МАТЕМАТИЧНІ ШКІЛЬНІ ОЛІМПІАДИ.: Многочлени(рос. мова)

Полиномы

1. Теорема о делении с остатком

Теорема (о делении с остатком). Для данных полиномов f,g

$(g\ne0)$ существуют и единственны полиномы

такие, что

где $\deg r<\deg g$ .

Пример 1. Известно, что остаток от деления полинома P(x)

на

равен

, от деления P(x)

на

равен

. Найдите остаток от деления P(x)

на

Решение. Пусть

$P(x)=(x^2-4x+3)Q(x)+R(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+ax+b,\ \deg R\le1.$

Тогда

. Отсюда

Пример 2. Определить, будет ли полином $p(x)=x^{2004}+x^4-1004x^2+1002$ делиться на (x-1)^2

Решение. Пусть p(x)=(x-1)^2q(x)+ax+b

. Тогда, как и в предыдущей задаче, a+b=0

. Теперь продифференцируем равенство по

$p^{\prime}(x)=2(x-1)q(x)+(x-1)^2q^{\prime}(x)+a,$

и $p^{\prime}(1)=0=a$ . Отсюда следует делимость.

— корень

кратности

2. Теорема Виета

Теорема Виета. Пусть корни многочлена

$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n$

равны $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ . Тогда

$\begin{array}{l} \lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_n=-a_1/a_0,\\ \lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\ldots+\lambda_{n-1}\lambda_n=a_2/a_0,\\ \lambda_1\lambda_2\lambda_3+\ldots+\lambda_{n-2}\lambda_{n-1}\lambda_n=-a_3/a_0,\\ \ldots,\\ \lambda_1\lambda_2\ldots \lambda_n=(-1)^na_n/a_0. \end{array}$

Пример 3. Известно, что уравнение

имеет

вещественных корня, сумма которых равна

. Найти

Решение. По теореме Виета $a=\pm2$ . Осталось проверить, при каком

уравнение имеет

вещественных корня. a=2

3. Суммы Ньютона

Пусть $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n\in\mathbb{C}[x]$ , $a_0\ne0$ . Обозначим $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ его корни. И полином $f(x)=a_0(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\ldots(x-\lambda_n)$ .

Определение. Выражение

$s_k=\lambda_1^k+\lambda_2^k+\dots+\lambda_n^k$

называется

-ой суммой Ньютона полинома f(x)

Найдем выражение s_k

через коэффициенты f(x)

. Для этого рассмотрим дробь

$\begin{array}{l} \displaystyle {f^{\prime}(x)\over f(x)}={(x-\lambda_2)(x-\lambda_3)\dots(x-\lambda_n)+(x-\lambda_1)(x-\lambda_3)\dots(x-\lambda_n)\over (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\dots(x-\lambda_n)}+\\[3mm] \displaystyle \ldots+{(x-\lambda_1)(x-\lambda_2) \ldots(x-\lambda_{n-1})\over (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\dots(x-\lambda_n)} =\sum_{j=1}^n{1\over x-\lambda_j}. \end{array}$

Разложим теперь каждую дробь $\displaystyle {1\over x-\lambda_j}$ по степеням $\displaystyle {1\over x}$ :

$\displaystyle {1\over x-\lambda_j}={1\over x}\left(1+{\lambda_j\over x}+{\lambda_j^2\over x^2}+\dots\right)={1\over x}+{\lambda_j\over x^2}+{\lambda_j^2\over x^3}+\ldots+{\lambda_j^k\over x^{k+1}}+\ldots$

и подставим в первое равенство:

$\begin{array}{ll} \displaystyle {f^{\prime}(x)\over f(x)}& \displaystyle={1\over x}+{\lambda_1\over x^2}+{\lambda_1^2\over x^3}+\dots+{\lambda_1^k\over x^{k+1}}+\ldots+\\[3mm] &\displaystyle +{1\over x}+{\lambda_2\over x^2}+{\lambda_2^2\over x^3}+\dots+{\lambda_2^k\over x^{k+1}}+\ldots+\\[3mm] &\displaystyle +{1\over x}+{\lambda_n\over x^2}+{\lambda_n^2\over x^3}+\dots+{\lambda_n^k\over x^{k+1}}+\ldots=\\[3mm] &\displaystyle ={s_0\over x}+{s_1\over x^2}+{s_2\over x^3}+\dots+{s_k\over x^{k+1}}+\ldots \end{array}$

