неділя, 19 березня 2017 р.

Каталог "Нерівності"

НЕЛІНІЙНІ НЕРІВНОСТІ 
З ДЕКІЛЬКОМА ЗМІННИМИ



Довести.
1. ap+bp < cp, якщо p>2,a>0, b>0, c>0, a2+b2=c2.

2. cp < ap+bp, якщо p<2, a>0, b>0, c>0, a2+b2=c2.

3. (a+b)2/3 < a2/3+b2/3, якщо a>0, b>0.

4. a+b+c ab/c+bc/a+ca/b, якщо a>0, b>0, c>0.

5. (a0,5+b0,5 +c0,5)a0,5b0,5c0,5 a2+b2 +c2   , якщо a ≥0, b ≥0, c ≥0.

6.  5a0,5b0,5 +5b0,5c0,5  +7a0,5c0,5 7a+4b+7c, якщо a ≥0, b ≥0, c ≥0.

7.  2a2b2c2(20,5ab + 20,5ac+cb) 16a8+b8 +c8.

8. (a+b)/(a2+b2)+(b+c)/(b2+c2)+(a+c)/(a2+c2)≤1/a+1/b+1/c, якщо a>0, b>0, c>0.

9. 9/a+b+c  2/(a+b) + 2/(b+c) +2/(a+c), якщо a>0, b>0, c>0.

10.  a< 2a3+2a2+1,   якщо a≥0.

11.  a2 -2a0,5 < 2+a3,   якщо a≥0.

12. 1/21/(a+1) + 1/(a+2) +1/(a+3)  + … + 1/2a , якщо a- натуральне число.

13. 1/9 +1/25 + …+1/(2a+2)2  < 1/4, якщо a- натуральне число.

14. b<ac+c/(c-1),  якщо a0,5 +1≥b,  c>1.

15.  a0,5b0,5 +c0,5d0,5 (a+c)(b+d)0,5, якщо a ≥0, b ≥0, c ≥0, d ≥0.

16. 21/9 <a0,5/(b+c)0,5+b0,5/(a+c)0,5+b0,5/(a+c)0,5, якщо a>0, b>0, c>0.   

17. (4a+1)0,5+(4b+1)0,5+(4c+1)0,5<5, якщо a>0, b>0, c>0, a+b+c=1.   
18. 4lnx x2-1/x, якщо x>1.

19. 2ln(x+(x2+1)0,5)   ex - e-x, якщо x ≥0,  e ®(1+1/x)x, x®oo.

20. (a+b)(a-b) a2+b2.

21.1/2<sina/(1+sina) +cosa/(1+cosa)<6/7;

22. 2/3<sin2a/(1+cos2a) +cos2a/(1+sin2a)<1;

23.   -1 sin3a+cos3a 1, якщо a- дійсне число.

24.  0,5 sin4a+cos4a 1, якщо a- дійсне число.

25.   -1 sin5a+cos5a 1, якщо a- дійсне число.

26.   0,25 sin6a+cos6a1, якщо a- дійсне число.

27.   0,125 sin8a+cos8a1, якщо a- дійсне число.

28.   0,0625 sin10a+cos10a1, якщо a- дійсне число.

29.  -1 sin2n-1a+cos2n-1a 1, якщо n - натуральне число.

301/2n-1 sin2na+cos2na 1, якщо n - натуральне число.

31. sin2a +4cos2a -2sin2a -3sina +4cosa +2 ≥ 0,  якщо a - дійсне число.
32.  2sin2a- 20,5sin2a + 20,5cos2a+3 ≥ 0,  якщо a - дійсне число.

33.  cos4a- 4sin2a  2 sin2acosa,  якщо a - дійсне число.

34. 6a2b a4 +2a3b  +2ab 3 + b4 , якщо a ≥0, b ≥0.

35.  a4 -2a3b + 2a2b2 -2ab3 + b4≥0, якщо a ≥0, b ≥0.

36.  2sin2a ≥ 2sin2a-1,  якщо a - дійсне число.

