Задачі на властивості парності чисел. 6 -9 класи

ПАРНІСТЬ ТА НЕПАРНІСТЬ

Означення. Будь-яке число, яке можна подати, як суму двох однакових натуральних чисел, називають парним.

Парні числа позначають формулою m = 2n.

Парних чисел безліч.

Парні числа, закінчуються на цифри: 0, 2, 4, 6, 8.

Приклади. Такі числа є парними: 2, 4, 6, 8, 56,  78, 40.

Означення. Будь-яке число, яке не можна подати, як суму двох однакових натуральних чисел, називають непарним.

Непарні числа позначають формулою m = 2n - 1.

Приклади. Такі числа є непарними: 21, 43, 65, 87, 56,  781, 409.

Непарних чисел безліч.

Непарні числа, закінчуються на цифри: 1, 3, 5, 7, 9.

Варто звернути увагу на те, що сума парної кількості непарних чисел є парною.

Узагальнення цього факту виглядає так:

парність суми кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків:

якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною.

Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:

  2∙n + 2∙k + … + 2∙f + 2∙q = 2∙(n + k + … + f  + q) = 2∙m

СУМА БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

2∙n – 2∙k – … – 2∙f – 2∙q = 2∙(n – k – … – f  – q) = 2∙m

РІЗНИЦЯ БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s = 2∙(m-s)

СУМА ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s -1 = 2∙(m-s) - 1

СУМА НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ НЕПАРНА.

Таким чином, парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів між цілими числами, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є  завжди парним числом.

Звертаємо увагу ще на  одну цікаву властивість.

Сума  квадратів парної кількості непарних чисел є парною.

(2∙n -1)² + (2∙k-1)² + … + (2∙f-1)² + (2∙q-1)² = 2∙p

                               (парна кількість непарних доданків)

Сума  квадратів непарної кількості непарних чисел є парною.

(2∙n -1)² + (2∙k-1)² + … + (2∙f-1)² + (2∙q-1)² = 2∙p – 1

                               (непарна кількість непарних доданків)

Зокрема, сума двох квадратів натуральних чисел  може при ділені на 4 мати остачу  0, 1, 2, але не може мати остачу 3.

Приклади:  1² + 2²  = 4 + 1,    1² + 3²  = 4∙2 + 2,    2² + 2²  = 4∙2 + 0.

Варто запам’ятати, що  n² + k² ¹ 4∙m + 3.

Узагальнення попередніх фактів виглядає так:

Парність суми  довільних натуральних  степенів кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків:

якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною.

Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:

(2∙n)^z + (2∙k)ⁿ + … + (2∙f )^s + (2∙q)^t = 2∙p

(будь-яка кількість  доданків)

СУМА cтепенів БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n)^z  -  (2∙k)ⁿ  -  … - (2∙f )^s  - (2∙q)^t = 2∙p

                                       (будь-яка кількість  доданків)

РІЗНИЦЯ cтепенів БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)^z + (2∙k-1)ⁿ + … + (2∙f-1)^m + (2∙q-1)^w = 2∙p

                                      (парна кількість  непарних доданків)

СУМА cтепенів ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)^z + (2∙k-1)ⁿ + … + (2∙f-1)^m + (2∙q-1)^w = 2∙p - 1

                               (непарна кількість непарних доданків)

СУМА cтепенів НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ НЕПАРНА.

Звертаємо увагу ще на  одну цікаву і не зовсім  очевидну властивість.

Степінь натурального числа (більша першої степені) не може бути записана у вигляді 4m + 2. Варто запам’ятати, що  n^k ¹ 4∙m + 2, де натуральне k більше 1.

Зокрема, можна довести такі властивості.

Довільна степінь непарного числа вигляду 4∙q +1 подається у вигляді 4∙p + 1:

(4∙q + 1)ⁿ = 4∙p + 1.

Або цю рівність можна розуміти ще отак: будь-яка степінь непарного числа вигляду 4∙q +1 при діленні на 4 дає остачу 1.

Приклади: (4∙2 +1)² = 4∙20 + 1,    (4∙2 +1)³ = 4∙182 +1,    (4∙2 +1)⁴ = 4∙1640 +1.   

Непарна степінь непарного числа вигляду 4∙q + 3 подається у вигляді 4∙p + 3:

(4∙q + 3 )^2n-1 = 4∙p + 3.

Або цю рівність можна розуміти ще отак: будь-яка непарна степінь непарного числа вигляду 4∙q +3 при діленні на 4 дає остачу 3.

Приклади: (4∙2 +3)³ = 4∙332 + 3.

Парна степінь непарного числа вигляду 4∙q + 3 подається у вигляді 4∙p + 1:

(4∙q + 3 )²ⁿ = 4∙p + 1.

