11 клас. І етап математичної олімпіади.

І етап (шкільний) Всеукраїнської математичної олімпіади.

11 клас

1.    В кубі АВСDА₁В₁С₁D₁ з ребром а знайдіть відстань від центра грані АА₁D₁D до площини ВС₁D.

2. Розв’язати рівняння:   х+ х^-1 =2sin(pi*x*2^-1).

 Відповідь: x₁=-1, x₂=1

3. Сума відстаней від внутрішньої точки паралелограма до прямих, на яких розташовані сторони паралелограма дорівнює середньому арифметичному його сторін. Знайти кути паралелограма.

Вказівка. Провести дві висоти із однієї вершини паралелограма і розглянути подібні прямокутні трикутники, у яких гіпотенуза буде вдічі більша за катет.
Відповідь: кути 30^o 150^o.

4. Чебурашка додав три послідовних натуральних числа, потім додав три наступних послідовних натуральних числа, після чого отримані суми перемножив. Чи міг він отримати число 111111111?

Розв’язання. Одна з двох сум буде парна, оскільки в неї входитимуть 2 непарних доданки та один парний, а тому отриманий добуток повинен бути парним числом.

Відповідь: не міг отримати.

5.       Знайдіть всі натуральні числа, які можна подати у вигляді суми двох

взаємно простих чисел, відмінних від 1. (Взаємно прості числа – це два натуральні числа, у яких тільки один спільний дільник 1).

 Відповідь: всі натуральні числа, крім 1, 2, 3, 4 і 6.

 Розв’язання. Розглянемо спочатку непарні числа. Очевидно, що числа 1 і 3 вказаним способом подати  не можна. Нехай N - непарне та N ≥ 5. Тоді N = 2k +1= =k+(k+1), де k - натуральне і k ≥ 2. Так як будь-які два послідовних натуральних числа взаємно прості, то всі зазначені N задовольняють умові.

 Розглянемо парні числа. Безпосередньою перевіркою переконуємося, що числа 2, 4 і 6 не можна подати вказаним чином. Решту парних чисел можна розбити на дві групи: числа, кратні 4, тобто N = 4k, і числа, не кратні 4,

 тобто N = 4k+2 (k - натуральне і k ≥2).

 В першому випадку: N = 4k = (2k +1)+(2k - 1), причому НСД (2k+1; 2k - 1) = =НСД (2k - 1, 2) = 1. В другому випадку: N = 4k+ 2 = (2k+3)+(2k - 1), причому НСД (2k+3; 2k - 1) = НСД (2k - 1, 4) = 1.

 Для непарних чисел, починаючи з 5, можливо також і інше подання, яке задовольняє умові: якщо k ≥ 2, то N = 2k+1 = 2+(2k - 1).

Час виконання завдання 4 год.  Кожна задача оцінюється в 7 балів  

            

           Загальні критерії оцінювання завдань наведено в таблиці.

7	Повне правильне розв’язання
6-7	Повне правильне розв’язання. Є невеликі недоліки, які в цілому не впливають на розв’язання.
5-6	Розв’язання в цілому вірне. Однак воно містить ряд помилок, або не                        розглянуті окремі випадки, але може стати правильним після невеликих                         виправлень або доповнень.
4	Правильно  розглянуто один з двох (більш складний) істотних випадків,                      або в задачі типу «оцінка-приклад» вірно отримана оцінка.
2-3	Доведені допоміжні твердження, що допомагають у розв’язанні задачі.
0-1	Розглянуто окремі важливі випадки за відсутності розв’язання (або при                       помилковому розв’язанні).
0	Розв’язання неправильне, просування відсутні. Розв’язання відсутнє.

 Не можна зменшувати кількість балів за те, що розв’язання занадто довге. Виправлення в роботі (закреслення раніше написаного тексту) також не є підставою для зняття балів. У той же час будь-як завгодно довгий текст розв’язання, що не містить корисних просувань, повинен бути оцінений в 0 балів.