субота, 23 травня 2015 р.

Задачі геометричних олімпіад

1. Квадрати побудовано  зовні на  сторонах правильного трикутника. Вибрати найкраще наближення для відношення площ двох рівносторонніх трикутників АВС, RIZ.

А
Б
В
Г
Д
1:5
1:4
1:3
1:2
1:6
2. Три квадрати побудовано  у внутрішню область на  сторонах правильного трикутника. Вибрати найкраще наближення для відношення площ двох рівносторонніх трикутників АВС, RРН.

А
Б
В
Г
Д
25:1
9:1
16:1
1:1
4:1

3. Квадрат найбільшої площі вирізали трьома  прямими розрізами із правильного трикутника. Вибрати найкраще наближення для відношення площ квадрата і рівностороннього трикутника.

А
Б
В
Г
Д
1:2
1:3
1:5
1:1
1:4
4. Ромб найбільшої площі вирізали із правильного трикутника, у якого діагональ співпадає з бісектрисою трикутника. Вибрати найкраще наближення для відношення площ ромба  і правильного  трикутника.

А
Б
В
Г
Д
1:2
1:3
1:5
1:1
1:4
5. На одній стороні квадрата побудовано один правильний трикутник. Вибрати найкраще наближення для відношення площ квадрата і рівностороннього трикутника.

А
Б
В
Г
Д
1:1
2:3
2:5
2:1
1:4

6.У паралелограмі ABCD з гострого  кута  А проведено дві висоти АК та AN.  Вибрати найточніше наближення для  відношення площ трикутників  АКВ та AND,  якщо відомо  АВ=13 см, ВС =14 см, АС =15 см.


А
Б
В
Г
Д
13:14
14:13
169:196
15:14
13:15
7.У паралелограмі ABCD з гострого  кута  А проведено дві висоти АК та ANВибрати  найточніше наближення для  відношення площ трикутників  АКN та ABC,  якщо відомо  АВ=13 см, ВС =14 см, АС =15 см.

А
Б
В
Г
Д
13:14
14:13
169:196
15:14
13:15
8. У трапеції АВСD C||AD) діагоналі перетинаються в точці О. Бічні сторони АВ та СD перетинаються в точці F. Відношення площ трикутників ВОС та АОD  дорівнює 9:16. Вибрати  найточніше наближення для  відношення площ трикутників  ВFС та АFD.
А
Б
В
Г
Д
3:4
4:3
9:16
16:9
13:15
9. Коло з радіусом  r (r>0) і центром О  дотикаються зовнішнім чином в точці В до кола з радіусом R (R>0) і центром D. Пряма, що проходить через точку В перетинає коло (О, r) у точці А, і  перетинає коло (D, R) у точці С. Вибрати  найточніше наближення для  відношення площ трикутників  ВDС та ВОА.
А
Б
В
Г
Д
r:R
R:r
r2:R2
R2:r2
1:4

10. Коло з радіусом  r (r>0) і центром О  дотикаються внутрішнім чином в точці С до кола з радіусом R (R>0) і центром О1. Пряма, що проходить через точку С перетинає коло (О, r) у точці F, і  перетинає коло (О1, R) у точці A.  Друга пряма, що проходить через точку С перетинає коло (О, r) у точці D, і  перетинає коло (О1, R) у точці B. Вибрати  найточніше наближення для  відношення площ трикутників  FDС та АBC.
А
Б
В
Г
Д
r:R
R:r
r2:R2
R2:r2
1:4

11. Коло з радіусом  r (r>0) і центром О  дотикаються зовнішнім чином в точці A до кола з радіусом R (R>0) і центром О1. Пряма, що проходить через точку А перетинає коло (О, r) у точці В, і  перетинає коло (О1, R) у точці F.  Друга пряма, що проходить через точку А перетинає коло (О, r) у точці С, і  перетинає коло (О1, R) у точці D. Вибрати  найточніше наближення для  відношення площ трикутників  АFD та АBC.
А
Б
В
Г
Д
r:R
R:r
r2:R2
R2:r2
1:4

12. Коло з радіусом  r (r>0) і центром D  лежить у зовнішній області  кола з радіусом R (R>0) і центром F. Пряма АР  зовнішнім чином дотикається до кола (D, r) у точці A, і  зовнішнім чином дотикається до коло (F, R) у точці Р.  Друга пряма CS  внутрішнім  чином дотикається до кола (D, r) у точці С, і  зовнішнім чином дотикається до коло (F, R) у точці S.  Пряма АР та CS перетинаються в точці Н так, що DH =3HF.  Вибрати  найточніше наближення для  відношення площ трикутників  DCH та  FSH.
А
Б
В
Г
Д
r2:R2
2R:2r
3r:3R
R2:r2
1:9
13. У правильній трикутній зрізаній піраміді сторони основ дорівнюють  8 см і 5 см, а висота – 3 см.  Проведіть переріз через сторону нижньої основи і протилежну їй вершину верхньої основи. Визначте площу перерізу.
А
Б
В
Г
Д
34 см2
24 см2
14 см2
18 см2
36 см2
14. У правильній чотирикутній зрізаній піраміді сторони основ дорівнюють  6 см і 8 см, а бічне ребро – 10 см.  Проведіть переріз через кінець меншої діагоналі перпендикулярно до цієї діагоналі і визначте його площу.
А
Б
В
Г
Д
34 см2
24 см2
14 см2
18 см2
36 см2
15. Основи зрізаної піраміди – квадрати зі сторонами 8 см і 4 см; одна з бічних граней – рівнобічна трапеція, що перпендикулярна до основ, а протилежна до неї грань утворює з основою кут 60о. Вибрати  найточніше наближення для  площі бічної поверхні зрізаної піраміди.
А
Б
В
Г
Д
176 см2
177 см2
175 см2
178 см2
180 см2

16. Площі основ зрізаної піраміди – відносяться  як 1:4. Більша основа ромб з діагоналями 8 см і 6 см; одне з бічних граней перпендикулярне до основи і дорівнює 7 см. Вибрати  найточніше наближення для  площі бічної поверхні зрізаної піраміди.
А
Б
В
Г
Д
136 см2
137 см2
135 см2
138 см2
140 см2

17. У зрізаному конусі висота, твірна і бічна поверхня дорівнюють відповідно Н, L, S. Знайти площу осьового перерізу, якщо Н = 4 см, L = 5 см , S=10p см2.
А
Б
В
Г
Д
8 см2
17 см2
5 см2
8 см2
10 см2

18.  Площі основ зрізаного конуса  - 4 см2  і 16 см2, твірна – 5 см. Через середину висоти проведено площину паралельно основі. Знайдіть площу перерізу.  

А
Б
В
Г
Д
8 см2
9 см2
5 см2
6 см2
10 см2