Або цю рівність можна розуміти ще отак: будь-яка парна степінь непарного числа вигляду 4∙q +3 при діленні на 4 дає остачу 1.

Приклади: (4∙2 + 3)² = 4∙30 + 1,    (4∙2 +3)⁴ = 14640 +1.

Задачі на властивості парності чисел. 6 -9 класи

Задача 1.  Чи можна 13-кутник розрізати на паралелограми?

Вкаазівка. Ні не можна. Якщо опуклий многокутник можна розрізати на паралелограми, то його сторони обов’язково  розбиваються на пари паралельних сторін.

Задача 2. На дошці 25х25 розставлені 25 шашок, причому їх роз­міщено симетрично відносно діагоналі. Доведіть, що одна з шашок розташована на діагоналі.

Вказівка. Оскільки в протилежному випадку шашки розбиваються на пари симетричних, то на діагоналі обов'язково повинно стояти непарне чи­сло шашок.

Методичні зауваження. При розв'язанні останньої задачі часто ви­никають логічні труднощі. Це пов'язано з тим, що на діагоналі можуть бути не одна, а довільна кількість шашок. Для цієї задачі наше тверд­ження про розбиття на пари можна формулювати таким чином: якщо з непарної кількості предметів зроблено кілька пар, то хоча б один з предметів буде без пари.

Задача 3. На дошці 25х25 розставлені 25 шашок, причому їх роз­міщено симетрично відносно обох головних діагоналей. Доведіть, що одна з шашок стоїть у центральній клітинці.

Доведення. Спосіб від супротивного. Припустимо, що це не так. З'єднаємо ниткою шашки, симетричні підносно будь-якої з діагоналей. Після цього будемо розглядати групи шашок, сполучених нитками, як окремі "намиста". Тоді в кожному "намисті" — або дні, або чотири шашки. Значить, загальна  кількість шашок має бути парною. Суперечність.

Задача 4. У кожній клітинці квадратної таблиці розміром 25х25 записано одне з чисел 1, 2,3,..., 25. При цьому, по-перше, в клітинках, симетричних відносно головної діагоналі, записано рівні числа, і по-друге, ні в якому рядку та ні в якому стовпчику немає двох рівних чисел. Доведіть, що числа на головній діагоналі є попарно рівними.

Вказівка: Оскільки одиниць 25 штук, то на головній діагоналі повинна бути хоча б одна одиниця (див. розв'язок задачі 13). Аналогічно, на головній діагоналі с двійка, трійка і т.д.

Задача 5. Чи можна розміняти 25 карбованців за допомогою десяти купюр вартістю 1, 3 та 5 карбованців?

Відповідь. сума десяти непарних чисел завжди парна. Отже, не можна так розміняти.

Зауваження.  Розв'язання задачі 5 грунтується на простому спостереженні:

сума парної кількості непарних чисел є парною.

Узагальнення цього факту виглядає так:

парність суми кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків: якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то-і сума також є (не)парною.

Використаємо ще такі властивість парності:

  2∙n + 2∙k + … + 2∙f + 2∙q = 2∙(n + k + … + f  + q) = 2∙m

СУМА БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

2∙n – 2∙k – … – 2∙f – 2∙q = 2∙(n – k – … – f  – q) = 2∙m

РІЗНИЦЯ БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s = 2∙(m-s)

СУМА ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s -1 = 2∙(m-s) - 1

СУМА НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

Парність результату суми та різниці натуральних чисел не залежить від розстановки плюсів і мінусів, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є  завжди парним числом.

Задача 6. Петро купив загальний зошит на 96 аркушів і пронумеру­вав всі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. Василь вирвав з цього зошита 25 аркушів і додав всі 50 чисел, що на них були написані. Чи міг він дістати 1990?

 Відповідь: ні, не могло.  Вказівка. На кожному аркуші сума номерів сторінок непарна, а сума 25 непарних чисел непарна.

Задача 7. Добуток 22 цілих чисел дорівнює 1. Доведіть, що їх сума не дорівнює нулю.

Вказівка. Серед цих чисел — парне число "мінус одиниць", а для того, щоб сума дорівнювала нулю, їх має бути рівно 11.

Задача 8. Чи можна скласти магічний квадрат з перших 36 простих чисел?

Відповідь: ні, не можна. Серед цих чисел одне (це 2) – парне, а інші непарні. Тому в тому рядку, де стоїть двійка, сума чисел непарна, а в інших — парна.

Задача 9. В ряд записано числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними знаки "+" та "–" так, щоб значення отриманого виразу дорівнювало нулю?

Відповідь: ні, не можна. І справді, сума чисел від 1 до 10 дорівнює 55, і змінюючи в неї знаки, ми змінюємо весь вираз на парне число.

