Різні способи розкладу на множники

Розклад на  множники 

Розкласти на множники буквений вираз означає, виконати допустимі перетворення  виразу так, щоб у цьому виразі «множення»  була остання арифметична дія. Пропоную вам  уважно переглянути розв'язання  вправ. У цих прикладах використано спосіб винесення спільного множника за дужки. Спробуйте самостійно виносити спільний множник за дужки  і потім перевіряти себе:

5q – 5p = 5(q - p),

ab+ac = a(b+c),

mb-mac = m(b-ac),

m⁵ – m⁷ = 1∙m⁵ – m⁵ ∙ m² = m⁵(1 – m²),

15а + 15b = 15∙(a + b),

7mn + m = 7mn + 1m = m∙(7n + 1),

- 8pg – 24gt = -8g∙p – 8g ∙3t = – 8g(p + 3t),

15а + 3а² - 9а³ = 3а( 5 + a – 3a²).

Перевірку правильності виконання завдання можна здійнисти оберненим перетворенням, тобто розкрити дужки, або внести спільний множник в дужки., в результаті чого отримаємо початковий вираз.

Я вимагаю  від своїх учнів усного виконання проміжних дій у вправах такого типу.

Деякі вчителі пропонують також вправи на винесення неспіль­них множників за дужки, маючи на увазі перетворення:

5q – 5p = 5q∙(1- p/q),

ab+ac = ac∙(b/c+1),

mb-mac = ma∙(b/a - c),

m⁵ – m⁷ = 1∙m⁵ – m⁵ ∙ m² = m⁷(1/m² –1),

15а + 15b = 15b∙(a/b +1),

7mn + m = 7mn + 1m = mn∙(1 + 1/n),

- 8pg – 24gt = -8g∙p – 8g ∙3t = – 8gp(1 + 3t/p),

15а + 3а² - 9а³ = 3а³( 5/ a²  + 1/a – 3).

Увага! Завдання на розуміння. Виконайте перевірку і знайдіть помилки та виправте їх:

5q – 5p = 5q∙(4- p/q),

ab+ac = ac∙(b/c+с),

mb-mac = ma∙(b/a -а),

m⁵ – m⁷ = 1∙m⁵ – m⁵ ∙ m² = m⁷(1/m² +1),

15а + 15b = 15b∙(a/b – b),

7mn + m = 7mn + 1m = mn∙(1 + 1/m),

- 8pg – 24gt = -8g∙p – 8g ∙3t = – 8gp(1 + 3t),

15а + 3а² - 9а³ = 3а³( 5/ a²  + 1 – 3a).

.

Такі перетворення корисні,  і про   них   може  йти  мова  у зв'язку з вивченням дробових виразів.

Я можу запропонувати вам кілька вправ на винесення за дужки  спільного множника для многочленна. Наприклад самостійно подумайте і заповніть прогалини у виразах, які відмічені знаком запитання:

35q – 35p = 35(? - ?),

kb+kc = ?∙(b+c),

mb-mbc = m(b-?c),

m⁸ – m⁹ = 1∙m^? – m^? ∙ m^? = m^? (1 – m^?),

50а + 25b =? ∙(?a + ?b),

70mn + 28m = ?m∙?n + ?∙?m = ?m∙(?n + ?),

- 8pm – 24mt = -8∙?∙p – 8∙? ∙3t = – 8∙?∙ (p + 3t),

125а + 50а² - 75а³ = ?∙а( 5 + ?∙a – 3a²).

3qt – 75wpt = 3∙?(? - ?),

13kb+39kc = ?∙(?∙b+?c),

92mb-46mbc = m(b-?c),

65m⁸ – m⁹ = 1∙m^? – m^? ∙ m^? = m^? (1 – m^?),

50а + 25b =? ∙(?a + ?b),

70mn + 28m = ?m∙?n + ?∙?m = ?m∙(?n + ?),

- 8pm – 24mt = -8∙?∙p – 8∙? ∙3t = – 8∙?∙ (p + 3t),

–125а + 250а² - 500а³ = ?∙а(?+ ?∙a –?a²).

Виконання цих вправ підготує вас до кращого засвоєння найваж­чого способу розкладання многочленів на множники – способу групування, який є природним узагальненням способу винесення спільного множника за дужки.

Так, пояснимо, як розкладається на множники вираз:

а ∙ (b + с) + x∙(b + с) = (b + с)∙(a + x),

а ∙ (w – v) + k∙(w – v) = (w – v )∙(a + k),

а ∙ (m + n) – bx∙(m + n ) = (m + n )∙(a – bx),

c ∙ (b² + pс) – 4x∙(b² + pс) = (b² + pс)∙(c – 4x),

4а ∙ (5b + 3с) + 7x∙(5b + 3с) = (5b + 3с)∙(4a + 7x).

