Табличний аналіз
турнірів чотирьох команд.
Задача для
затятих шанувальників футбольних
змагань.
Група C
|
Очки
|
Англія
|
5
|
США
|
5
|
Словенія
|
1
|
Алжир
|
1
|
Задача 1. Під час проведення
чемпіонаті світу з футболу Вася складав
таблиці набраних очок в груповому
турнірі збірними країн світу. Кожна
збірна зустрічалася тільки один раз зі своїм суперником в груповому турнірі. При
складанні таблиць трьох групових турнірів Вася помилявся тільки в одному рядку кожної таблиці.
Відомо, що збірна отримувала тільки 3 очки за виграш, а за нічию – тільки 1 очко, і за програш – тільки 0 очок. Спробуйте знайти помилки в таблицях і обґрунтувати
свої виправлення.
Група A
|
Очки
|
Уругвай
|
8
|
Мексика
|
4
|
ПАР
|
4
|
Франція
|
1
|
Група B
|
Очки
|
Нідерланди
|
9
|
Японія
|
6
|
Данія
|
3
|
Камерун
|
1
|
Розв’язання. Всього існує 729 варіантів складання таблиць на чотири збірні в одній
групі з одним колом ігор. Так як усього у груповому турнірі відбулося 6 ігор, кожна гра могла мати три результати
для конкретної збірної – це або виграш(В), або нічия(Н), або програш(Пр). Тому
3*3*3*3*3*3 = 36 = 729
варіантів. Розглянемо усі дев’ять випадків можливих результатів виступу однієї команди в
груповому турнірі на чотири команди.
Позначення
окремих
функцій
здобутків
|
Можливі результати трьох ігор команди.
Функція здобутків команди
k(r1; r2; r3) = r1 + r2 + r3, де rn ={0;1;3}
|
Очки або
Область значення
функції
здобутків
k(r1; r2; r3)
|
k1
|
(Пр; Пр; Пр) = k(0; 0; 0)
|
0
|
k2
k3
k4
|
(Пр; Пр; Н) = k(1; 0; 0)
(Пр; Н; Пр;) = k(0; 1; 0)
(Н; Пр; Пр;) = k(0; 0; 1)
|
1
|
k5
k6
k7
|
(Пр; Н; Н) = k(0; 1; 1)
(Н; Пр; Н) = k(1; 0; 1)
(Н; Н; Пр;) = k(1; 1; 0)
|
2
|
k8
k9
k10
k11
|
(Н;
Н; Н) = k(1; 1; 1)
(Пр;
Пр; В) = k(3; 0; 0)
(Пр;
В; Пр;) = k(0; 3; 0)
(В; Пр; Пр;) = k(0; 0; 3;)
|
3
|
k12
k13
k14
|
(Пр; Н; В) = k(0; 1; 3)
(Н; Пр; В) = k(1; 0; 3)
(Н; В; Пр) = k(1; 3; 0;)
|
4
|
k15
k16
k17
|
(Н; Н; В) = k(3; 1; 1)
(Н; В; Н) = k(1; 3; 1)
(В; Н; Н) = k(1; 1; 3)
|
5
|
k18
k19
k20
|
(Пр; Н; В) = k(0; 3; 3)
(Пр; Н; В) = k(3; 0; 3)
(Пр; Н; В) = k(3; 3; 0;)
|
6
|
k21
k22
k23
|
(Н; В; В) = k(1; 3; 3)
( В; Н; В) = k(3; 1; 3)
( В; В; Н) = k(3; 3; 1)
|
7
|
k24
|
(В; В; В) = k(3; 3; 3)
|
9
|
Зауваження. Простір функції здобутків команд злічений, їх кількість дорівнює 24. Функція здобутків команд k(r1; r2; r3) не може дорівняти числу 8.
Позначення
функції
втрат
команди
|
Можливі результати трьох ігор команди.
