Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

для учнів 4–6 класів

„Січнева сесія -2017”

4 клас

1. Вася поклав тринадцять гривен у перший гаманець, якого заховав у другий гаманець, тепер у другому гаманці стало у три разі більше грошей, ніж у першому. Порахуйте, скільки було спочатку грошей у другому гаманці?

2. а) Скільки є п'ятицифрових чисел, які діляться на 5? б) Якими цифрами не може закінчуватися такі суми: 1+2=…; 1+2+3=…;  1+2+3+4=…; 1+2+3+4+5=…;  і так далі. в)   ) Якими цифрами не може закінчуватися такі суми: 1+3=…; 1+3+5=…;  1+3+5+7=…; 1+3+5+7+9=…;  і так далі. 

3. На подвір'ї було 3 курки, стільки ж індиків; качок менше, ніж індиків, але більше, ніж гусей. Скільки на подвір'ї всіх птахів?  (Вкажи більше ніж одну відповідь).

4.Скільки днів у році, якщо один із місяців розпочався і закінчився у четвер?

5. Які     цифри     зашифровані     буквами:     аа + b = bсс, аа +  аb= ссb? Скільки розв’язків має задач?

6. Обгрунтуйте, що коли сума двох натуральних чисел є число непарне, то добуток цих чисел обов'язково буде парним.

7. Скількома нулями закінчується добуток усіх натураль­них чисел від 1 до 30?

8. Допиши два числа, яких не дописав попередній учень, якщо числа в ряду дібрані за певним правилом. Обгрунтуйте, чому саме ці числа можна записати:

а) 10, 8, 11, 9, 12, 10, 13, ?, ?;  б) 4, 7, 12, 21, 36, ?, ?; в) 2, 3, 5, 9, ?, 33, ?; г) 1, 5, 6, 11, ?, 28, ?.

9. Якщо від двоцифрового числа відняти 3, то різниця по­ділиться на 3. Якщо до цього числа додати 4, то сума ділиться на 4. Якщо від цього ж числа відняти 5, то і ця різниця теж ділиться на 5. Знайди найменше таке число. Чи можна твердити, що шукане число ділиться на 15?

10. Бабуся розвела гусей і кролів. У всіх них разом 28 голів і 68 лапки. Скільки гусей і скільки кролів має бабуся?

11. Для школи купили табуретки. Якщо в кожну кімнату поставити три табуретки, то шість табуреток зайві. Якщо в кожну кімнату поставити чотири табуретки, то двох стільців не вистачить. Скільки кімнат у школі і скільки купили табуреток?

12. Якщо кожний хлопчик купить пиріжок, а кожна дівчин­ка — булочку, то вони витратять разом на одну копійку менше, ніж якби кожний хлопчик купив булочку, а кожна дівчинка — пиріжок. Відомо, що хлопчиків більше, ніж дівчинок. На скільки?

Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

для учнів 4–6 класів

„Січнева сесія -2017”

5 клас

1.Сума двох чисел більша за одне з них на 7 і більша за друге на 6. Чому дорівнює ця сума?

2.У двох класних кімнатах 68 учнів. Коли з першого класу вийшло 20 учнів, а з другого 30 учнів, то в цих кімнатах за­ лишилося порівну учнів. Скільки учнів у кожній кімнаті?

3.У касира є купюри по 5 грн. і 10 грн. Скількома способами він може дати здачу 50 грн?

4.Бабуся розвела гусей і кролів. У всіх них разом 30 голів і 90 лапок. Скільки гусей і скільки кролів має бабуся?

5.В ящиках лежать 40 гумових м'ячиків однакових роз­мірів і серед них 10 зелених, 10 червоних, 10 синіх та 10  білих. У темноті виймають м'ячики із ящика.  Яку найменшу кількість м'ячиків слід взяти, щоб серед них обов'язково було 8 однаково пофарбованих?

6.Є  три   посудини:   в  одну  входить  8 л,  у  другу − 5 л, а в третю − 3 л. Перша посудина наповнена водою, а дві інші − порожні. Як за допомогою цих посудин відміряти 1 л води? Як від­ міряти 4 л води?