Якщо ви не зможете цього зробити самостійно, то слід пос­тавити вам таке запитання: чи не дорівнює другий вираз першому? Часто цього буває досить, щоб ви зрозуміли, як ми виконували попереднє завдання. Наголошую на тому, що такі перетворення виразів є тотожними, тобто не порушують відомі нам математичні дії, проте вони дають можливість змінювати порядок дій у виразах або зменшувати кількість дій.

Тепер можна запропонувати вам самостійно розкласти на множники вирази:

а ∙ (n + с) + x∙ (n + с) = (? + ?)∙(a + x),

а ∙ (w – v) + k∙ (w – v) = (w – v )∙(? +?),

а ∙ (m + n) – bx∙ (m + n ) = (? + n )∙(a – ?),

c ∙ (b² + pс) – 4x∙ (b² + pс) = (b² +?)∙(? – 4x),

4а ∙ (5b + 3с) + 7x ∙ (5b + 3с) = (?+ ?)∙(? +?).

Розкладання многочлена на множники способом групування, як уже зазначалось, становить для вас значні труднощі, часто не відразу вдається  як слід згрупувати члени даного многочлена – доводиться випробовувати кілька способів групування доти, поки не буде знайдено найраціональніший. Тому ви маєте добре продумати перед тим, які доданки слід групувати, тобто шукати доданки зі спільними множниками.

Для цього пропоную вам таку систему вправ, щоб труднощі наростали повільно.

xm + ху + ау + аm = (xm + ху) + (ау + хm) =  x(m + у) + a(m + у) = (а + х) (m + у).

а² – ху – ау + ах = (а² + ах) – (ау + ху) =  а(а + х) – у(а + х) = (а + х)(а - у).

Наприклад, розглянуту щойно вправу можна виконати так:

а² - ху + ау + ах = (а² - ау) + (ах - ху) = = а(а - у) + х(а - у) = (а - у) (а + х).

Розгляньте складніші приклади:

3 - 6a + z - 2az = 3(1 - 2a) + z(1 - 2a) – (3 +z)(1 – 2a);

10ax - 5bx + 2ay - by = 5x(2a – b) + y(2a - b)  = (5x + y)(2a – b);

4a² – 4az – 3a + 3z = 4a(a – z) – 3(a – z) = (4a – 3)(a – z);

3x² – 3xy + 3y² – 3xy = 3x(x - y) + 3y(y - x) = - 3x(x -y) - 3y(x - y) = 3(x –y)(x – y);

a + a² - a³ - a⁴ = a(1+ a) - a³(1+ a) = (a - a³)(1 + a) =  a(1² - a²)(1 + a) = a(1- a)(1 + a)²;

a³ + a²b - a²c - abc = a²(a +b) - ac(a + b) = (a² - ac)(a + b) = a(a - c)(a + b);

3m - bx + mx - 3b = 3m - 3b - bx + mx =  3(m - b) + x (m - b) = (3 + x)( m - b);

ax + ay - az + nx + ny - nz = ax + nx + ay + ny - az – nz = x(a + n) + y(a + n) - z(a + n) = (a + n)(x + y - z);

a + b – 2 – ax - bx + 2x  = a – ax  + b – bx - 2 + 2x = a(1 - x) + b(1 - x) - 2(1 -x) = (1 – x)(a + b – 2);

2ax + cx - 6ax² - 3cx² + 2ac + c² = 2ax - 6ax² + 2ac + cx - 3cx² + c² =

2a(x - 3x² + c) + c(x - 3x² + c) = (2a + c)(x - 3x² + c);

Увага! Завдання на розуміння. Вкажіть помилку у даному перетворенні многочленів:

a² - ab - 4a + 4b = a(a - b) - 4(a + b) = (a - 4)(a - b);
ax + 3 + 3x + a = ax + a + 3x + 3 =  a(x + 1) + 3(x + 1) = (a + 3)(1 – x);

ac + 6 - bc - a = ac - a + b - bc = = a(c - 1) - b(1 - c) = a(c - 1) - b(c - 1) = (a -b)(c + 1);

Тепер можна запропонувати вам самостійно розкласти на множники вирази способом групування:

ac + ad + 2bc + 2bd;

2ax – 2ay – 3by + 3bx;

x²y – z²x + y²x – z²y;

x² – xy + xz – yz;

a³ + 2 + a + 2a²;

y⁴ + 3 – y – 3y³;

х³ + x – 3xy + 2 + 2х² – 6y;

ab – a + 5 – 5b – 5a² + a³;

4ax + 2ay – az – 4bx – 2by + bz;

6ax + 3bx – 3x + 6ay + 3by – 3y.

