. 1. В. 4.  Г. 3.

8. Продавець для збільшення прибутку змішав 5 літрів вершків з жирністю 30 % з 4 літрами вершків з жирністю 15 % і долив туди ще літр чистої води. Скільки відсотків становить жирність отриманих «вершків»?         

А. 70% .    Б. 22,5 %.    В. 21%.    Г. 15 %.

9.  Скількома способами можна зробити пря­мокутний отвір в аркуші паперу в клітинку роз­мірами 33 х 40 клітинок, якщо сторони отвору мають лежати на прямих, що розбивають аркушна клітинки?

А. 367 536.         Б. 1178.      В. 735 072.      Г. 1 2 4 8.

10.  Учителька приготувала 27 однакових білих кубиків з довжиною ребра 10 см, маючи намір скласти з них білий куб з ребром 30 см. Яку най­меншу кількість граней маленьких кубиків має зафарбувати чорною фарбою Вовочка, щоб учи­телька не змогла здійснити свій намір?

А. 10.  Б. 13. В. 11.  Г. 12.

11.  Скільки розв'язків у натуральних числах має рівняння з двома невідомими: 200х + 1у = 2007?

А. 0.       Б. 1.    В. 2.   Г. Безліч.

12.  На картонну трубку з діаметром 3 см щільно намотали шар на шар 250 м стрічки тов­щиною 0,1 мм. Яким є діаметр отриманого ва­лика? (Виберіть найточніший результат.)

А. 186 мм.         Б. 153 мм.  В. 126 мм.       Г. 93 мм.

16.  Які з наступних тверджень еквівалентні, тобто одночасно істинні чи хибні?

1. Для кожного з учнів класу А знайдеться учень класу В нижчий за зростом.

2. Кожен із учнів класу В нижчий хоча б від одного з учнів класу А.

3. Найнижчий учень класу В нижчий від най­нижчого з учнів класу А.

4. Середній зріст учнів класу А більший від середнього зросту учнів класу В.

А. 1 і 2.           Б. 1 і 3.     В. 1 і 4.     Г. 2 і 3.

13.  З кінцевих пунктів «Центр» і «Теремки» міського маршруту виїхали одночасно маршрут­ на  таксі та автобус і їхали приблизно зі сталою швидкістю. Вони зустрілися на відстані 12 км від «Центру». Після прибуття на кінцеві пунк­ти вони відразу ж вирушили у протилежних на­ прямах і цього разу зустрілися на відстані 16 км від кінцевої зупинки «Теремки». Якою є дов­жина маршруту?

А. 20 км.        Б. 24 км.    В. 18 км. Г. Визначити неможливо.

14.  У деякій державі 121 місто. Із кожного з них виходить однакова кількість доріг, що з'єднують його з деякими іншими містами. Яка кількість усіх доріг у державі?

А. 300.              Б. 440.   В. 605. Г. 330.

15. Чи ділиться на 10 число  1003²⁰⁰⁷ + 1007²⁰⁰⁶ + 1002²⁰⁰⁵?    А.0. Б. 1. В. 4. Г. інша відповідь.

16.  У трьох сусідніх вершинах правильного шестикутника розміщені фішки А, В і С. Їх доз­воляється переміщати в будь-якому порядку вздовж діагоналей у вільні вершини. При якому  порядку проходження фішки не можуть знову потрапити в ті самі вершини, якщо у початко­вому положенні вони були розміщені у поряд­ ку АВС і рухалися за годинниковою стрілкою?

А. ВАС.           Б. СВА.          В. САВ.      Г. Можуть бути переставлені в будь-якому порядку.

17.  Дев'ять робітників мають виготовити 50 виробів. Кожен виріб потрібно спочатку змонту­вати, а потім пофарбувати. Час монтажу − 20 хви­лин, час фарбування - 10 хвилин. Кого (малярів чи монтажників) і на скільки має бути більше, щоб виконати роботу в найкоротший час?

А Малярів на 1.        Б. Монтажників на 1.  В. Монтажників на 2.    Г. Монтажників на 3.

18.  Фірма, що виробляє шоколад, вирішила провести акцію для збільшення продажу. Для цього вона в кожну коробку вкладає талон, і за десять зібраних талонів покупцю видається безкоштовно коробка шоколаду. На скільки відсотків фірма повинна підвищити ціну короб­ки шоколаду, якщо на цю акцію не планується виділяти додаткових коштів?

А. На 9%.       Б. На 10%.     В. На 11 %.    Г. Інша відповідь.

19. Є три не якісні батарейки, які повністю відправцювали свій ресурс, і дві нові якісні батарейки, які мають повний ресурс і працюють бездоганно. Усі п¢ять батарейок не відрізняються одна від одної за формою та дизайном і лежать в одному ящику. Із ящика навмання витягують дві батарейки і одразу вставляють в годинник. Скільки треба зробити різних витягувань двох батарейок із ящика так, щоб годинник точно запрацював?        

 А. 9.   Б. 4.     В. 5.    Г. Інша відповідь.

Друга частина

Записати обґрунтування задач

20. Знайдіть закономірність у побудові послідов­ності чисел: 151, 617, 181, 920, 212, 223,...

21.Є 35 прямокутних брусків з розмірами 2х2х1. Чи можна всі ці бруски вкласти в прямо­кутну коробку з кришкою розміром 4х5х7?