Зауваження. Врахуйте, що від'ємні числа також бувають парними та непарними.

Задача 10.. Коник-стрибунець стрибає вздовж прямої, причому пер­шого разу він стрибнув на 1 см в якийсь бік, другого – на 2 см і так далі. Доведіть, що після 1985 стрибків він не може зупинитися там, де починав.

Вказівка. Доводиться так само, як і в задачі 20, бо сума 1 + 2 + … + 1985 непарна.

Задача 11. На дошці виписано числа 1,2,3,..., 1984,1985. Дозволя­ється стерти з дошки будь-які два числа і замість них записати модуль їх різниці. Врешті-решт на дошці залишається одне число. Чи може воно дорівнювати нулю?

Відповідь: ні, не може. Перевірте, що при зазначених операціях парність суми всіх написаних на дошці чисел не змінюється.

Пропонуємо більш складні задачі, розв'язання яких, крім парності, використовує, як правило, і деякі додаткові міркування.

Задача 12. Чи можна покрити шахматну дошку доміношками розмі­ром 1x2 так, щоб вільними залишились тільки клітинки а1 і, h8?

Відповідь: не можна. Кожна доміношка покриває одне чорне і одне біле поле, а при викиданні полів а1 і h8 чорних полів залишається на 2 менше, ніж білих.

Задача 13. До 17-цифрового числа додали число, яке записано тими ж цифрами, але в зворотному порядку. Доведіть, що хоча б одна цифра суми, що отримана, є парною.

Вказівка. Розгляньте два випадки: сума першої і останньої цифр числа менш 10, і сума першої і останньої цифр числа не менш 10. Якщо припустити, що всі цифри суми непарні, то в першому випадку не може бути жодного переносу в розрядах (що, очевидно, приводить до суперечності), а в другому випадку наявність переносу при русі справа наліво або зліва направо чергується з відсутністю переносу, внаслідок чого ми одержимо, що цифра суми в дев'ятому розряді обов'язково парна.

Задача 14.. В народній дружині є 100 чоловік, і кожного вечора троє з них йдуть чергувати.   Чи може після деякого часу виявитися, що кожен чергував з кожним рівно один раз?

Відповідь: ні, не може. Бо в кожному чергуванні, в якому бере участь дана людина, вона чергує з двома іншими, отже, всіх інших можна розбити на пари. Проте 99 — непарне число.

Задача 15.  На прямій відмічено 45 точок, що лежать зовні відрізка АВ. Доведіть, що сума відстаней від цих точок до точки А не дорівнює сумі відстаней від цих точок до точки В.

Вказівка. Для будь-якої точки X, що лежить поза АВ, маємо АХ-ВХ= ±АВ. Якщо припустити, що суми відстаней рівні, то МИ отримаємо, що вираз ±АВ ± АВ ± … ± АВ, в якому 45 доданків, дорівнює нулю. Але це неможливо..

Задача 16. По колу розставлено 9 чисел – 4 одиниці і 5 нулів. Кожну секунду над числами роблять таку операцію: між сусідніми числами ставлять нуль, якщо вони різні, та одиницю, якщо вони рівні. Чи можуть усі числа через деякий час стати рівними?

Вказівка. Зрозуміло, що комбінація з дев'яти одиниць раніше, ніж з дев'яти нулів, утворитися не може.   Якщо ж утворилося дев'ять нулів,   то в попередньому ході нулі і одиниці повинні були чергуватися,  не можливо, бо їх всього непарна кількість.

Задача 17. 25 хлопчиків і 25 дівчаток сидять за круглим столом. До­ведіть, що у когось із них обидва сусіди – хлопці.

Доведення. Проведемо наше доведення від супротивного. Пронумеруємо всіх, що сидять за столом, по порядку, починаючи з якогось місця Якщо на к-му місці сидить хлопчик, то ясно, що на (к - 2)-му і на (к+ 2) му місцях сидять дівчатка. Але оскільки хлопчиків і дівчаток порівно, то і для будь-якої дівчинки, що сидить на n-му місці, вірно, що на (n— 2)-му і на (n + 2)-му місцях сидять хлопчики. Якщо ми тепер розглянемо тільки тих 25 чоловік, що сидять на "парних" місцях, то одержимо, що серед них хлопчики і дівчатка чергуються, якщо обходити стіл в якомусь напрямі. Але 25 – непарне число.

Задача 18. Равлик повзе по площині із сталою швидкістю і кожні 10 хвилин повертає під прямим кутом. Доведіть, що повернутись до початкової точки він зможе лише після цілого числа годин.