Домножим обе части этого равенства на f(x)

, получим

тождество

$\displaystyle f^{\prime}(x)\equiv f(x)\left({s_0\over x}+{s_1\over x^2}+{s_2\over x^3}+\dots+{s_k\over x^{k+1}}+\dots\right).$

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях

в этом тождестве, получаем равенства:

$\begin{array}{llclccccc} x^{n-1}&:&na_0&=a_0s_0,&&&&&\\ x^{n-2}&:&(n-1)a_1&=a_1s_0&+a_0s_1,&&&&\\ x^{n-3}&:&(n-2)a_2&=a_2s_0&+a_1s_1&+a_0s_2,&&&\\ \ldots&&&&&&&&\\ 1&:&a_{n-1}&=a_{n-1}s_0&+a_{n-2}s_1&+\dots&+a_0s_{n-1},&&\\ x^{-1}&:&0&=a_ns_0&+a_{n-1}s_1&+\dots&+a_1s_{n-1}&+a_0s_n,&\\ x^{-2}&:&0&=&a_ns_1&+\dots&+a_2s_{n-1}&+a_1s_n&+a_0s_{n+1},\\ \ldots&&&&&&&& \end{array}$

Разрешая их последовательно, получаем рекурсивные формулы Ньютона для s_k

$\begin{array}{l} s_0=n,\ s_1=-a_1/a_0,\\ s_k=\left\{\begin{array}{lll} -(a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+\dots+a_{k-1}s_1+ka_k)/a_0& k\le n;\\ -(a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+\dots+a_ns_{k-n})/a_0& k>n. \end{array}\right. \end{array}$

Пример 4. Доказать, что

$\displaystyle s_k=(-1)^k\left|\begin{array}{ccccc} a_1&1&0&\ldots&0\\ 2a_2&a_1&1&\ldots&0\\ 3a_3&a_2&a_1&\ldots&0\\ \ldots&&&&\\ ka_k&a_{k-1}&a_{k-2}&\dots&a_1 \end{array}\right|,$
где s_k

— суммы Ньютона полинома $f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n$ .

Решение. Запишем выражения для $s_1,s_2,\ldots,s_k$

$\begin{array}{l} s_1=-a_1,\\ s_2+a_1s_1=-2a_2,\\ s_3+a_1s_2+a_2s_1=-3a_3,\\ \ldots,\\ s_k+a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+\dots+a_{k-1}s_1=-ka_k. \end{array}$

Рассмотрим эти равенства как систему линейных уравнений относительно $s_1,\ldots,s_k$ и выразим s_k

по формулам Крамера:

$s_k={\left|\begin{array}{ccccc} 1&0&0&\dots&-a_1\\ a_1&1&0&\dots&-2a_2\\ a_2&a_1&1&\dots&-3a_3\\ \dots&&&&\\ a_{k-1}&a_{k-2}&a_{k-3}&\dots&-ka_k \end{array}\right|\over \left|\begin{array}{ccccc} 1&0&0&\dots&0\\ a_1&1&0&\dots&0\\ a_2&a_1&1&\dots&0\\ \dots&&&&\\ a_{k-1}&a_{k-2}&a_{k-3}&\dots&1 \end{array}\right|}$

Далее, учитывая, что знаменатель равен единице, переставляем столбцы в числителе и приходим к нужному нам равенству.

Пример 5. Вычислить сумму

$\displaystyle {1\over 2-x_1}+{1\over 2-x_2}+{1\over 2-x_3}, $

где

— корни полинома $\varphi(x)=x^3-3x-1$ .

Ответ. $\displaystyle {\varphi^{\prime}(2)\over \varphi(2)}=9$ .

Решение.

$\displaystyle {\varphi^{\prime}(x)\over \varphi(x)}={1\over x-x_1}+{1\over x-x_2}+{1\over x-x_3},$

так как полином $\varphi(x)$ не имеет кратных корней: его дискриминант $\displaystyle {\cal D}(\varphi(x))={9\over 4}-{1\over 27}\ne0$ . Отсюда ответ.