Найчастіше використовують розклад на множники многочленів при розв’язування рівнянь.

Розв’яжемо рівняння способом розкладання на множники:

x(x- 15) + 3(x - 15) = 0

Винесемо  за дужки спільний множник x – 15, отримаємо:

(x + 3)(x - 15) = 0;

Маємо добуток двох множників дорівнює нулю, отже хоча б один із множників нульовий, тому прирівняємо до нуля перший та другий множник:

x + 3 = 0;

x₁ = -3 – перший розв’язок;

x - 15 = 0;

x₂ = 15 – другий розв’язок.

 Відповідь:x₁ = -3; x₂ =15.

Розв’яжемо інше рівняння способом розкладання на множники:

6xy + 4x - 9y - 6 = 0;                 

Згрупуємо доданки в лівій частині і винесемо  за дужки спільний множник, отримаємо:

2х(3y + 2) – 3(3y + 2) = 0;

(2х – 3)(3y + 2) = 0;

Маємо добуток двох множників дорівнює нулю, отже хоча б один із множників нульовий, тому прирівняємо до нуля перший та другий множник:

2х– 3= 0;

x₁ = 3/2 – перший розв’язок;

3y + 2 = 0;

x₂ = -2/3 – другий розв’язок.

 Відповідь: x₁ = 3/2; x₂ = -2/3.

Тепер можна запропонувати вам самостійно розв’язати рівняння способом розкладання на множники (використати спосіб групування):

1)2xy + 8x + 3y +12 = 0;                2) 2xy + 8x + 3y +12 = 0;

3)3xy + 21x + 5y +35 = 0;              4) -3xy + 5x + 21y +35 = 0;

5) -8xy + 12x + 2y – 3 = 0;             6) -8xy - 2x + 12y – 3 = 0;

7)12xy + 48x - 18y - 72 = 0;           8)12xy - 18x + 48y - 72 = 0;            

9)-6xy -  42x + 10y + 70 = 0;         10) -6xy + 10x - 42y + 70 = 0;           

11)6xy + 14x - 3y - 7 = 0;              12) -7xy + 14x - 3y +6 = 0;                 

Сума та різниця степенів двох цілих виразів

Різниця та сума квадратів

a² + b² – не розкладається  на множники на множині цілих чисел.

a² – b² = (a – b)(a + b) – це різниця квадратів двох виразів.

Розглянемо декілька вправ на використання цих формул:

n² – 4 = n² – 2² = (n – 2)(n + 2);

a² – 36 = a² – 6² = (a – 6)(a + 6);

                              64 - b²  = 8² – b² = (8–b)(8 +b).

1 – a⁶ =  1² – (a³)² = (1 – a³)(1 + a³);

Різниця та сума кубів

а³ – b³ = (a–b)(a² +аb + b²) – це різниця кубів двох виразів.

а³ + b³ = (a+b)(a² –аb + b²) – це cума кубів двох виразів.

Розглянемо декілька вправ на використання цих формул:

p³ + g³ = (p + g)(p²  – pg + g²);

8 – a³ =  2³ – a³ = (2 – a)(4 + 2a + a²);

c³ + 8x³ =  c³ + 2³x³ = (c + 2x)(c² - 2xc + 4x²);

1 – a⁶ =  1³ – (a²)³ = (1 – a²)(1 + a² + a⁴);

a³ + c⁶ = a³ +(c²)³  =  (a + c²)(a² - ac² + c⁴);

27 + a³b³ = 3³ + a³b³  = (3 + ab)(9 - 3ab + a²b²);

p³x⁶  + 1 = (px² + 1)(p²x⁴ - px² + 1);

= (3m + n²)(9m² - 3mn² + n⁴);

a³c³ +27x³ = (ac + 3x)(a²c²   - 3acx + 9x²);

– c⁶ + 27x³ = (3x - c²)(9x² 3xc² + c⁴);

a⁶c⁹ - 27x³ = (a²c³ - 3x)(a⁴c⁶ + 3xa²c³ + 9x²).

а⁴ – b⁴ = (a–b)(a³+а²b+аb² + b³);

а⁴ + b⁴  - не існує тотожності.