Функція втрат команди
v(r1; r2; r3) = 9 - (r1 + r2 + r3 ) = 9 - k(r1; r2; r3) ,
де rn ={0;1;3}
|
значення
функції
здобутків
k(r1; r2; r3)
|
v1
|
v(r1; r2; r3) = 9 - k(0; 0; 0)
|
9
|
v2
|
v(r1; r2; r3) = 9 -
k(0; 0; 1)
|
8
|
v3
|
v(r1; r2; r3) = 9 -
k(0; 1; 1)
|
7
|
v4
|
v(r1; r2; r3) = 9 - k(1; 1; 1)
|
6
|
v5
|
v(r1; r2; r3) = 9 - k(0; 1; 3)
|
5
|
v6
|
v(r1; r2; r3) = 9 - k(1; 1; 3)
|
4
|
v7
|
v(r1; r2; r3) = 9 - k(0; 3; 3)
|
3
|
v8
|
v(r1; r2; r3) = 9 - k(1; 3; 3)
|
2
|
v9
|
v(r1; r2; r3) = 9 - k(3; 3; 3)
|
0
|
Зауваження. Функція втрат команди v(r1; r2; r3) не
може дорівняти числу 1.
Властивість функція здобутків команди і втрат команди.
Функція здобутків команди і
втрат команди обмежена знизу і зверху:
0 =< v(r1; r2; r3) =< 9.
0 =< k(r1; r2; r3) =< 9.
Для кількісного аналізу
групового турніру введемо такі
статистичні характеристики:
Формула по визначенню набраних суми очок усіх команд у групі:
С = С1 +
С2 + С3 +С4,
де С1 – остаточна кількість очок команди, що зайняла 1 місце, С2 -
остаточна кількість очок команди
, що зайняла 2
місце, де С3 – остаточна кількість очок команди,
що зайняла 3
місце, С4 -
остаточна кількість очок команди
, що зайняла 4
місце.
Функція здобутків турніру С (k1; k2; k3; k4) = k1 + k2 + k3 + k4, де kn ={0;1;2; … 6;7;9}
ВЛАСТИВІСТЬ ФУНКЦІЇ ЗДОБУТКІВ
ТУРНІРУ ЧОТИРЬОХ КОМАНД В ОДНЕ КОЛО
Якщо грубо оцінювати, то всього
існує не більше 27 таблиць турніру чотирьох команд, отже і потужність простору функцій
здобутків турніру чотирьох команд не перевищує числа 27. Далі наведені 25
прикладів можливих варіантів остаточних таблиць, сумування йде від найбільшого
доданку до найменшого за формулою С(k1; k2; k3; k4) = k1 + k2 + k3 +
k4,
С1 = 3+3+3+3
=12; С2 = 5+3+3+2 =13;
С3 = 7+3+2+2 =14; С4 = 5+5+2+2 =14;
С5 = 5+4+3+2
=14; С6 = 5+5+3+1 =14; С7 = 6+5+2+2 =15; С8 = 7+4+2+2 =15;
С9 = 9+2+2+2
=15; С10 = 7+4+3+1 =15; С11 = 5+5+4+1 =15; С12 = 5+5+5+0 =15;
С13 = 4+4+4+4
=16; С14 = 6+5+4+1 =16; С15 = 7+5+4+0 =16; С16 = 9+4+2+1 =16;
С17 = 7+6+2+1
=16; С18 = 7+4+4+1 =16; С19 = 7+5+3+1 =16; С20 = 7+7+3+0 =17;
С21 = 9+4+3+1 =17; С22 =
6+4+4+3 =17; С23 = 9+6+1+1 =17; С24 = 6+6+4+1 =17;
С25 = 9+6+3+0 =18.
Завдання для
самостійної дослідження. Спробуйте
поповнити вище наведений перелік іншими не тотожно рівними функціями здобутків.
Звертаємо увагу на таку
властивість функції здобутків турніру: якщо С >16, то жодна команда турніру чотирьох не може
набрати або 2 очки, або 5 очок.
Звертаємо увагу на таку
властивість функції здобутків турніру: якщо С <15, то жодна команда турніру чотирьох не може
набрати або 6 очки, або 9 очок.
Звертаємо увагу на
властивості функції здобутків турніру. Сума усіх очок С (k1; k2; k3; k4), які можуть набрати по
закінченню групового турніру збірні
однієї групи може набувати значень починаючи з 12 очок до 18 очок включно, а
саме: 12(усі збірні розійшлися з
миром), 13(п’ять ігор зіграні в нічию), 14(чотири гри зіграні внічию), 15(тільки три
гри зіграні внічию), 16(тільки дві гри зіграні внічию), 17(лише одну гру зіграли внічию), 18(нічиїх не біло зовсім).
Таким чином, будь-яка функція
здобутків турніру обмежена знизу і зверху:
12 =< С (k1; k2; k3; k4) =< 18.
Основна властивість турнірної таблиці 4х4: Більше одної команди-учасниці групового турніру
4 команд не можуть набрати по нуль очок.