7.У підвалі стоять 7 повних бочок, 7 бочок, заповнених наполовину і 7 порожніх бочок. Як розподілити ці бочки між трьо­ма вантажними автомобілями, щоб на кожному з них було 7 бочок і на всіх автомобілях був однаковий вантаж?

8.У басейні,  горизонтальне дно  якого  має  площу   1 га, міститься 1 000 000 л води. Чи можна в цьому басейні проводити змагання з плавання?

9. Пофарбований куб із стороною 12 см розрізали на кубики із стороною 2 см. Скільки кубиків мають пофарбовані 3 грані, скільки  - дві,  і у скількох лише одна грань пофарбована?  Скільки кубиків не пофарбованих?

10. Під час опитування 100 учнів з'ясувалося, що 48 з них виписують журнал «Барвінок», 34 учні — «Соняшник», а 27 виписують обидва ці журнали. «Юний технік» виписало 20 чоловік, і усі вони не виписали жодного іншого журналу. Скільки з опита­них учнів зовсім не виписують журналів?

 11.  Діжки пального вистачає для роботи першого двигуна на 10 годин, а для другого двигуна на 15 годин. Яка частина пального залишилась у діжці після  4 годин роботи першого двигуна і 5 годин роботи другого двигуна? На скільки часу  вистачить діжки пального, якщо двигуни працюватимуть одночасно?

12. Четверо товаришів купили разом човен. Перший вніс половину суми, внесеної іншими; другий - третину суми, внесеної іншими; третій - чверть суми, внесеної іншими, а четвертий вніс 130 карбованців. Скільки коштує човен і скільки вніс кожний?

Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

для учнів 4–6 класів

„Січнева сесія -2017”

6 клас

1.На столі лежать 5 різних ключів, кожен з яких підходить лише до однієї з п'яти валіз. Яку найменшу кількість проб треба зробити, щоб знайти для кожної валізи відповідний ключ?

2.У жорстокому бою 70 із 100 піратів  втратили  око, 75 - одне вухо, 80 одержали  поранення в руку і у 85 було поранено ногу. Яка мінімальна кількість могла бути тих, хто одержав одночасно всі чотири поранення?

3.У числі 3141592653589793 закресліть 7 цифр так, щоб залишилося якомога більше число.

4.Чотири коти - Вася, Пушок, Базіліо та Леопольд - полювали на мишей. Пушок з Леопольдом піймали стільки ж мишей, скільки Базіліо разом з Васею. Вася піймав мишей більше, ніж Базіліо, але Вася з Леопольдом піймали мишей менше, ніж Пущок з Базіліо. Скільки  мишей піймав кожний кіт, якщо Пушок піймав 3 миші ?

5. Коля заплатив 12 коп. за зошит, два олівці і гумку, а Сашко - 27 коп. за 2 зошити,   3 олівці та 3 гумки. Скільки заплатив Сергій за 2 зошити, 5 олівців та гумку ?

6. Із восьми зовні однакових монет 7 - золотих, а одна - не золота, дещо легша за інші. Потрібно за допомогою двох зважувань на тетезах без гирь знайти незолоту монету.

7. Знайдіть найменше число, яке при діленні на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 дає в остачі 1.

8. Є двi купки камінців: в одній - 30, в другій - 20. За хід дозволяється брати будь-яку кількість камінців, але тільки з однієї купки. Програє той, кому немає  що брати.  Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає?

9. Розв’язати ребуси, в якому різним буквам відповідають різні цифри, а однаковим буквам відповідають однакові цифри:  КНИГА+КНИГА+КНИГА=НАУКА.

10. Аркуш паперу розрізали на 4 частини, потім якусь з цих частин розрізали знову на 4 частин і т.д. Коли підрахували загальну кількість клаптиків, то виявилось їx 66 чи 67. Не перераховуючи, уточніть відповідь.

11. В таблиці 3х3 у верхніх кутових клітинках зліва направо поставили цифри 1 та 2. Розмістити в порожніх клітинках таблиці числа від 3 до 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була однакова; 2) число записане в центрі таблиці було - найбільш можливим.