22. Чи можна таблицю 10х10 заповнити числа­ ми 1 і  -1 так, щоб суми чисел, записаних у кожному рядку і кожному стовпці, були різними?

23. Є дві купки сірників. Гра полягає в тому, що кожний з двох гравців бере будь-яку кількість
сірників, але тільки з однієї купки. Виграє той, хто бере сірники останнім. Хто виграє при правильній стратегії?

24. Не дочекавшись трамвая на зупинці А,  Буратіно й Артемон рушили до наступної зупинки В.

Пройшовши половину  шляху, Буратіно озирнувся і, по­бачивши трамвай, що наближається до А, побіг на­зад до цієї зупинки. Артемон з такою самою швид­кістю, що й Буратіно, побіг до В. Буратіно встиг сісти в трамвай на зупинці А і прибув до В одно­часно з Артемоном. З якою швидкістю бігли Бура­тіно й Артемон, якщо трамвай їхав зі швидкістю 30 км/год?

А. 7,5 км/год.            Б. 10 км/год. В. 15 км/год.   Г. Визначити не можна.

25. З натуральних чисел від 1 до 100 склали всілякі пари з різними елементами (наприклад,
(1; 3), (2; 4), (3; 1) тощо). У скількох із цих пар добуток їх елементів ділиться на 3?

А. У 5632.      Б. У 5478.   В. У 5311.          Г. У 5215.

25.  У шаховому турнірі брали участь 4 гросмей­стери, які перед початком турніру стверджували: А: «Я буду першим»;   Б: «Я не буду останнім»;  В: «Я не буду ні першим, ні останнім»;  Г: «Я буду ос­таннім». Після турніру виявилося, що тільки один шахіст помилився. Хто з них? А. А.        Б. Б.        В. В.        Г. Г.

26.  Скільки існує трицифрових чисел, у яких остання цифра дорівнює добутку двох перших?

А. 24.        Б. 25.        В. 32.        Г. 40.

27.  Карлсон, Вінні-Пух і крокодил Гена зайшли в кафе. Карлсон купив 4 бутерброди, какао і 10 пончиків за 16,9 крон, Вінні-Пух - 3 бутерброди, какао і 7 пончиків за 12,6 крон. Скільки крон за­платив крокодил Гена за бутерброд, какао і пон­чик?      А. 3,9.        Б. 5,5.        В. 4,2.        Г. 4.

28.  Батьки дали дітям на атракціони 24 гривні, які слід було розділити порівну. Але до них при­єдналися дві подруги, і гроші розділили порівну між усіма. При цьому кожний одержав на 1 грн. менше, ніж передбачалося раніше. Скільки усього стало дітей?   А. 4.        Б. 6.        В. 8.        Г. 12.

29.  Якщо преміальний фонд розподілити по 50 грн. на людину, то 5 грн. не вистачить, якщо по 45 грн., то 95 грн. залишаться нерозподіленими. Яка сума преміального фонду?

А. 600 грн.           Б. 995 грн.   В. 1005 грн. Г. 1200 грн. 

30. Яка найменша кількість фарб потрібна, щоб можна розфарбувати клітинкову дошку 4х4, яка розділена по лініях клітинок на різні за площею частини так, щоб розрізнити кожну частину дошки?

31.  Диванну подушку квадратної форми обшили по краях стрічкою. Скіль­ки стрічки пішло на кожен край, якщо всього витрачено 2 м шнура, зок­рема по 5 см на кожен куточок?   А. 180 см.               Б. 50 см.              В.45 см.                  Г. 55 см.

32. Шнур склали навпіл, потім ще раз навпіл. Потім його розрізали спочат­ку у місці другого згину, а потім - першого. На скільки частин розпався шнур?   А. 2.                      Б.3.            В.4                      Г. 5.

33. Є 6 батарейок, 3 з яких нові, а 3 - відпрацьовані. Годинник працює тільки від двох нових батарейок. За одну операцію дозволяється вставити в годинник будь-які дві батарейки і перевірити - чи працюють вони. За яку найменшу кількість операцій можна вставити в годинник дві гаран­товано нові батареї?    А. 10.  Б. 11.       В. 12.            Г. 13.

34. Майданчик для зустрічі почесних гостей має периметр 880 м. На нього поклали килим, краї якого знаходяться на відстані 100 м від країв майда­нчика. Яким є периметр килима?  А. 80 м.     Б. 180 м.        В. 280 м.                   Г. 480 м.

35. Батьки Богдана купили йому зошит з 48 аркушів і перенумерували їх з двох боків підряд числами від 1 до 96. Богдан вирвав 15 аркушів і додав усі 30 чисел, написаних на них. Яке з наступних чисел не міг він отрима­ти в якості суми?

А. 2001.                   Б. 2005.                 В. 2009.            Г.2010.

36. На ранку в дитячому садку хлопчики і дівчатка стали в круг, узявшись за руки. Виявилось, що кожен тримає за руки або двох хлопчиків або двох дівчаток. У крузі 9 хлопчиків. Скільки там дівчаток? А. 4  Б. 5.  В. 9.       Г. 10.

37.  Квадрат розділили вертикальними і горизонтальними лініями (всього їх 24) на однакові квадратики. Скільки всього маленьких квадратиків?     А. 16.          Б. 25.      В. 36.   Г. Визначити неможливо.