Ймовірність команда учасниця
турніру набрати нуль очок не перевищує 25%. Ймовірність команди учасниці
набрати максимум очок не перевищує 25%.
Доведення. Допустимо, що є
дві команди, які отримали по нуль очок. Проте у грі між собою ці команди не могли одночасно програти. Це протиріччя
доводить властивість.
Формула по визначенню
кількості N нічиїх у групі:
N = 18 – С, або N º C(mod 12)
де С - сума усіх очок, які
можуть набраних по закінченню групового
турніру збірні країн із однієї групи.
Функція нічиїх турніру чотирьох команд
N (k1; k2; k3; k4) = 18 - С (k1; k2; k3; k4) = 18 - (k1 + k2 + k3 + k4),
де kn ={0;1;2; … 6;7;9}. Таким чином, функція нічиїх
турніру обмежена знизу і зверху:
0 =< N(k1; k2; k3; k4) =< 6.
Формула по визначенню
кількості В виграшів у групі:
В = С – 12, або В = 6 – N,
де С - сума усіх очок, які
можуть набраних по закінченню групового
турніру збірні країн із однієї групи.
Функція виграшів турніру чотирьох команд
В(k1; k2; k3; k4) = С (k1; k2; k3; k4) – 12 = (k1 + k2 + k3 + k4)
- 12,
де kn ={0;1;2; … 6;7;9}. Таким чином, функція виграшів
турніру чотирьох команд обмежена знизу і зверху:
0 =< В(k1; k2; k3; k4) =< 6.
Формула по визначенню
кількості P програшів у групі:
P = С – 12, або В = 6 – N,
де С - сума усіх очок, які можуть
набраних по закінченню групового турніру
збірні країн із однієї групи.
Отже, P = В, при цьому існує випадок, коли P = В = N = 3, адже В + N = 6.
Функція програшів турніру чотирьох команд
Р(k1; k2; k3; k4) = С (k1; k2; k3; k4) – 12 = (k1 + k2 + k3 + k4)
- 12,
де kn ={0;1;2; … 6;7;9}. Таким чином, функція програшів
турніру чотирьох команд обмежена знизу і зверху:
0 =< Р(k1; k2; k3; k4) =< 6.
Отже, маємо дві тотожні
функції Р(k1; k2; k3; k4) = В(k1; k2; k3; k4).
Звертаємо увагу на те,
що існують розв’язки рівнянь з двома невідомими на області
визначення функцій виграшу і нічиїх, а саме:
В – N = 0; В – N
= 1; В – N
= 2; В – N
= 3; В – N
= 4; В – N
= 5; В – N
= 6.
В – N
= 0; В – N
= -1; В – N = -2; В – N
= -3; В – N
= -4; В – N
= -5; В – N
= -6.
А рівняння
В(k1; k2; k3; k4) + N(k1; k2; k3; k4) = 6.
є тотожністю на множині
заданих функцій.
Діапазон турнірної таблиці
обчислюється за формулою:
D = С1 - С4,
де С1 – остаточна кількість очок команди, що зайняла 1 місце, С4 - остаточна кількість
очок команди , що зайняла останнє 4 місце.
Чим менший діапазон турнірної таблиці, тим рівні за
потужністю команди турніру, а якщо діапазон великий, то за потужністю
команди-учасники різні.
Функція діапазону турніру чотирьох команд
D(k1; k2; k3; k4) = max {k1; k2; k3; k4} – min {k1; k2; k3; k4}
де kn ={0; 1; 2; … 6; 7; 9}. Таким чином, функція діапазону
турніру чотирьох команд обмежена знизу і зверху:
0 =< D (k1; k2; k3; k4) =< 9.
До речі, для обчислення функції максимуму і функції
мінімуму можна використати рекурентні
формули:
max {k1; k2; k3; k4} =
max { max {k1; k2}; max {k3; k4}},
де
max{х; у} = 0,5(/х - у/ + х + у) ;
min{k1; k2; k3; k4} = min{ min {k1; k2}; min {k3; k4}},
де
min{х; у} = 0,5(х + у - /х - у/).
Довга медіана турнірної
таблиці обчислюється за формулою:
M = 0,5(С1+С4),
де С1 – остаточна кількість очок команди, що зайняла 1 місце, С4 - остаточна кількість
очок команди , що зайняла останнє 4 місце.