а⁵– b⁵= (a–b)(a⁴+а³b + а²b² + аb³ + b⁴);

а⁵ + b⁵= (a+b)( a⁴–а³b + а²b² –аb³ + b⁴);

a^2m + b^2m  -

аⁿ– bⁿ= (a–b)( a^n-1+а^n-2b + а^n-3b² +… +а²b^n-3 + аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді

аⁿ – 1= (a–1)( a^n-1+а^n-2  + а^n-3  +… +а² + а + 1);

a±b)⁰ = 1;

(a±b)¹ = a±b

Квадрат  двочлена:

(a + b)² = a² + 2ab + b² –  це квадрат суми двох чисел.

(a – b)² = a² – 2ab + b² –  це квадрат різниці двох чисел.

Розглянемо декілька вправ на використання цих формул:

1 + 2b + b² = 1² + 2∙1b + b² = (1 + b)²

4 + 4b + b² = 2² + 2∙2b + b² = (2 + b)²;

49 – 14b + b² = 7² – 2∙7b + b² = (7 – b)²;

64 + 16b + b² = 8² + 2∙8b + b² = (8 + b)²;

400 – 40b + b² = 20² – 2∙20b + b² = (20 – b)²;

4 + 12b + 9b² = 2² + 2∙2∙3b + 3²∙b² = (2 + 3b)².

Розв’язати рівняння:

a) x² - 6x + 9 = 0;   б) z² + 4z + 4 = 0;     в)5y² - 40y + 80 = 0.

г)  c² + 9 = 6c;   д) y² + 4 = 4y;  ж) 2x² + 2 - 4x = 0; з)  x – 1= 0,25x².

Розв’язання:

a) x² - 6x + 9 = 0

x² - 2∙3x + 3² = 0;    (x - 3)(x - 3) =0;   x - 3 = 0;    x = 3.

Biдповідь: x = 3.

б) z² + 4z + 4 = 0

   z² + 2∙z∙2 + 2² = 0;   (z + 2)(z + 2) = 0;   z + 2 = 0, z = -2.

Biдповідь:  z = -2.

в) 5(y² - 8y + 16) = 0

5(y² - 2y∙4 + 4²) - 0;    5(у- 4)(y - 4) = 0;    y - 4 = 0, у = 4.

Biдповідь: y = 4.

г)  c² + 9 = 6c

с² - 6c + 9 = 0;  c² - 2 ∙c ∙3 + 3² = 0;  (c - 3)(c - 3) = 0;  c – 3 = 0; c = 3.

Biдповідь: c = 3.

д) y² + 4 = 4y;

у² - 4y + 4 = 0;    y² - 2∙y∙2 + 2² = 0;

(y - 2)(y - 2) = 0;    y - 2 = 0;   y = 2.

Biдповідь: y = 2.

ж) 2x² + 2 - 4x = 0;

2(x² - 2x + 1) - 0;   x² - 2x∙1 + 1² = 0; (x - 1)(x - 1) = 0;    x– 1 = 0;    x = 1

Biдповідь: x = 1.

з)  x – 1= 0,25x²

0,25x² - x + 1= 0;    (0,5x)² - 2 ∙0,5x ∙ 1 + l² = 0; (0,5x - l)(0,5x - 1) = 0;   

0,5x -1 = 0;    0,5x = 1

х = 2

Biдповідь: x = 2.

Куб  двочлена:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  – це куб суми двох чисел;

 (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³  – це куб суми або різниці двох чисел;

Розглянемо декілька вправ на використання цих формул:

27 + 27b + 9b² + b³  = 3³ + 3∙3²b + 3∙3b² + b³ = (3 + b)³;

1 + 3m + 3m² + m³  = 1³ + 3∙1²m + 3∙1∙m² + m³ = (1+ m)³ ;

64  – 48c + 12c² – c³  = 4³ – 3∙4²c + 3∙4c² – c³ = (4 – c)³;

8 – 12n + 6n² – n³  = 2³ – 3∙2²n + 3∙2n² – n³ = (2 – n)³ .

Іноді стають у нагоді такі формули:

(a±b)⁴ = a⁴±4a³b +6a²b² ±4ab² +b⁴;

(a±b)⁵ = a⁵±5a⁴b +10a³b² ±10a²b³ +5ab⁴ ±b⁵;

(a±b)⁶= a⁶±6a⁵b +15a⁴b² ±20a³b³ +15a²b⁴ ±6ab⁵ +b⁶.

Для непарних n

аⁿ+ bⁿ= (a+b)( a^n-1-а^n-2b + а^n-3b² -… +а²b^n-3 - аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді

a²ⁿ⁺¹+ 1= (a+1)( a^n-1- а^n-2  - а^n-3  +… +а² - а + 1);

а³ + b³+c³ -3abc = (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac);

(a+b+c)² = a² + b² +c² +2аb+2bc+2ac;

Розглянемо декілька вправ на використання цих формул.