12.В країні Анчурії в обігу знаходяться купюри чотирьох вартостей: 1 долар, 10 доларів, 100 доларів, 1000 доларів. Чи можна відрахувати мільйон доларів так, щоб одержати рівно півмільйона ку­пюр?

 Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

для учнів 4–6 класів

„Лютнева сесія -2017”

4 клас

1. В магазин привезли 25 ящиків з яблуками трьох   сортів, причому в кожному ящику містились яблука одного сорту. Чи можна знайти 9 ящиків з яблуками одного сорту?

2. Скільки існує чотиризначних чисел, які діляться на 45, а дві середні цифри у них 97?

3. До числа 15 припишіть зліва та справа по одній цифрі так, щоб отримане число ділилось на 15.

4. Знайти  найменше натуральне число,  що ділиться  на  36,  в запису якого зустрічаються   всі  цифри.

5. Якби    учень  купив 8 зошитів, то у нього залишилось би  30 коп., а на 12 - зошитів   у нього не вистачить 1,5 грн. Скільки грошей було у учня?

6. На складі є цвяхи в ящиках по 16 кг, 17 кг, 40 кг. Чи може працівник складу відпустити 100 кг цвяхів, не відкриваючи ящики ?

7. В кімнаті знаходиться 14 канцелярських столів з однією, двома та трьома шухлядами. Всього в столах 25 шухляд. Столів з однією шухлядою стільки ж, скільки з двома та трьома разом. Скільки столів з трьома шухлядами разом ?

8. Знайдіть закономірність утворення ряду і запишіть три наступні числа ряду : 35, 34, 32, 29, 25, ...      

9. Приїхало 100 туристів. Із них 10 чоловік не знали ні німецької мови, ні французької, 75 чоловік знали німецьку мову, а 83 - французьку. Скільки туристів знали французьку   і німецьку мову?

10. Михайло записує число. Він використовує лише цифри 1,2,3,4,5 і слідує таким правилам: 1) будь-які дві сусідні цифри даного числа відрізняються між собою; 2)всі двоцифрові числа , що складаються з любих двох сусідніх цифр даного числа записаних у порядку   зліва - направо, відрізняються між собою. Наприклад, число 123134252 задовольняє умовам , а число 12315412 - ні, так як число 12 присутнє два рази в записі числа. З якої максимальної кількості цифр може складатися запис числа Михайло?

11. Гра починається з числа 100. За хід дозволяється відняти від наявного числа будь-яку з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Виграє той, хто одержить нуль. Хто з двох гравців зможе забезпечити собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

12. Щоб  перенумерувати сторінки книги вистачило 1164 цифри. Скільки в цій книзі сторінок?

Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

для учнів 4–6 класів

„Лютнева сесія -2017”

5 клас

1. За круглим столом сиділи 6 осіб: лицарі та брехуни. Лицарі завжди кажуть правду, брехуни завжди брешуть. На питання: «Хто твій сусід справа?» кожен відповів: «Брехун». Скільки брехунів було за столом? Відповідь обґрунтувати.

2. Периметр квадрата збільшився на 10%. На скільки відсотків збільшиться площа квадрата?

3. У звичайному наборі доміно 28 кісточок. Скільки кісточок містило б доміно, у якого кількості очок, зазначені на кісточках, змінювалися б не від 0 до 6, а від 0 до 12?

4.  У грі беруть участь 90 дітей. У кожного на грудях табличка з номером від 10 до 99 включно. Яка сума перших цифр у всіх номерах?

5. Скількома способами число 4 можна подати у вигляді суми трьох цілих чисел, якщо варіанти, які відрізняються порядком доданків, вважати різними, і серед доданків можуть бути нулі?

6. На дискотеці відпочивали 24 учні з одного класу. З Ганною танцювали сім хлопців, з Катрусею — вісім, з Надійкою — дев'ять і так далі до Люби, з якою танцювали всі хлопці. Скільки хлопців було на дискотеці?