Функція довгої
медіани турнірної турніру чотирьох команд
М(k1; k2; k3; k4) = 0,5(max{k1; k2; k3; k4} + min{k1; k2; k3; k4})
де kn ={0; 1; 2; … 6; 7; 9}. Таким чином, функція довгої медіани турніру чотирьох команд обмежена
знизу і зверху:
2 =< М(k1; k2; k3; k4) =< 5,5.
Коротка медіана турнірної
таблиці обчислюється за формулою:
m = 0,5(С2 +С3),
де С2 – остаточна кількість очок команди, що зайняла 2 місце, С3 -
остаточна кількість очок команди
, що зайняла 3
місце.
Властивість короткої та
довгої медіанами: Якщо різниця М - m відʼємна, то за потужністю
команди-середняки є відчутними конкурентами для лідера, якщо різниця М - m нульова, то є команди, що
мають рівну потужність, якщо різниця М -
m додатна, то команди-лідери
має велику потужність.
Функція короткої медіани турнірної турніру чотирьох команд
m(k1; k2; k3; k4) = 0,5(k1 + k2 + k3 + k4 - max{k1; k2; k3; k4} - min{k1; k2; k3; k4})
де kn ={0; 1; 2; … 6; 7; 9}. Таким чином, функція короткої медіани турніру чотирьох
команд обмежена знизу і зверху:
2 =< m(k1; k2; k3; k4) =< 5.
Cума стрибків турнірної таблиці обчислюється за
формулою:
S = (C1-C2) + (C2-C3) + (C3-C4)= C1 - C4,
де С1 – остаточна кількість
очок команди, що зайняла 1 місце, С2 - остаточна кількість очок команди
, що зайняла 2 місце, де С3 – остаточна кількість очок команди, що зайняла 3
місце, С4 - остаточна кількість очок команди , що зайняла 4 місце.
Функція cуми стрибків турнірної таблиці
S(k1; k2; k3; k4) = max{k1; k2; k3; k4} - min{k1; k2; k3; k4}
де kn ={0; 1; 2; … 6; 7; 9}. Таким чином, функція cуми стрибків турніру чотирьох команд обмежена знизу і зверху:
0 =< S(k1; k2; k3; k4) =< 9.
Зауваження. Функція
діапазону турніру чотирьох команд D і
функція cуми стрибків турнірної таблиці
S це тотожно рівні функції:
S(k1; k2; k3; k4) = D(k1; k2; k3; k4).
Потужність команди Аі (%) в турнірній таблиці 4x4 обчислюється за формулою:
Аі =100%*(Сі):С
де Сі – остаточна кількість
очок команди, що зайняла і-те місце, С - остаточна сума очок усіх команд-учасників , що зайняла останнє від 1
по 4 місце.
Функція потужності
команди в турнірі
А(x) =100%*(x):С
де kn ={0; 1; 2; … 6; 7; 9}. Таким чином, функція потужності команди в турнірі обмежена
знизу і зверху:
0% =< А(x) =< 60%.
Властивість потужності
команди-лідера у турнірі з чотирьох команд: Потужність команди-лідера в турнірі чотирьох команд повинна бути не менше ніж 25 % , а гарантована кількість набраних очок
команди-лідера повинна бути не менше 5 очок. Команда лідер може отримати не
більше 60% від загальної суми очок, які розігруюються в турнірі чотирьох
команд.
Розглянемо деякі можливі
варіанти різних результатів групового турніру за участю 4 команд, тобто виконаємо
статистичний аналіз цікавих випадків остаточної турнірної таблиці 4х4 з одним
колом ігор:
Випадок 1
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
нічия
|
нічия
|
нічия
|
3
|
|
А2
|
нічия
|
нічия
|
нічия
|
3
|
|
А3
|
нічия
|
нічия
|
нічия
|
3
|
|
А4
|
нічия
|
нічия
|
нічия
|
3
|
|
Унікальний(єдиний) випадок таблиці , коли С = 12, N = 6, P = В =0, M = 3, m = 3. S = 0, D = 0. Рівні
за потужністю усі збірні:
А1= А2=
А3= А4=25%.
|
всього
|
12
|
|||
Випадок 2
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
нічия
|
нічия
|
виграш
А1
|
5
|
|
А2
|
нічия
|
нічия
|
нічия
|
3
|
|
А3
|
нічия
|
нічия
|
нічия
|
3
|
|
А4
|
програш
А4
|
нічия
|
нічия
|
2
|
|
Унікальний (єдиний) випадок таблиці ,
коли С =13,
N = 5, P = В =1. M = 3,5, m = 3. S = 3, D = 3.