Використовуючи формули скороченого множення, розкладіть на множники многочлени:  

9a² + 24ab +16b²;              4a² – 9;                     9n² – 25m²;

16m² – 81n²;                      49z² – 100v²;            64a² – 900b²;

4900z² – 2500d²;                y³ + 1000;                 y³ + 125x³;

m⁴ – 16;                              n⁶ – 1;                        m⁸ – 1;

x² – y² – zx – zy;                  x² – 4 – ax – 2a;       t² + t⁴ – y⁴ – y²;

z² – 6zt + 9t² - 3z²  + 9zt;    3a² – 18a + 27;          r³  –  4r + 16 – 4r²;

49x² - (5x + y)²;                   (3 - 2u)² + 2(3 - 2u) + 1;      m⁵ – 32;                              

(2 + t)³  - (t - 2)³;                   (r - 1)³ + (r + 1)³.

Найчастіше використовують розклад на множники многочленів при розв’язування рівнянь.

Розв’яжемо рівняння способом розкладання на множники:

x⁴ - (2 - x²)² = 0

Використаємо різницю квадратів a² – b² = (a–b)(a+b) і розкладемо на множники ліву частину рівняння:

(x² - 2 + x²)(x² + 2 - x²) = 0;  

 (2x² - 2) • 2 = 0

4(x² - 1) = 0;   

(x -1)(x + 1) = 0;  

x – 1 = 0;    x₁ = 1

x + 1 = 0;    x₂ = -1

Відповідь:x₁ = -1; x₂ =1.

Використовуючи формули скороченого множення, розв'яжіть рівняння:       

x⁴ - (25 - x²)² = 0;              x⁴ - (16 - x²)² = 0;             x⁴ - (49- x²)² = 0;

(x – 5)⁴ - (25 - x²)² = 0;    (x –4)⁴ - (16 - x²)² = 0;    (x – 7)⁴ - (49- x²)²=0;

x⁴ - (36 - x)² = 0;              x⁴ - (81- x)² = 0;               x⁴ - (64- x)² = 0;

x² - (36 - x)² = 0;              x² - (1- x)² = 0;                 x² - (4- x)² = 0;

64 + n³ = 0;                     125 + n³ = 0;                    216 - n³ = 0.                   

РОЗКЛАД  НА МНОЖНИКИ МНОГОЧЛЕНІВ

СТУПЕНІ БІЛЬШЕ 2

Для будь-якого многочлена степеня більше 2 доводиться, що існує квадратний тричлен, на який даний многочлен ділиться без остачі.

Для многочлена третього степеня

Р₃(х) = ах³ + bх² + сх + d 

можливе одне з двох:

a) або він розкладається в добуток трьох лінійних двочленів, тобто        

Р₃(х) = а(х – x₁)(х – x₂)(х – x₃),

де числа  x_1,  x_2,  x₃  - нулі многочлена  третього ступеня не обов'язково різні

б)  або він розкладається в добуток двочлена і квадратного тричлена, тобто

Р₃(х) = а(х - x₁)(х² + px + q).

Приклад.   Розкласти многочлени на множники:

а) х³ + х – 2;      б) х³ – 3х + 2.

Розв’язання.

а) х³ + х – 2 = (х³ – 1) + (х – 1) = (x - 1)(х² + x +1)+(х +1)= (x - 1) (х² + x +2).

Дискримінант квадратного тричлена х² + x +2 менше нуля; тому на множники він не розкладається.

б) х³ – 3x + 2 = х³ – x – 2x + 2  =  х (х² – 1) – 2(х – 1) = (х–1)(х+1)х–2(х–1) =  (х–1)(х² + х – 2) = (х–1)(х² – 1+ х – 1)= (х-1)(х-1)(х + 2) =

= (x-1)²(х+2).

Многочлен четвертого степеня

Р₄ (х) = ах⁴ + bх³ + сх² + dх + f

розкладається:

а) або  на добуток чотирьох двочленів:

Р₄(х) = а(х – x₁)(х – x₂)(х – x₃)(х – x₄),

де числа x_1,  x_2,  x_{3 ,} x₄  нулі многочлена четвертого ступеня  не обов'язково різні;

б) або на добуток двох двочленів і   квадратного тричлена:

Р₄(х) = а(х – x₁)(х – x₂)(х² + pх +q),

де числа x_1,  x₂  не обов'язково різні;

в) або на добуток двох квадратних тричленів:

Р₄(х) = a(х² + cх + b)(х² + px + q),

де одночасно можлива рівність с = p  і b = q.

Приклад.   Розкласти на множники:

а) х⁴ – 5х² + 6;       б) х⁴ + 5х² + 6;      в) х⁴ + х³ – х – 1;  г) х⁴ + 4.