7. Антону подарували терези, і він почав зважувати свої іграшки. Машину зрівноважили м'яч і два кубики, а машину з кубиком — два м'ячі. Усі м'ячі однакові і кубики теж. Скільки кубиків урів­новажують машину?

8. Ганна, Катруся, Віра, Надія, Люба стоять у черзі в театральну касу. Якби Ганна стояла посередині черги, то вона опинилася б між Катрусею і Любою, а якби Ганна стала в кінець черги, то по­руч з нею могла бути Надія. Але Ганна встала пе­ред усіма своїми подругами. Хто стоїть третьою?

9. Четверо друзів — Олекса, Богдан, Володимир, Гриць змагались у перетягуванні канату. Богдан з Грицем легко перетягнули Олексу з Володимиром. Але коли Богдан став у парі з Олексою, то перемога проти  Володимира з Грицем дісталася їм уже не так легко. А коли Богдан з Володимиром опинилися проти Олекси з Грицем, то жодна з цих пар не могла подолати іншу. Хто з друзів найдужчий?

10. Кілограм пломбіру на 4 грн. дорожчий від кілограма шоколадного морозива. Сергій і Петро замовили по 300 г морозива, причому Сергій замовив пломбіру вдвічі більше, ніж шоколадного морозива, а в Петра того й іншого порівну. Чия порція дорожча і на скільки?

11. 20 фішок розташовано в ряд. Два гравці по черзі забирають довільні одну або дві фішки, які стоять поруч, переможцем вважається той, хто зробить останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?  Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

12. Вказати закономірність утворення букв. Продовжте послідовності на три букви:

a)                 М, В, З, М, …        б)С, Л, Б, К, …     в)О, Д, Т, Ч, …

Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

для учнів 4–6 класів

„Лютнева сесія -2017”

6 клас

1. Як від шматка матерії в 2/3 метра відрізати півметра, не маю під рукою метра?

2. Дід привіз на базар огірки. Коли він почав рахувати їх десятками, то не вистачало двох огірків до повного  числа десятків. Коли він став рахувати по 12(дюжинами), то залишилось 8 огірків. Скільки огірків привіз дід на базар, якщо їх було більше 300, але менше 400?

3. Скільки разів протягом доби годинникова та хвилинна стрілки співпадають?

4. Знайти два числа, щоб їх сума була втричі більше їх різниці і вдвічі менше їх добутку.

5. Батько доросліше сина в 4 рази. Через 20 років він буде доросліше сина в 2 рази. Скільки зараз  років батьку?

6. Було 5 аркушів паперу. Деякі з них розрізали на 5 кусків кожний, потім деякі з одержаних кусків знову розрізали на 5 кусків і так зробили декілька разів. Чи могло в результаті виконання таких дій одержатись 1975 кусків?

7. На дошці написано числа 1, 2, 3, ..., 19, 20. До­зволяється стерти будь-які два числа а і b і замість них написати чис­ло (a + b - 1). Яке число може залишитись на дошці після 19 таких операцій?

8. На дошці записано числа 1,2, ..., 20. Дозволяєть­ся стерти будь-які два числа а і b і замінити їх на число аb + а + b. Яке число може залишитись на дошці після 19 таких операцій?

9. На дошці написано числа 1, 2, 3, ...,1989. Дозво­ляється стерти будь-які два числа і написати замість них різницю. Чи можна досягти того, щоб на дошці всі числа дорівнювали нулю?

10. В одній вершині куба написали число 1, в інших нулі. Можна додавати по 1 до чисел, які записані на кінцях довільного ребра. Чи можна добитися того, щоб всі числа ділились на 3 ?

11. В кутку квадрата 3x3 стоїть знак мінус, в усіх інших - плюси. Можна змінити всі знаки в довільному рядку чи довільному стовпчику на протилежні. Чи можна одержати таблицю лише з одних плюсів?

12. Круг поділили на 6 секторів, в кожному лежить по цукерці. За один хід одну цукерку можна перемістити в сусідній сектор. Чи можна зібрати всі цукерки в одному секторі рівно за 20 ходів?

Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

для учнів 4–6 класів

„Березнева сесія -2017”

4 клас

1.У виразі 1 2 3 4 5 6 = 7 9  розставте між деякими із цифр знаки чотирьох арифметичних дій  та дужки таким чином, щоб стало вірно.

2. Знайти у копійках суму трьох чисел:  половини гривні, третини гривні і півтретини гривні.

3. Знайдіть неповну частку та остачу при діленні числа 2015 на 99. Чи вірно, що ця неповна частка більша, ніж п’ята частина від ста?

4. Знайдіть останню цифру числа такого добутку першого числа 5*5*…*5(усього 2015 множників) на друге число 1+2+3+4+…..+2013+2014+2015.

Відповідь обґрунтуйте.  

5. Викладіть із п’яти сірничків цифру п’ять. Тепер викладіть із тринадцяти сірничків вираз 5 – 5 =. Після знаку дорівнює із 17 сірників викладіть трицифрове число 648. (на цифру 6 використайте 6 сірників, на цифру вісім використайте 7 сірників). Після того, як викладена неправильна рівність 5 - 5 = 648, перекладіть 3 сірники співвідношенні, щоб вийшла правильна рівність.

6. Бабуся підрахувала, що коли вона дасть кожному внуку по 6 пряників, то не виста­чить 8, а якщо по 4, то залишиться 6. Скільки внуків у бабусі? Скільки пряників?

7. Є по 4 фігурки типу I, T, O, Z та L. Кожна фігурка із чотирьох фігурок має чотири клітинки. Треба повністю покрити квадрат 8х8, використавши 16 із 20 заданих фігурок, при цьому фігурку кожного типу треба використати принаймні 1 раз.

8. Спекли круглий торт і розрізали на 60 рівних порцій.  Фрекен Бок з'їдає за хвилину  рівно дві порції, Малюк з'їдає за хвилину  рівно одну порцію, а Карлсон з'їдає за хвилину  рівно дванадцять порцій. За скільки секунд вони з'їдять два торти разом?

10. У Петі є три книги з математики, а у Васі – три книги. Скількома способами вони можуть обміняти дві книги одного на дві книги іншого?

11. Три винахідники отримали премію за свій винахід в pозмipi 1410 грн, причому другий отримав  третину  того, що отримав перший, та ще 60 грн, а третій отримав  третину грошей другого та ще 30 грн. Яку премію отримав кожний винахідник?

12. В ящику лежить 10 пар чорних рукавичок i 10 пар червоних рукавичок одного pозмipy. Скільки рукавичок треба взяти навмання з ящика, щоб серед них були: а) дві рукавички одного кольору; б) одна пара рукавичок одного кольору; в) одна пара рукавичок різних кольорів?

Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

для учнів 4–6 класів

„Березнева сесія -2017”

5 клас

 1. У виразі 1 2 3 4 5 6 = 8 9  розставте між деякими із цифр знаки чотирьох арифметичних дій  та дужки таким чином, щоб стало вірно.

2. Знайдіть неповну частку та остачу при діленні числа 10000000 на 999. Чи вірно, що ця неповна частка більша, ніж десята частина від ста тисяч?

3.Знайдіть у копійках суму трьох чисел: 1)дванадцять разів по півтретини гривні; 2)п’ять разів по півтора від цілої гривні; 3)шістнадцять разів по півчверті гривні.

4. Сашко запросив Петрика в гості, сказав, що живе в 10-му парадному в квартирі № 333, а поверх сказати забув. Підходячи до дому Сашка, Петрик побачив, що дім дев’ятиповерховий. На який поверх йому слід піднятися? На кожному поверсі кількість квартир однакова, номери квартир в домі починаються з № 1.

5. П’ять футбольних команд провели турнір – кожна команда зіграла з кожною по одному разу. За перемогу нараховувалось 3 очки, за нічию – 1 очко, за поразку очки не нараховувались. Чотири команди набрали відповідно 1, 2, 5 та 7 очок. Скільки очок набрала п’ята команда?