Є дві рівні
за потужністю збірні:
А1= 38,46%.
А2 = А3= 23,08%. А4=15,38%.
|
всього
|
13
|
|||
Випадок 3
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
нічия
|
виграш
А1
|
виграш
А1
|
7
|
|
А2
|
нічия
|
нічия
|
нічия
|
3
|
|
А3
|
програш
А3
|
нічия
|
нічия
|
2
|
|
А4
|
програш
А4
|
нічия
|
нічия
|
2
|
|
Не єдиний
випадок таблиці, коли С = 14, N = 4, P = В =2.
M = 4,5, m = 0,5. S = 5, D = 5. Є рівні за
потужністю збірні: А1= 50%. А2
= 21,43%. А3= А4=14,29%.
|
всього
|
14
|
|||
Випадок 4
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
нічия
|
нічия
|
виграш
А1
|
5
|
|
А2
|
нічия
|
виграш
А2
|
нічия
|
5
|
|
А3
|
нічия
|
програш
А3
|
нічия
|
2
|
|
А4
|
програш
А4
|
нічия
|
нічия
|
2
|
|
Не єдиний випадок таблиці , коли С =14, N = 4, P = В =2. M = 3,5, m = 3,5. S = 3, D = 3. є рівні за
потужністю збірні:
А1= А2 = 35,71%, А3= А4=14,29%.
|
всього
|
14
|
|||
Випадок 5
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
виграш
А1
|
нічия
|
нічия
|
5
|
|
А2
|
програш
А2
|
нічия
|
виграш
А3
|
4
|
|
А4
|
нічия
|
нічия
|
нічия
|
3
|
|
А3
|
нічия
|
програш
А2
|
нічия
|
2
|
|
Не єдиний випадок таблиці, коли С =15, N = 4, P = В =2. M = 3,5,
m = 3,5. S = 3, D = 3. є різні за
потужністю збірні:
А1= 35,71%, А2 = 28,57%, А3= 21,43%, А4=14,29%.
|
всього
|
14
|
|||
Випадок 6
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
нічия
|
нічия
|
виграш
А1
|
5
|
|
А2
|
нічия
|
нічия
|
виграш
А2
|
5
|
|
А3
|
нічия
|
нічия
|
нічия
|
3
|
|
А4
|
програш
А4
|
програш
А4
|
нічия
|
1
|
|
Не єдиний
випадок таблиці , коли С =14, N = 4, P = В =2.
M = 3, m = 4. S = 4, D = 4. є
рівні за потужністю збірні:
А1= А2 = 35,71%, А3= 21,43%. А4=7,14%.
|
всього
|
14
|
|||
Випадок 7
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
програш
А1
|
виграш
А1
|
виграш
А1
|
6
|
|
А2
|
виграш
А2
|
нічия
|
нічия
|
5
|
|
А3
|
програш
А3
|
нічия
|
нічия
|
2
|
|
А4
|
програш
А4
|
нічия
|
нічия
|
2
|
|
Не єдиний випадок таблиці, коли С =15, N = 3, P = В =3. M = 4, m = 3,5. S = 4, D = 4. є рівні за
потужністю збірні:
А1= 40%, А2 = 33,33%, А3= 13,33%, А4=13,33%.
|
всього
|
15
|
|||
Випадок 8
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
виграш
А1
|
виграш
А1
|
нічия
|
7
|
|
А2
|
програш
А3
|
нічия
|
виграш
А1
|
4
|
|
А3
|
програш
А3
|
нічия
|
нічия
|
2
|
|
А4
|
нічия
|
програш
А3
|
нічия
|
2
|
|
Не єдиний
випадок таблиці, коли С =15, N = 3, P = В =3. M = 5, m = 3. S = 5, D = 5. є рівні за
потужністю збірні:
А1= 46,67%, А2 = 26,67%, А3= 13,33%, А4=13,33%.
|
всього
|
15
|
|||
Зауваження. Якщо сума усіх очок набраними усіма командами не перевищує 14, то не існує на груповому турнірі
із чотирьох команд за системою чемпіонату світу з футболу, такого учасника який
би виграв усі свої матчі, та учасника, який би програв усі свої матчі на цьому
турнірі. Доведення. Допустимо, що така
команда існує, тоді кількість усіх нічиїх на турнірі дорівнювала 18 – 14 >=
4,( або 4, або 5, або 6 нічиїх), а ось кількість усіх виграшів 6-4 =<2. (
або 2, або 2, або 0 виграшів), Отже, протиріччя доводить неможливість такого
припущення.