Розв’язання.

а) х⁴ - 5х² + 6 =  (х² - 3)(х² - 2) =  (х - 3^0,5)(х + 3^0,5)(х– 2^0,5)(х + 2^0,5);

б) х⁴ + 5х² + 6 =  (х² + 3)(х² + 2);

в) х⁴ + х³ – х – 1= х³(х+1) – (х+1) =  (х+1)(х³-1) = (х+1)(x -1)(х² + х+1);

г) х⁴ + 4 = х⁴ + 4х² + 4 – 4х² = (х² + 2)² – (2х)² = 

= (х² – 2х + 2)(х² + 2х + 2).

У загальному випадку  многочлен n-го степеня

Р_n(х) = а₀ хⁿ + a₁ х^n-1 + a₂ х^n-2 + a₃ х^n-3 +… + a_n

Можна записати єдиним чином у вигляді добутку многочленів, степінь кожного з яких не більше 2, тобто кожний з яких або двочлен лінійного вигляду, або квадратний тричлен, що не має коренів.

Можливість виділення у многочлена лінійних множників пов'язана з  наявністю у  цього многочлена нуля(корення).

Твердження  про коріння многочлена:

Многочлен n-й степеня має не більше n дійсних коренів (з урахуванням їх кратностей).

Многочлен непарного степеня має хоч би один дійсний корінь.

Комбіновані способи розкладання на  множники

Є багато таких многочленів від декількох змінних, розкладання яких на множники вимагає неабиякої кмітливості.

Наприклад, розкласти на множники многочлен:

(a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³

Розв’язання: 1 спосіб:

(a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ = ((a – b)³ + (b – c)³) + (c – a)³ =

= ((a -b) + (b - c))((a - b)² - (a - b) (b - c) + (b- c)²) + (c – a)³ =

= (a – c)((a-b)²-(a-b)(b-c) + (b-c)² )-(a-c)³ =

= (a – c)((a – b)² – (a – b)(b – c)+(b – c)² – (a – c)²) =

= (a – c)(a² – 2ab + b² – ab +ac + b² – bc +b² – 2bc + c² – a²+ 2ac – c²) =

= (a – c)(3b² – 3ab + 3ac – 3bc) = 

= 3 (a – c)(b² – ab + ac – bc) =

= 3(a – c)((b³ – ab ) – (bc – ac)) =

= 3(a – c) (b(b – a) – c (b – a)) =

= 3(a – c)(b – a)(b – c) =

= 3 (a – b)(b – c)(c – a).

Набагато простіше і природніше таке розв’язання:

2 спосіб:

(a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ =

a³ – 3a²b + 3ab² – b³+ b³ – 3b²c + 3bc² – c³ + c³ – 3c²a + 3ca² – a³ =

= -3a²b + 3ab² – 3b²c + 3bc² – 3c²a + 3ca² =

=  -3ab(a – b) + 3c(a² – b²) – 3c² (a – b)  =

= 3(a – b)((a + b)c – ab – c²) = 3(a –b)(a(c – b) + c(b – c)) =

= 3(a – b)(b – c)(c – a).

Пропонуємо розглянути  такі приклади:

1. a⁴ + 4 = a⁴ + 4a² + 4 – 4a² = (a² + 2)² – 4a² = (a² – 2a + 2)(a² + 2a + 2);

2. a⁴ + a² + 1 = a⁴ + 2a² + 1 – a² = (a² + a + 1)(a² – a + 1);

3. а⁵ + a +1 = a⁵ + a⁴ – a⁴ + a³ – a³ + a² – a²  + a + 1 =

= (a⁵ + a⁴ + a³) – (a⁴ + a³ + a²) + (a² + a + 1) = (a² + a + l)(a³ – a² + 1);

4. a¹⁰ + a⁵ + 1 =

(a¹⁰ + a⁹+ a⁸) – (a⁹ + a⁸ + a⁷) + (a⁷ + a⁶ + a⁵) – (a⁶ + a⁵ + a⁴) +

+ (a⁵ + a⁴ + а³) – (a³ + a² + a) + (a² + a + 1) =

= (a² + a + 1)(a⁸ – a⁷ + a⁵ – a⁴ + a³ – a + 1);

5. a³ + b³ + c³ – 3abc =

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + c³ – 3abc –3a²b – 3ab² =

= ((a + b)³+ c³) – 3ab(a + b + c) =

= (a + b + c)(a² + 2ab + b²  – ac – bc + c²) –3ab(a +b + c) =

= (a + b +  c)(a³ + b³ + c² – ab – ac – bc).

