9-11 клас. БАНК олімпіадних ЗАДАЧ З ТЕМИ «КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ»

9-11 клас. БАНК  олімпіадних ЗАДАЧ З   ТЕМИ «КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ»

1. А) Якщо квадратична  функція  f(x) =ах² + bx + с, де а – ненульове число,  b  та с  - дійсні  числа, приймає два значення  f(0) = с  та f(1) =а + b + с такі, що  f(0)∙f(1)  = ас + bс + с²  ≤ 0, то квадратична функція має хоча б один нуль. Доведіть це. Чи вірно, що цей нуль завжди можна записати правильним звичайним дробом?
 Б) Розв’язати рівняння:  а) - г) і виконати перевірку.  У рівнянні з параметром, що в пункті д) знайти, при якому значенні параметра  k  рівняння має: а) один корінь; б) один додатний корінь; в) один від’ємний корінь; г) два корені; д) два протилежні корені; е) немає коренів;  є) два корені: нульовий  і додатний; ж) два корені: нульовий  і від’ємний; з) два не додатних  корені; и) два  корені різних знаків;  ї)два взаємно обернені корені.

1.    а) z² = (– 1³) ⁶; б) х³ = 24x; в) (х-1)(х+9) = 8х; г) (6х – 9)² + (9х + 6)² = 84;

 д) -9kх² – (4-3k)х -0,25k = 0.  

2.  Знайти коефіцієнти а, b,с    квадратичної функції  f(x) =ах² + bx + с, якщо відомо, що графік проходить через такі  три  точки: а) (-4; 0), (3;0), (0; -12); б) ( 1; 1), (2;2),  (0; 2); 

 в) (2; 3), (3;4),  (4; 3). 

3.  Побудуйте графіки  функцій:  a) f(x) = max{ 2/x/ - 4;  х² -5x + 4};  

б) f(x) = min{- х² + 3x + 2;  -/x/ + 2};  в) f(x) = - 2(max{ /x/ - 7;  -7- x })²;  

4.  Побудуйте графіки  функцій:  a) f(x) = max{ -х² + 8/x/ - 7;  х² -5/x/ + 4};   

 б) f(x) = min{ -х² + 3/x/ - 2;  х² - 4/x/ + 3};  в) f(x) = - 2(min {/x/;  х² })²;

5.  Розв’яжіть нерівність:  max{ 2/x/ - 4;  х² -5x + 4} ≤ min{ -х² + 3/x/ - 2;  х² - 4/x/ + 3}.  

6.  Якщо квадратне рівняння ах² + bx + с = 0, де а – ненульове ціле число,  b  та с  - цілі числа, має два раціональні корені, то  принаймні одне з чисел  а, b,с  - парне число. Доведіть це.

7.  Чи може статися так, що квадратне рівняння вигляду:  х² + (2n-1)x + 2k-1 = 0, 

 де n , k  – цілі числа,  мати: а) два парні корені: б) два непарні корені, в) два корені різної парності? Відповідь обґрунтувати.

8.  Чи може статися так, що квадратне рівняння вигляду:  х² + 2nx + 2k = 0, де n , k  – цілі числа,  мати: а) два парні корені: б) два непарні корені, в) два корені різної парності? Відповідь обґрунтувати.

9.  Чи може статися так, що квадратне рівняння вигляду:  х² + (2n)x + 2k-1 = 0, де n , k  – цілі числа,  мати: а) два парні корені: б) два непарні корені, в) два корені різної парності? Відповідь обґрунтувати.

10.   Чи може статися так, що квадратне рівняння вигляду:  х² + (2n-1)x + 2k = 0, 

де n , k  – цілі числа,  мати: а) два парні корені: б) два непарні корені, в) два корені різної парності? Відповідь обґрунтувати.

11.  Доведіть, що коли многочлен ах² + bx + с, де а – ненульове ціле число,  b  та с  - цілі числа, при х=0 та х=1 має непарні значення, то він не має цілих коренів.

12.  У кажіть усі значення параметр а для квадратного рівняння  (а-1)х² - (а+4)x + а+7 = 0, 

при яких існує тільки один корінь: а) нульовий; б) додатний ; в) від’ємний; г) цілий.

13.   У кажіть усі значення параметр а  для квадратного рівняння  

ах² -2(а-1) x + 2а+1=0, при яких  знаки коренів:  а) різні;  б) додатні; в) від’ємні.

4.   Складіть квадратне рівняння з раціональними коефіцієнтами, якщо  один з його коренів є х = 2^0,5 -1.

15.   Складіть квадратне рівняння з раціональними коефіцієнтами, якщо  один з його коренів є:    а) х = (5^0,5 -3^0,5)/ (5^0,5 +3^0,5) ;        б)  х = (2^0,5 -7^0,5)/ (2^0,5 +7^0,5) ;  

в)  х = (a^0,5 -b^0,5)/ (a^0,5 +b^0,5).

16.Складіть квадратні рівняння з раціональними коефіцієнтами, якщо  відомо, що корені:  а)  1<х₁ <2,   3<х₂ <4 ;              б) -5<х₁ <-4 ;  -5<х₂ <-4 ;   в)  -6 < х₁ = х₂ <-5.  

Інтерполяційна формула Лагранжа

для квадратного тричлена

Дано три точки

(x₁; у₁),  (x₂; у₂), (x₃; у₃).

невідомого квадратного тричлена

ах² + bx + c,

тоді можна записати квадратний тричлен за допомогою формули Лагранжа:

f(x) = ах² + bx + c =

= y₁(x-x₂) (x-x₃)/(x₁ –x₂)(x₁ –x₃) +

+ y₂(x-x₁) (x-x₃)/(x₂ – x₁)(x₂ –x₃) +

+ y₃(x-x₂) (x-x₁)/(x₃ –x₁)(x₃ -x₂)

Приклад. Знайти коефіцієнти квадратного тричлена і записати його в стандартному вигляді, якщо відомі абсциси і ординати тільки для трьох точок: x₁ = 1; x₂ = 3; x₃ = 4; y₁ = 2;y₂ = -2; y₃ = -1.

Розв’язання. Скористаємося інтерполяційною формулою Лагранжа для квадратного тричлена:

f(x) = ах² + bx + c =  y₁(x-x₂) (x-x₃)/(x₁ –x₂)(x₁ –x₃) + y₂(x-x₁) (x-x₃)/(x₂ – x₁)(x₂ –x₃) + y₃(x-x₂) (x-x₁)/(x₃ –x₁)(x₃ -x₂) =  = 2(x-3)(x-4)/(1 –3)(1 – 4) - 2(x-1)(x-4)/(3 – 1)(3 –4) -1(x-3)(x-1)/(4 – 1)(4 -3) = х² - 6x + 7.