Випадок 9
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
виграш
А1
|
виграш
А1
|
виграш
А1
|
9
|
|
А2
|
програш
А2
|
нічия
|
нічия
|
2
|
|
А3
|
програш
А3
|
нічия
|
нічия
|
2
|
|
А4
|
програш
А4
|
нічия
|
нічия
|
2
|
|
Не єдиний випадок таблиці, коли С =15, N = 3, P = В =3. M = 5,5, m = 2. S = 7, D = 7. є рівні за
потужністю збірні:
А1= 60%, А2 = А3= А4=13,33%.
|
всього
|
15
|
|||
Випадок 10
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
виграш
А1
|
нічия
|
виграш
А1
|
7
|
|
А2
|
програш
А2
|
нічия
|
виграш
А2
|
4
|
|
А4
|
нічия
|
нічия
|
нічия
|
3
|
|
А3
|
програш
А4
|
програш
А4
|
нічия
|
1
|
|
Не єдиний випадок таблиці, коли С =15, N = 3, P = В =3. M = 4,
m = 3,5. S = 6, D = 6. є різні за
потужністю збірні:
А1= 46,67%, А2 = 26,67%, А3= 20%, А4=6,67%.
|
всього
|
15
|
|||
Випадок 11
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
нічия
|
виграш
А1
|
нічия
|
5
|
|
А2
|
нічия
|
нічия
|
виграш
А2
|
5
|
|
А3
|
програш
А3
|
нічия
|
виграш
А3
|
4
|
|
А4
|
нічия
|
програш
А4
|
програш
А4
|
1
|
|
Не єдиний
випадок таблиці, коли С =15, N = 3, P = В =3. M = 3, m = 4,5. S = 4, D = 4. є рівні за
потужністю збірні:
А1= 33,33%, А2 = 33,33%, А3= 26,67%, А4=6,67%.
|
всього
|
15
|
|||
Випадок 12
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
нічия
|
нічия
|
виграш
А1
|
5
|
|
А2
|
нічия
|
нічия
|
виграш
А2
|
5
|
|
А4
|
нічия
|
нічия
|
виграш
А3
|
5
|
|
А3
|
програш
А4
|
програш
А4
|
програш
А4
|
0
|
|
Не єдиний випадок таблиці, коли С =15, N = 3, P = В =3. M = 2,5,
m = 0. S = 5, D = 5. є рівні за
потужністю збірні:
А1= А2 = А3= 33,33%, А4=0%.
|
всього
|
15
|
|||
Випадок 13
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
виграш
А1
|
програш
А1
|
нічия
|
4
|
|
А2
|
програш
А2
|
нічия
|
виграш
А2
|
4
|
|
А4
|
виграш
А3
|
нічия
|
програшА3
|
4
|
|
А3
|
нічия
|
програш
А4
|
виграш А4
|
4
|
|
Не єдиний випадок таблиці, коли С =16, N = 2, P = В =4. M = 4,
m = 4. S = 0, D = 0. усі рівні за потужністю збірні:
А1= А2 = А3= А4=25%.
|
всього
|
16
|
|||
Зауваження. Існує всього два випадки, коли
усі учасники на груповому турнірі із чотирьох команд за системою
чемпіонату світу з футболу набирають однакову кількість очок(випадок 1: по 3
очки; випадок 2: по 4 очки).
Випадок 14
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
програш
А1
|
виграш А1
|
виграш А1
|
6
|
|
А2
|
виграш
А1
|
нічия
|
нічия
|
5
|
|
А4
|
програш
А3
|
нічия
|
виграш А3
|
4
|
|
А3
|
програш
А4
|
нічия
|
програш А4
|
1
|
|
Не єдиний випадок таблиці, коли С =16, N = 2, P = В =4. M = 3,5,
m = 4,5. S = 5, D = 5, є різні за
потужністю збірні:
А1= 37,5%, А2 = 31,25%, А3= 25%, А4=6,25%
|
всього
|
16
|
|||
Випадок 25
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
нічия
|
виграш
А1
|
виграш
А1
|
7
|
|
А2
|
нічия
|
виграш А2
|
нічия
|
5
|
|
А4
|
програшА3
|
програшА3
|
виграш А3
|
3
|
|
А3
|
програшА4
|
нічия
|
програшА4
|
1
|
|
Не єдиний випадок таблиці, коли С =16, N = 2, P = В =4. M = 4,
m = 4. S = 0, D = 0. усі рівні за потужністю збірні:
А1 = 43,75%, А2 = 31,25%, А3 = 18,75, А4 = 6,25%.