37. sinacosbcosc + cosasinbsinc 1,  якщо a, b, c - дійснi числa.

38. (sin(cos(a) (cos(sin(a)) ,  якщо a - дійсне число.

39.  a2+3b2  +6c2 +2ab -2ac -6abc > 0, якщо a2+b2+c2≠0. 

40.  |a+b| ≥ 2 ,   |a+1/a| ≥ 2 ,  якщо |ab|=1, a, b - дійснi числa.

41.  |a/b+b/a| ≥ 2,  якщо a, b - дійснi числa.

42.  a2+b2 ≥ 2ab,  якщо a, b - дійснi числa.

43.  a1+a2+a3+a4+a5+…+am ≥ m,  якщо  a1a2a3a4a5∙…∙am =1

44.  ab+bc+ac a2+b2+c2якщо a, b, c - дійснi числa.

45.  3 a/b+b/c+c/a ,  якщо a, b, cдодатні  дійснi числa.

46.  a/b+b/c+c/a -3,  якщо a, b, cвід’ємні дійснi числa.

47. c/a < (c+d)/(a+b) < b/d  , якщо a >0, b >0, c >0, d >0.  

 48.  (ab)0,5+1  (a+1)0,5(b+1)0,5  1+(ab)0,5/min{a,b}, якщо a >0, b >0,

49. (abc)1/3+1 (a+1)1/3(b+1)1/3(c+1)1/3 1+(abc) 1/3/min{a,b,c}, якщо a >0, b >0, c >0.

50.  2/(1/a+1/b) (abc)1/2 (a+b)/2 ((a2+b2)/2 )0,5 ((ak+bk)/2)1/k
, якщо a >0, b >0.

51.  3/(1/a+1/b+1/c) (abc)1/3 (a+b+c)/3 ((a2+b2+c2)/3 )0,5 ((ak+bk+ck)/3 )1/k
, якщо a >0, b >0, c >0.

52.    3abc a3+b3+c3 якщо a +b + c >0.

53. -20,5  sina+cosa 20,5, якщо a- дійсне число.

54. (1+1/a)a > (1+1/aa)якщо 0<a <1, a>2.

55. (1+1/a)a < (1+1/aa)якщо 1<a <2.  

56. ln(1+a)<a,  , якщо a >0.

57.   2a/(a+2) < ln(1+a)<a, якщо a >0.

58. 2abln(b/a)< b2 – a2, якщо 0<a <b.

59. 2 ln(a)<a2-1, якщо a >1.


60.    ln(1+a)/ln(a) < ln(a)/ln(a-1) , якщо a >2. 


61. Міні-максні подвійні нерівності Вінницького
для модуля різниці двох дійсних додатних  чисел

Нехай  а та b, с - дійсні додатні числа, при цьому c >1.  
Довести, що функція модуля різниці двох дійсних додатних  чисел
V(a, b) = max{a;b}-min{a;b} =|a-b|
має властивості:
1o. 0 < max{a;b}-min{a;b} =|a-b| < min{a;b}/с,   
  якщо  (1-1/c)max{a;b} < min{a;b} < max{a;b}; c>1
 2o.   min{a;b}/с < max{a;b}-min{a;b} =|a-b|< min{a;b},  
        якщо  (1/2)max{a;b} <  min{a;b} < (1-1/c)max{a;b}, та c>2.
 3o.   min{a;b} < max{a;b}-min{a;b} =|a-b|< 0,5(max{a;b}+min{a;b})=0,5(a+b),  
        якщо max{a;b}/3< min{a;b} <0,5max{a;b};
4o.   0,5(max{a;b}+min{a;b}) =0,5(a+b) < max{a;b}-min{a;b} =|a-b| < max{a;b},   
       якщо 0< min{a;b} < max{a;b}/3;
  5o.  (1-1/c)max{a;b}  < max{a;b}-min{a;b} =|a-b|< max{a;b},   
     якщо 0< min{a;b} < max{a;b}/c   та  c>1.