4. Теорема Лагранжа

Рассмотрим полином

$W(x) = (x-x_1)\times \dots \times (x-x_n), \ \deg W=n.$

Теорема. Пусть числа $x_1,\ldots,x_n$ все различны. Для полинома W(x)

справедливы следующие равенства Эйлера — Лагранжа:

$\displaystyle \sum_{j=1}^n \frac{x_j^k}{W^{\prime}(x_j)}= \left\{\begin{array}{ll}0 & if\ k< n-1; \\ 1 & if\ k= n-1.\end{array}\right.$

Доказательство. Построим интерполяционный полином по следующей таблице:

$\begin{array}{c|ccc} \arraycolsep=1cm x & x_1 & \dots & x_n \\ \hline y & x_1^k & \dots & x_n^k \end{array}$

С одной стороны, ответ известен заранее: $f(x)\equiv x^k$ . С другой стороны, формула интерполяционного полинома Лагранжа дает его же в виде суммы:

$x^k \equiv \sum_{j=1}^n x_j^k \frac{W(x)}{W^{\prime}(x_j)(x-x_j)} \equiv \underbrace{x^{n-1}\sum_{j=1}^n \frac{x_j^k}{W^{\prime}(x_j)}+ \ldots} .$

В этом тождестве степени полиномов слева и справа должны быть одинаковыми.

Если

, то старший коэффициент правого полинома должен обратиться в нуль. Если же k= n-1

, то должны совпасть старшие коэффициенты обоих полиномов.

5. Результант и дискриминант

Для полиномов $f(x), g(x)\in \mathbb{C} [x]$

$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n, g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\ldots+b_m$

( $a_0\ne0,$ $b_0\ne0$ ) составим квадратную матрицу порядка m+n

$\begin{minipage}[t]{6.5cm} \mbox{}\vskip-9.3mm $M=\left(\begin{array}[l]{cccccccc} a_0&a_1&a_2&\ldots&\ldots&a_n&0&0\\ 0&a_0&a_1&\ldots&\ldots&a_{n-1}&a_n&0\\ &&&\ldots&&&&\\ 0&0&\ldots&a_0&a_1&\ldots&&a_n\\ 0&0&\ldots&&b_0&b_1&\ldots&b_m\\ 0&0&\ldots&b_0&b_1&\ldots&b_m&0\\ &&&\ldots&&&&\\ b_0&\ldots&\ldots&b_m&0&\ldots&0&0 \end{array}\right)$ \end{minipage}\hfill \begin{minipage}[t]{4.25cm} \mbox{}\vskip-9.8mm\hskip16mm $\begin{array}{l} \left.\begin{array}{l} \\ \\ \\ \\ \end{array}\right\} m \\ \left.\begin{array}{l} \\ \\ \\ \\ \end{array}\right\} n \end{array}, $ \end{minipage}$

элементы выше a_n

, и ниже

все равны нулю.

Определение. Выражение

${\cal R}(f,g)\stackrel{def}{=}(-1)^{n(n-1)/2} \det M$

называется результантом полиномов f(x)

(в форме Сильвестра).

Теорема. Для полиномов f(x)

${\cal R}(f,g)=a_0^m\prod_{j=1}^n g(\lambda_j) ,$

Теорема. Для того чтобы f(x)

имели общий корень, необходимо и достаточно выполнение условия ${\cal R}(f,g)=0$ .

Для того чтобы полином $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n\in\mathbb{C} [x]$ имел кратный корень необходимо и достаточно, чтобы он имел общий корень со своей производной $f^{\prime}(x)$ . Для этого необходимо и достаточно, чтобы ${\cal R}(f,f^{\prime})=0$ .

Соответствующий определитель
$D=\left|\begin{array}{ccccccc} a_0&a_1&\ldots&a_n&&&\\ &a_0&a_1&\ldots&a_n&\mathbb{O}&\\ &&\ddots&\ddots&&&\\ &&&a_0&a_1&\ldots&a_n\\ &\mathbb{O}&&&na_0&\ldots&a_{n-1}\\ &&&na_0&\ldots&a_{n-1}\\ &&\ldots&&&\mathbb{O}&\\ na_0&\ldots&a_{n-1}&&&& \end{array}\right|$

будет делиться на a_0

(общий множитель элементов первого столбца).