Доведення. Зрозуміло, що кількість а дільниць, на яких равлик повз угору або вниз, рівна кількості дільниць, на яких він повз вправо або вліво. Залишилось тільки зауважити, що а – парне.

Завдання 4. Властивості парних і непарних чисел.

Розподілити  тридцять тверджень на три групи:

·         перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·         друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел.

·         третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

1. Якщо число непарне, тоді його можна записати, як добуток двох непарних чисел.
2. Якщо число непарне, тоді його можна записати, як суму парного і непарного  чисел.
3. Якщо число парне, тоді його можна записати, як суму непарних  чисел.
4. Якщо число парне, тоді його можна записати, як суму парних чисел.
5. Якщо число ділиться на  три, тоді сума його цифр ділиться на дев’ять.
6. Якщо число парне, тоді його можна записати, як суму трьох непарних чисел.
7. Якщо число непарне, тоді кожна цифра цього числа непарна.
8. Якщо число непарне, тоді сума цифр є число парне.
9. Якщо число парне, тоді добуток його цифр  є парним числом.
10. Якщо натуральне число парне, тоді попереднє і наступне  число непарне.
11. Якщо число кратне п’яти, тоді добуток цифр є ненатуральним число.
12. Якщо число парне, тоді добуток першої і останньої цифр є число парне.
13. Якщо число непарне, тоді добуток першої і останньої цифр є число непарне.
14. Якщо число парне, тоді сума першої і останньої цифр  є число парне.
15. Якщо число кратне трьом, тоді добуток його цифр є число кратне трьом.
16. Якщо число кратне десяти, тоді добуток цифр є число ненатуральне.
17. Якщо число непарне, тоді його кількість цифр непарна.
18. Якщо число парне, тоді кількість його цифр є число парне.
19. Якщо число кратне чотирьом, тоді добуток цифр є число непарне.
20. Якщо число кратне шести, тоді добуток його цифр є число парне.
21. Якщо парне число має лише два ділиники, тоді сума дільників цього числа непарна.
22. Якщо число парне, тоді куб цього числа є число, яке ділиться на 8.
23. Якщо число парне, тоді куб цього числа є число кратне восьми.
24. Якщо число непарне, тоді квадрат цього числа є число непарне.
25. Якщо число складається з десяти різних цифр, тоді сума цифр рівна 45.
26. Якщо число складається з десяти різних цифр, тоді сума цифр ділиться на дев’ять.
27. Якщо число ділиться на кожну свою цифру, тоді добуток його цифр рівний нулю.
28. Якщо число ділиться на суму своїх цифр, тоді добуток його цифр є число парне.
29. Якщо число складається тільки з непарних цифр, тоді добуток його цифр є непарне число.
30. Якщо число складається тільки з парних цифр, тоді сума квадратів його цифр є число кратне чотирьом.
31. Якщо число парне, тоді сума усіх цифр цього числа є парне число.
32. Якщо число непарне, тоді сума цифр є число кратне  трьом..
33. Якщо число парне, тоді сума цифр є число непарне.
34. Якщо число непарне, тоді добуток цифр є число парне.
35. Якщо число парне, тоді його можна записати, як суму непарних чисел.
36. Якщо число непарне, тоді його можна записати, як добуток двох непарних чисел.
37. Якщо число парне, тоді його можна записати, як суму парного і непарного  чисел.
38. Завжди парні числа  є наступними для чисел n, 3n + 3, 2n-1, 2n+1.
39. Завжди  ділиться натуральне число n(n+1) на 2.
40. Завжди ділиться добуток чотирьох послідовних натуральних чисел (n -1)n(n+1)(n+2) на 24.
41. Добуток трьох непарних послідовних чисел  завжди ділиться на 3.
42. Сума чотирьох послідовних парних чисел ділиться на два складених числа..
43. Сума п'яти послідовних натуральних чисел ділиться на два простих числа.
44. Сума семи парних послідовних чисел не ділиться на 4.
45. Сума шести послідовних непарних чисел не ділиться на 8.
46. Сума чотирьох послідовних натуральних чисел може бути простим числом.
47. Добуток двох чисел дорівнює 150. Перше число упівтора рази більше другого. Тоді ці числа парні.
48. Додали два числа. Їх сума виявилась на 26 більше від другого доданку. Тоді пер­ший доданок рівний 6.
49. Сума двох чисел  19, а їх різниця  9. Добуток цих чисел 70.
50. Цифрами 2, 4, 7, 9 не може закінчуватися такі суми: 1+2=…; 1+2+3=…;  1+2+3+4=…; 1+2+3+4+5=…;  і так далі.
51.  Цифрами 2, 3, 7, 8 не може закінчуватися такі суми: 1+3=…; 1+3+5=…;  1+3+5+7=…; 1+3+5+7+9=…;  і так далі.