6. Є по 25 фігурок типу T та квадратик 2х2, кожна фігурка із 25 фігурок має чотири клітинки. Треба повністю покрити квадрат 10х10 фігурками одного з типів. Які з фігурок підходять для виконання завдання? Відповідь обґрунтуйте.

7. Виразіть у копійках і з’ясуйте, що більше: половина шести пів третин  від шести гривен чи третина дванадцяти чвертей від чотирьох гривен?

8. Дев'ять однакових листівок коштують менше десяти рублів, а десять таких же листівок стоять більше одинадцяти рублів. Скільки коштує одна листівка? (Відомо, що одна листівка коштує ціле число копійок.)

9. Діти ділили яблука. Коли поча­ли роздавати по 7 яблук, то останній одержав 4 яблука, коли роздали по 8 яблука, то останній одержав 1 яблуко. Скільки було яблук і дітей?

10. У Петі є три книги з математики, а у Васі – чотири книги. Скількома способами вони можуть обміняти дві книги одного на дві книги іншого?

 11. Батько доросліше сина в 4 рази. Через 20 років він буде доросліше сина в 2 рази. Скільки зараз  років батьку?

12. Яку найменшу кількість карток Спортлото "6 із 49" потрібно купити, щоб на одній із них обов'язково було вгадано хоча б один но­мер?

Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

для учнів 4–6 класів

„Березнева сесія -2017”

6 клас

 1. Знайдіть: а)останню цифру; б)передостанню цифру  числа 5²⁰¹³*(1+2+…+2014+2015).  Відповідь обґрунтуйте.

2. Доктор Айболить роздав чотирьом хворим тваринкам 2012 магічних пігулок. Носоріг одержав на дві більше, ніж крокодил, бегемот на дві більше, ніж носоріг, а слон – на дві більше, ніж бегемот. Скільки пігулок доведеться з’їсти слону?

3. У багатоповерхівці до квартир на першому поверсі веде 7 сходинок та між поверхами однакова кількість сходинок. Відомо, що в день, коли не було електрики та не працювали ліфти, Андрій на шляху до своєї квартири пройшов 95 сходинок, Богдан – 117 сходинок, Володя – 205 сходинок, Григорій – 249, Дмитро – 293 сходинки. Ярослав живе на останньому поверсі і пройшов аж 535 сходинок. На якому поверсі живе кожна дитина?

4. У виразі 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 розставте між деякими із цифр знаки чотирьох арифметичних дій  та дужки таким чином, щоб вийшло число 2013.

5. Є по 25 фігурок типу L та О, кожна фігурка із 25 фігурок має чотири клітинки. Треба повністю покрити квадрат 10х10 фігурками одного з типів. Які з фігурок підходять для виконання завдання? Відповідь обґрунтуйте.

6. Під час екскурсії група учнів мала переправитися через бухту. На бе­резі стояло кілька човнів. Якщо в кожний човен сяде по 6 чоловік, то для чотирьох учнів не вистачить місця, а якщо по 8, то один човен буде зайвий. Скільки було учнів і човнів?

7. Виразіть у копійках і з’ясуйте, що більше: 2013  разів по третині гривні чи двічі 671  півтора від цілої гривні?

8. Фрекен Бок з'їдає торт за півгодини, Малюк - за годину, а Карлсон - за 5 хвилин. За скільки секунд вони з'їдять три торти разом?

9.У шостому класі 40 учнів, при цьому 12 із них увечері п’ють чай, 28 -сидять в Інтернеті, а 5 - не роблять ні того, ні іншого, оскільки виконують письмові домашні завдання. Скільки учнів п'ють вечо­рами чай, сидячи в Інтернеті?

10. У Петі є три книги з математики, а у Васі – п’ять книг. Скількома способами вони можуть обміняти дві книги одного на дві книги іншого?

 11. Скільки існує різних прямокутників, довжи­ни сторін яких є цілими числами та периметр і площа яких виражаються однаковим числом?

12. О 12 годині годинна і хвилинна стрілки збігаються. Через яку найменшу кількість хвилин стрілки знову збігаються?