|
всього
|
16
|
|||
Випадок 15
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
нічия
|
виграш
А1
|
виграш
А1
|
7
|
|
А2
|
нічия
|
нічия
|
виграш
А2
|
5
|
|
А4
|
програш
А3
|
нічия
|
виграш
А3
|
4
|
|
А3
|
програш
А4
|
програш
А4
|
програш А4
|
0
|
|
Не єдиний випадок таблиці, коли С =16, N = 2, P = В =4. M = 3,5,
m = 4,5. S = 7, D = 7. є різні за
потужністю збірні:
А1= 37,5%, А2 = 31,25%, А3= 25%, А4=0%
|
всього
|
16
|
|||
Випадок 16
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
виграш
А1
|
виграш
А1
|
виграш
А1
|
9
|
|
А2
|
програш
А2
|
нічия
|
виграш
А2
|
4
|
|
А4
|
програш
А3
|
нічия
|
нічия
|
2
|
|
А3
|
програш
А4
|
програш
А4
|
нічия
|
1
|
|
Не єдиний випадок таблиці, коли С =16, N = 2, P = В =4. M = 5,
m = 3. S = 8, D = 8. є різні за
потужністю збірні:
А1= 56,25%, А2 = 25%, А3=12,5%, А4=6,25%
|
всього
|
16
|
|||
Випадок 17
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
виграш
А1
|
нічия
|
виграш
А1
|
7
|
|
А2
|
програш
А2
|
виграш
А2
|
виграш
А2
|
6
|
|
А4
|
нічия
|
програш
А3
|
нічия
|
2
|
|
А3
|
програш
А4
|
програш
А4
|
нічия
|
1
|
|
Не єдиний випадок таблиці, коли С =16, N = 2, P = В =4. M = 4,
m = 4. S = 6, D = 6. є різні за
потужністю збірні:
А1= 43,75%, А2 = 37,5%, А3=12,5%, А4=6,25%
|
всього
|
16
|
|||
Випадок 18
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
виграш
А1
|
виграш
А1
|
нічия
|
7
|
|
А2
|
програш
А2
|
виграш
А2
|
виграш
А2
|
4
|
|
А4
|
виграш
А3
|
програш
А3
|
нічия
|
4
|
|
А3
|
нічия
|
програш
А4
|
нічия
|
1
|
|
Не єдиний випадок таблиці, коли С =16, N = 2, P = В =4. M = 3,5
m =4. S = 6, D = 6. є рівні за
потужністю збірні:
А1= 43,75%, А2 = 25%, А3=25%,
А4=6,25%.
|
всього
|
16
|
|||
Випадок 19
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
нічия
|
виграш
А1
|
виграш
А1
|
7
|
|
А2
|
нічия
|
виграш
А2
|
виграш
А2
|
7
|
|
А4
|
програш
А3
|
програш
А3
|
виграш
А3
|
3
|
|
А3
|
програш
А4
|
програш
А4
|
програш А4
|
0
|
|
Не єдиний випадок таблиці, коли С =17, N = 1, P = В =5. M = 3,5,
m = 5. S = 7, D = 7. є рівні за
потужністю збірні:
А1= 41,18%, А2 = 41,18%, А3=17,65%,
А4=0%
|
всього
|
17
|
|||
Випадок 20
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
виграш
А1
|
виграш
А1
|
виграш
А1
|
9
|
|
А2
|
програш
А2
|
виграш
А2
|
нічия
|
4
|
|
А4
|
програш
А3
|
програш
А3
|
виграш
А3
|
3
|
|
А3
|
програш
А4
|
нічия
|
програш А4
|
1
|
|
Не єдиний випадок таблиці, коли С =17, N = 1, P = В =5. M = 5,
m =3,5. S = 8, D = 8. є різні за
потужністю збірні:
А1= 52,94%, А2 = 23,53%, А3=17,65%,
А4=5,88%.