Задачі для дослідження властивостей цілих чисел з використанням розкладу на множники.

1. Чи вірно, що:

а) число 5⁵ – 5⁴ + 5³ ділиться на 21;

б) число 957² – 43² ділиться на 1000?

Дослідження.

а)      Перетворимо даний вираз:  

5⁵ – 5⁴ + 5³ = 5³(5² – 5 + 1) = 5³ ∙ 21.
Як бачимо, дане число ділиться на 21.

б)      Перетворимо даний вираз:

957² – 43² = (957 + 43)(957 – 43) = 1000∙914.

Як бачимо,  даний вираз ділиться на 1000.

2. Чи вірно, що при кожному натуральному значенні n:

а) (n + 1)² - (n – 1)² ділиться на 4;

б) (3n + 2)² - (3n – 2)² ділиться на 24;

в) (5n + 3)² – (5n – 3)² ділиться на 60?

Дослідження.

а)      Перетворимо даний вираз:

(n + 1)² - (n - 1)² = (n + 1 + n - 1)(n + 1 - n + 1) = 2n∙2 = 4n.

Отриманий вираз кратний 4, тобто ділиться на 4.

б)(3n + 2)² - (3n - 2)² = (3n + 2 +3n - 2)(3n + 2 - 3n + 2) = 6n∙4 = 24n.
Отриманий вираз кратний 24, тобто ділиться на 24.

в)(5n + 3)² - (5n - 3)² = (5n + 3 + 5n - 3)(5n + 3 – 5n + 3) = 10n∙6 = 60n.
Отриманий вираз кратний 60, тобто ділиться на 60.

3. Чи вірно, що квадрат суми двох додатних чисел більший від суми їх квадратів?

Дослідження.

 Нехай дано два додатних числа а і b. Знайдемо квадрат їх суми:

(a + b)² = а² + 2аb + b² = (а² + b²) + 2аb.

Оскільки а і b – числа додатні, величина 2аb – також число додатне, отже, квадрат суми двох додатних чисел більший від суми їх квадратів.

4. Чи вірно, що квадрат суми двох чисел більший від їх подвоєного добутку?

Дослідження.

Нехай дано два числа n і m. Знайдемо квадрат їх суми:

(n + m)² = n² + 2nm + m² = 2nm + (n² + m²).

Величина m² + n² додатна при будь-яких значеннях n і m, таким чи­ном, квадрат суми двох чисел більший від їх подвоєного добутку.

5. Чи вірно, що різниця квадратів двох непарних чисел ділиться на 4?

Дослідження.

Нехай дано два непарних числа: 2а + 1 і 2b + 1. Знайдемо різницю квад­ратів цих чисел:

(2а + 1)² - (2b + 1)²  = (2а + 1 + 2b + 1)(2а + 1 – 2b - 1) =

=  (2а + 2b+ +2)(2а – 2b) = 2(а + b + 1) ∙2(а - b) = 4(а + b + 1)(а - b).

Отриманий вираз кратний 4, отже, різниця квадратів двох непарних чисел ділиться на 4.

6. Чи вірно, що  різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8?

Дослідження.

Нехай дано два послідовних непарних числа 2а + 1 і 2а + 3. Знайдемо різницю квадратів цих чисел:  

(2а + 3)² - (2а + 1)² =  (2а + 3 + 2а + 1)(2а + 3 - 2а - 1) =

= (4а + 4)∙2 = 4 ∙2(а + 1) = 8(а + 1).

Отриманий вираз кратний 8, отже, різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8.

7. Чи вірно, що різниця квадратів двох послідовних парних чисел на 8 не ділиться?

Дослідження.

Дано два послідовних парних числа: 2а і 2а + 2.

Знайдемо різницю квадратів цих чисел:

(2а + 2)² - (2а)² = (2а + 2 + 2а)(2а + 2 - 2а) =

= (4а + 2)∙2 = 2(2а + 1) ∙ 2 = 4(2а + 1).

Як бачимо, різниця квадратів двох послідовних парних чисел на 8 не ділиться, оскільки 2а + 1 – число непарне.

8. Чи вірно, що сума двох послідовних цілих чисел дорівнює різниці їх квадратів?

Дослідження.

Нехай дано два послідовних цілих числа а і а + 1.

Знайдемо їх суму:   

а + а + 1 = 2а + 1.

Знайдемо різницю їх квадратів:

(а + 1)² - а² = (а + 1 + а)(а + 1 - а) = 2а + 1.

Як бачимо, сума двох послідовних цілих чисел дорівнює різниці їх квадратів.

9. Чи вірно, що непарне число дорівнює різниці квадратів двох деяких цілих чисел?

