неділя, 19 березня 2017 р.

Степенево-показникові рівняння









ДІАМАНТОВЕ ФУНКЦІОНАЛЬНЕ РІВНЯННЯ

f f(x)(x+1)  f f(x+1)(x) 1,   f – довільна функція дляx>0
Відповідь:
 f(x)= 1, якщо 0< х =<1,  

 f(x)= 2якщо x>1.

Розв’язати рівняння: 
a)3z-2z=5; якщо z – натуральне число;
б) х у z=рякщо x, у, z – дійсні додатні числа; р – просте число;
в) z(х)- g z(y) = yx,  якщо f:R+® R+g:R+® R+x, у, z – дійсні додатні числа.
  Розв’язання.
а) 3z-2z=5 - це  показникове  рівняння.  Розглянемо  ліву частину як різницю квадратів і розкладемо її на множники:
(30,5z)2-  (20,5z)2=(30,5z -  20,5)( 30,5+  20,5z)
Праву частину рівняння можна записати: 5=1*5=5*1.
Ліва і права частини рівняння належать множині натуральних чисел. Тому
отримаємо дві системи показникових рівнянь:
1) 30,5z -  20,5=5,    30,5+  20,5 =1;     2) 30,5z -  20,5=1,    30,5+  20,5 =5;
Використаємо спосіб додавання для розв’язування систем рівнянь.
1) Якщо додати два рівняння у системі 1), тоді
2*30,5z=6;   обидві частини  поділимо на 2.
30,5z=3, обидві частини піднесемо до степені 2.
3z =9;  3z =32;  отже  z=2.

2) Якщо відняти два рівняння у системі 2), тоді
-2*20,5z=-4;   обидві частини  поділимо на -2. 
20,5z=2;   обидві частини піднесемо до степені 2.
2z =4;  2z =22;  отже  z=2.
Перевірка: 32 -22 = 5.
Відповідь: z=2.
б) х - у = р - це  показникове-степеневе  рівняння.  Розглянемо  ліву частину як різницю квадратів і розкладемо її на множники:
0,5z)2-  (у0,5z)2=0,5z -  у0,5)( х0,5+  у0,5z)
Праву частину рівняння можна записати: р=1*р=р*1.
Ліва і права частини рівняння належать множині натуральних чисел. Тому
отримаємо дві системи показникових рівнянь:
1) х0,5z -  у0,5=р,    х0,5+  у0,5 =1;     2) х0,5z -  у0,5=1,    х0,5+  у0,5 =р;
Використаємо спосіб додавання для розв’язування систем рівнянь.
1) Якщо додати два рівняння у системі 1), тоді
2*x0,5z=р+1;   обидві частини  поділимо на 2.
x0,5z=0,5(р+1), обидві частини піднесемо до степені 2.
xz =0,25(р+1)2;  обидві частини рівняння логарифмуємо за основою x;
z=logx(0,25(р+1)2)
xz =0,25(р+1)2;  обидві частини рівняння піднесемо до степені  1/z-1.
xz*(1/z) =(0,25(р+1)2)*(1/z);  отже  x =(0,25(р+1)2)*(1/z) .
2) Якщо відняти два рівняння у системі 2), тоді
-2*y0,5z=1-р;   обидві частини  поділимо на -2.
y0,5z=0,5(р-1), обидві частини піднесемо до степені 2.
yz =0,25(р-1)2;  обидві частини логарифмуємо за основою e;
z=logy(0,25(р-1)2);   
уz =0,25(р-1)2;  обидві частини рівняння піднесемо до степені  1/z-1.
уz*(1/z) =(0,25(р-1) 2)*(1/z);  отже  у =(0,25(р-1)2)*(1/z) .

Перевірка:   (0,25(р+1)2)*(1/z)* z - (0,25(р-1)2)*(1/z)* z = p
Відповідь:   x =(0,25(р+1)2)*(1/z) ;  у =(0,25(р-1)2)*(1/z) ,  z – дійсні додатні числа;


d) (x) - g (y)= xy - це  показникове-степеневе функціональне  рівняння.  Розглянемо  ліву частину як різницю квадратів і розкладемо її на множники:
(f(х)0,5z)2-  (g(у)0,5z)2=(f(х)0,5z – g(у)0,5)(f(х)0,5g(у)0,5z)
Праву частину рівняння можна записати: xy=y*x=xy*1.
Ліва і права частини рівняння належать множині натуральних чисел. Тому
отримаємо дві системи показникових рівнянь:
1) f(х)0,5z -  g(у)0,5=x,    f(х)0,5+  g(у)0,5 =y;   
 2) f(х)0,5z -  g(у)0,5=1,    f(х)0,5+  g(у)0,5 =xy;
Використаємо спосіб додавання для розв’язування систем рівнянь.
1) Якщо додати два рівняння у системі 1), тоді
2* f(х)0,5z=xy+1;   обидві частини  поділимо на 2.
f(х)0,5z=0,5(xy+1), обидві частини піднесемо до степені 2.
f(х)z =0,25(xy+1)2;  обидві частини рівняння логарифмуємо за основоюf(х);
z=log f(х) (0,25(xy+1)2);   
f(х)z =0,25(xy+1)2;  обидві частини рівняння піднесемо до степені  1/zz-1.
f(х)z*(1/z) =(0,25(xy+1)2)*(1/z);  отже  x =(0,25(xy+1)2)*(1/z) .
2) Якщо відняти два рівняння у системі 2), тоді
-2* g(у)0,5z=1-xy;   обидві частини  поділимо на -2.
g(у)0,5z=0,5(xy-1), обидві частини піднесемо до степені 2.
g(у)z =0,25(xy-1)2;  обидві частини логарифмуємо за основою e;
z=logy(0,25(xy-1)2);   
g(у)z =0,25(xy-1)2;  обидві частини рівняння піднесемо до степені  1/zz-1.
g(у)z*(1/z) =(0,25(xy-1) 2)*(1/z);  отже  g(у) =(0,25(xy-1)2)*(1/z) .

Перевірка:   (0,25(xy+1)2)*(1/z)* z - (0,25(xy-1)2)*(1/z)* z = xy


Відповідь:   f(х)=(0,25(xy+1)2)*(1/z) ;  g(у) =(0,25(xy-1)2)*(1/z) ,  z – дійсні додатні числа;

Немає коментарів:

Дописати коментар