|
всього
|
17
|
|||
Випадок 21
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
виграш
А1
|
виграш
А1
|
програш
А1
|
6
|
|
А2
|
програш
А2
|
нічия
|
виграш
А2
|
4
|
|
А4
|
програш
А3
|
нічия
|
виграш
А3
|
4
|
|
А3
|
виграш
А4
|
програш
А4
|
програш А4
|
3
|
|
Не єдиний випадок таблиці, коли С =17, N = 1, P = В =5. M = 4,5,
m =4. S = 3, D = 3. є рівні за
потужністю збірні:
А1= 35,29%, А2 = 23,53%, А3=23,53%.%, А4=17,65%.
|
всього
|
17
|
|||
Випадок 22
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
виграш
А1
|
виграш
А1
|
виграш
А1
|
9
|
|
А2
|
програш
А2
|
виграш
А2
|
виграш
А2
|
6
|
|
А4
|
програш
А3
|
програш
А3
|
нічия
|
1
|
|
А3
|
програш
А4
|
програш
А4
|
нічия
|
1
|
|
Не єдиний випадок таблиці, коли С =17, N = 1, P = В =5. M = 5,
m =3,5. S = 8, D = 8. є рівні за
потужністю збірні:
А1= 52,94%, А2 = 35,29%, А3=5,88%.%,
А4=5,88%.
|
всього
|
17
|
|||
Випадок 23
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
виграш
А1
|
програш А1
|
виграш
А1
|
6
|
|
А2
|
програш
А2
|
виграш
А2
|
виграш
А2
|
6
|
|
А4
|
виграш
А3
|
програш
А3
|
нічия
|
4
|
|
А3
|
програш
А4
|
програш
А4
|
нічия
|
1
|
|
Не єдиний випадок таблиці, коли С =17, N = 1, P = В =5. M = 3,5
m =5. S = 5, D = 5. є рівні за
потужністю збірні:
А1= 35,29%, А2 = 35,29%, А3=23,53%,
А4=5,88%.
|
всього
|
17
|
|||
Випадок 24
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
Очки
|
А1
|
виграш
А1
|
виграш
А1
|
виграш
А1
|
9
|
|
А2
|
програш
А2
|
виграш
А2
|
виграш
А2
|
6
|
|
А4
|
програш
А3
|
програш
А3
|
виграш
А3
|
3
|
|
А3
|
програш
А4
|
програш
А4
|
програш А4
|
0
|
|
Це єдиний випадок таблиці, коли С =18, N = 0, P = В =6. M = 4,5,
m =4,5. S = 9, D = 8. є рівні за
потужністю збірні:
А1= 50%, А2 = 33,33%, А3=16,67%.%, А4=0%.
|
всього
|
18
|
|||
Означення класичних
середніх величин для 4 невід’ємних чисел:
Між середніми величинами 4 невід’ємних чисел існує таке відношення порядку:
Тепер повернемося до помилок
Васі.
Сума очок усіх команд в
таблиці групи С рівна 12, а це можливо тільки у випадку, коли усі збірні
розійшлися з миром і мають по 3 очки у підсумку.
Для групи В є один із
можливих варіантів виправлення тільки в одному рядку: нехай збірна Словенії
зіграла: одну гру внічию, одну гру програла, одну гру виграла, тому
замість 1 очка варто поставити 4 очки. Наприклад:
Англ
|
США
|
Слов
|
Алжи
|
О
|
|
Англія
|
нічия
|
виграш
|
нічия
|
5
|
|
США
|
нічия
|
нічия
|
виграш
|
5
|
|
Словенія
|
програш
|
нічия
|
виграш
|
4
|
|
Алжир
|
нічия
|
програш
|
програш
|
1
|
|
15
|
Вася припустився помилки у
другій таблиці групи В в останньому рядку для збірної Мексики повинно бути 0
очок, бо сума очок усіх команд не може перевищувати 18 очок.
Вася припустився помилки у
першій таблиці групи А в першому рядку для збірної Уругваю, бо жодній збірній
на чемпіонаті світу не можуть нарахувати рівно 8 очок(пояснення: у нас є тільки
непарне число очок 1 або 3, їх можна
нарахувати за три гри(непарна число ігор)лідеру групи , і отримаємо тільки
непарне число, а 8 - це парне число).
Вася припустився помилки у
третій таблиці групи С, в останньому
рядку для збірної Мексики повинно бути 0 очок, якщо сума очок усіх команд рівна 12, то усі
команди набрали по 3 очки, інших розкладів не може бути.
Немає коментарів:
Дописати коментар