Дослідження.

Будь-яке непарне число можна представити у вигляді виразу 2а + 1. Перетворимо цей вираз:

2а + 1 = 2а + 1 + а² - а² = (а² + 2а + 1) - а² = (а + 1)² - а².

Як бачимо, непарне число дорівнює різниці квадратів двох деяких цілих чисел.

10. Чи вірно, що квадрат непарного числа при діленні на 8 дає в остачі 1?

Дослідження.

Нехай дано непарне число 2а + 1.

Квадрат цього числа дорівнює:

(2а + 1)² = 4а² + 4а + 1 = 4а(а + 1) + 1;

число а(а + 1) – парне при будь-яких значеннях а, тоді число 4а(а +1) – кратне 8, тобто ділиться на 8. Отже, квадрат будь-якого непарного чис­ла при діленні на 8 дає в остачі 1.

11. Чи вірно, якщо сума двох натуральних чисел ділиться на 10, то квадрати цих чисел закінчуюються однаковими цифрами?

Дослідження.

Якщо квадрати двох натуральних чисел, сума яких ділиться на 10, закінчуюються однаковими цифрами, то різниця квадратів цих чисел закінчується цифрою 0, тобто кратна 10.

Нехай дано числа а і b, сума яких кратна 10, тоді:

а² - b² = (а + b) (а - b).

Як бачимо, а² - b² ділиться на 10, оскільки а + b ділиться на 10. Отже, квадрати даних чисел закінчуюються однаковими цифрами.

Запитання та задачі для  перевірки знань

1. Знайти цифри а та b так, щоб число з такими цифрами 32а35717b ділилося на 72.

Відповідь.  a =2, b = 6.

2. Знайти цифри а та b так, щоб число з такими цифрами 62аb427 ділилося на 99.

Відповідь. а = 2, b = 4.

3. Чи вірно, що, якщо в запису 3*4*1*0*8*2*40923*0*320*2*56 на місце зірочок поставити в будь-якому місці цифри 0,1, 2, 3, …, 7, 8, 9(кожну один раз), то отримане число ділиться на 396?

Відповідь. вірно.

 4. Приписати до числа19961996 справа три цифри так, щоб отримане число ділилося на 7, на 8, і на 9.

Відповідь. 040 або 544.

5. Чи вірно, що існує квадрат натурального числа, що закінчується на цифри 74?

Відповідь: не існує.

6. Чи вірно, що існує куб натурального числа, що закінчується на цифри 228?

Відповідь: не існує.

7. Чи вірно, що існує квадрат натурального числа, що складається із: нулів і одиниць, в якому 300 одиниць?

Відповідь: не існує.

8. Чи вірно, що існує квадрат натурального числа, що складається із: нулів і трійок?

Відповідь: не існує.

9. Чи вірно, що існує квадрат натурального числа, що складається із: вісімок і шісток?

Відповідь: не існує.

Довести такі твердження:

1. а)Рівняння виду   з цілими коефіцієнтами

(2n-1)∙ xy + (2k-1)∙x +(2p-1)∙y  +  2m = 0

та невідомими (х,у) на множині непарних чисел розв’язку немає, а має розв’язок виду (2g; 2q).

б)Рівняння виду  з непарними коефіцієнтами

(2n-1)∙ xy + (2k-1)∙x +(2p-1)∙y  +  2m+1 = 0

та невідомими (х,у) на множині парних чисел розв’язку немає, а має розв’язок виду (2g +1; 2q+1).

в). Рівняння виду  

2n∙xy + 2k∙x +2p∙y  +  2m +1 = 0

з невідомими (х,у) на множині цілих  чисел немає розв’язку.

2. Рівняння виду  

с₁∙xy + с₂∙x + с₃∙y  +  с₄ = 0

з невідомими (х,у) на множині цілих  чисел має розв’язок, якщо добуток середніх коефіцієнтів  с₂  та с₃  відповідно дорівнює добутку крайніх коефіцієнтів  с₁  та с₄ .  Тобто виконується  рівність

с₁∙с₄  = с_{2 ∙} с₃ ,

або виконується пропорція: 

с₁/с₂  = с₃ / с_4.

4. Рівняння виду  

с₁∙xy + с₂∙x + с₃∙y  +  с₄ = 0

з невідомими (х,у) на множині дійсних  чисел має розв’язок (х, 1/х) тоді і тільки тоді, коли середнє геометричне середніх коефіцієнтів, тобто  (с₂∙с₃)^0,5  дорівнює крайнім коефіцієнтам  с₁  та с₄ .  Тобто виконується  подвійна рівність

(с₂∙с₃)^0,5  = с₁  = с₄.