Определение. Выражение D/a_0

называется дискриминантом полинома f(x)

и обозначается ${\cal D}(f)$ :

${\cal D}(f)\stackrel{def}{=}D/a_0=(-1)^{n(n-1)/2}{\cal R}(f,f^{\prime})/a_0.$

Упражнение. Докажите, что

$\displaystyle{\cal D}(f)=a_0^{2n-2}\prod_{1\le j<k\le n}(\lambda_k-\lambda_j)^2.$

Здесь $\lambda_1,\dots, \lambda_n$ — корни f(x)

Теорема. Полином f(x)

имеет кратный корень тогда и только тогда, когда ${\cal D}(f)=0$ .

Пример 6. Охарактеризовать число вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами по знаку дискриминанта для полинома третьей степени, для полинома четвертой степени и в общем случае.

Решение. В общем случае, если дискриминант положителен, то число пар комплексно-сопряженных корней четное, если дискриминант отрицателен, — то нечетное.

Для полинома третьей степени, если ${\cal D}>0$ , то все корни вещественны, если ${\cal D}<0$ , то два корня комплексно-сопряженные.

Для полинома четвертой степени при ${\cal D}>0$ или все корни вещественные, или все корни комплексные. При ${\cal D}<0$ имеется два вещественных корня и одна пара сопряженных комплексных.

Задачи

1. Найдите многочлен

четвертой степени со старшим коэффициентом единицей, у которого число

является корнем кратности

, а остаток от деления p(x)

на

равен

2. Многочлен p(x)

с целыми коэффициентами представлен в виде

где

— различные целые числа, а q(x)

— некоторый многочлен. Может ли многочлен p(x)

иметь целые корни?

— различные вещественные числа. Найдите остаток от деления полинома P(x)

на

— полином с целыми коэффициентами. Для некоторого натурального

ни одно из чисел $P(1),P(2),\ldots, P(c)$ не делится на

. Докажите, что полином P(x)

не имеет целых корней.

5. Корни полинома x^3+ax^2+bx+c

— $\alpha,\beta,\gamma$ . Найдите кубическое уравнение, корнями которого являются $\alpha^3,\beta^3,\gamma^3$ .

6. Доказать, что если четыре различных точки кривой

лежат на одной прямой, то среднее арифметическое их абсцисс есть константа. Найдите эту константу.

7. Пусть

. Пусть уравнение P(x)=x

имеет различные вещественные корни. Докажите, что эти корни являются также корнями уравнения P(P(x))=x

. Найдите квадратное уравнение для двух других корней этого уравнения. Решите

8. Найдите полином f(x)

с вещественными коэффициентами, f(0)=1

, такой, что суммы квадратов коэффициентов (f(x))^n

одинаковы для всех $n\in\mathbb{N}$ .

9. Вещественный полином p(x)

такой, что для любого полинома q(x)

. Найти все такие полиномы p(x)

10. Пусть $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_n$ — корни степени

из

. Найти $\displaystyle\prod_{i<j}(\varepsilon_i-\varepsilon_j)^2$ .

11. Пусть f(x)

— многочлен

-й степени, а $f^{\prime}(x)$ — его производная. Составим разности между каждым из корней уравнения f(x)=0

и каждым из корней уравнения $f^{\prime}(x)=0$ .

Вычислите сумму величин, обратных полученным разностям.

12. Доказать, что если для некоторого натурального p>0

$\displaystyle {a_1\over p+1}+{a_2\over p+2}+\ldots{a_n\over p+n}=0,$

то полином

$a_nx^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+\ldots+a_1$

имеет корень между

13. Доказать, что многочлены $(z+1)^{2003}+1$ и $z^{20}-2002z^{10}-2003$ не имеют общих комплексных корней.

14. Пусть $s_0,s_1,s_2,\ldots$ — суммы Ньютона полинома

$p(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n.$

Найти полином $P(x)=x^n+A_1x^{n-1}+\dots+A_{n-1}x+A_n$ такой, что его суммы Ньютона равны -s_m

$(m=\overline{1,n})$ .

МАТЕМАТИЧНІ ШКІЛЬНІ ОЛІМПІАДИ.

субота, 4 жовтня 2014 р.

Многочлени(рос. мова)

Полиномы

Немає коментарів:

Дописати коментар

субота, 4 жовтня 2014 р.

Многочлени(рос. мова)

Полиномы

Немає коментарів:

Дописати коментар

субота, 4 жовтня 2014 р.