7-8 клас. Олімпіадні задачі з математики

7-8 клас  Олімпіадні задачі

1. На числовій прямій відмічено дві точки. Де розташовано їх середнє арифметичне?

2. Чи можна в клітках таблиці 5x5 записати числа так, щоб в кожному рядку сума чисел була додатньою, а в кожному стовпці  від’ємною.

3. Є дві купи каменів. Два гравці по черзі беруть будь-яку кількість каменів, але тільки з однієї купи. Виграє той, хто візьме останній камінь. Чи може хтось з них гарантовано виграти?

4. Доведіть, що добуток цифр будь-якого числа не більше його самого.

5. Побудуйте трикутник, якщо відомі всі його кути і периметр.

6. Чи існує така нескінченна послідовність з двох букв, що ніяка комбінація з декількох букв не повториться двічі підряд?

7. Кожну грань кубика розбили на чотири рівні квадрати і розфарбували ці квадрати в три кольори так, щоб квадрати, що мають загальну сторону, були пофарбовані в різні кольори. Доведіть, що в кожен колір пофарбовано 8 квадратів.

8. Чи можна розставити по колу 20 червоних і не скільки синіх фішок так, щоб в кожній крапці, діаметрально протилежній червоній фішці, стояла синя і
ніякі дві сині фішки не стояли поряд?

9. Чи можна який-небудь трикутник помістити всередину круга, радіус якого менше радіусу описаного біля цього трикутника кола?

10. Президент акціонерного суспільства «Не обдуриш – не продаси» оголосив на зборах акціонерів, що за кожних п'ять послідовних місяців витрату фірми перевищував дохід, а за весь рік дохід перевищила витрата. Чи повинні акціонери подати на нього до суду?

11. Мандрівник виходить з готелю о 3 годині дня і повертається о 9 годині вечора по тому ж маршруту. Відомо, що по рівних ділянках він йде із швидкістю 4 км/год, в гору  3 км/год, під гору  6 км/год. Знайдіть відстань, яку пройшов мандрівник, якщо він йшов без відпочинку.

12. Доведіть, що будь-які 100 точок на площині можна розбити на дві групи так, щоб ніяка пряма не відокремлювала одну групу від іншої.

13. Чи вірна наступна ознака рівності трикутників: по двох сторонах і медіані, проведеній до третьої сторони.

14. Коли я збігаю  по ескалатору станції  метро  «Шулявська», то встигаю налічити 100 сходинок, а коли біжу вниз по ескалатору, що йде вгору, налічую 300 сходинок. Скільки сходинок на нерухомому ескалаторі?

15. Вовк і вовченя, ведмідь і ведмежа, лис і лисеня вирішили переправитися з лівого берега річки на правий. У них був човен, в який поміщався будь-хто двоє з них. Як їм переправитися на інший берег, якщо не можна залишати дитинчат з чужими татами без свого?

16. У легенді про винахідника шахової гри мовиться, що на першу клітину дошки він просив покласти одне рисове зернятко, на другу  два, на третю  чотири і так далі, кожного разу подвоюючи кількість зерен. Виразите загальну кількість зерен на дошці простій формулою.

17. Вася рахує пальці від великого до мізинця, потім в зворотному порядку (кожен рахунок доводиться на інший палець), потім назад і так далі На який палець припаде рахунок 1990?

18. Доведіть нерівність: 1 – (1 – а)(1 – b)(1 – с) > с, якщо 0<а<b<с<1.

19. Три цілі числа зв'язано співвідношенням х² + у² = z². Доведіть, що х або у ділиться на 3.

20. Катер, пливучи вгору по річці, втратив під мостом пляшку. Виявивши втрату через 10 хвилин, він повернув назад і нагнав пляшку на відстані 1 км. від моста. Визначите швидкість річки.

21. Знайдіть безліч середин всіх відрізань, кінці яких лежать

а)        на даному півколі;

б)        на фігурі, що є об'єднанням діагоналей квадрата.

22. Якщо надрукувати всі числа від 1 до 1000, то скільки разів зустрінеться цифра 3?

23. Скільки чисел серед 1, 2, 3 ..., 1000 містять в своєму записі хоч би одну трійку?

24.      На шахівниці розставляють королів так, щоб вони били всі клітки. Яке найменше число королів? (Клітка, на якій коштує король, вважається битою.)

25.      Шестизначне число ділиться на 7. Доведіть, що, якщо останню його цифру переставити в початок, то отримане число теж ділитиметься на 7.

26.      Побудувати чотирикутник, знаючи всі його сторони і кут між двома протилежними сторонами.

27.      Запишіть число 100 у вигляді суми декількох натуральних чисел так, щоб їх добуток був найбільшим.

28.      На прямій в крапці з координатою нуль сидить бактерія. Кожну хвилину бактерія ділиться (якщо бактерія знаходилася в точці А, то через хвилину дві бактерії знаходяться в крапках з координатами А – 1 і А + 1). Якщо в одну точку попадають дві бактерії, то вони обидві гинуть. Як будуть розташовані бактерії на прямій через 2 години і 8 хвилин?

29.      Подвоїти відрізок за допомогою одного циркуля.

30.      Є 10 мішків монет.

а)        У дев'яти мішках монети справжні, кожна важить 10 г, а в одному  фальшиві, кожна важить  11 г. Як одним зважуванням за допомогою вагів важелів без гирь
визначити цей мішок?

б)        Те ж питання для випадку, коли мішків з фальшивими монетами декілька.

31.      Побудувати коло, що проходить через дві дані точки і хорда даної довжини, що відсікає від даного кола.

32.      Кульгавий слон ходить тільки на одну клітку по діагоналі. Яка кількість ходів потрібна кульгавому слонові, що б обійти всі білі клітини дошки 10х10?

33.      У краплю води, де знаходилися 1000 бактерій, посадили один вірус. Після цього кожну хвилину почало відбуватися наступне: кожен вірус знищував по одній бактерії, після чого кожна бактерія ділилася на дві бактерії, а кожен вірус  на два віруси. Чи вірно, що через деякий час не залишиться жодній бактерії?

34.      Кожен з чотирьох гномів Беня, Веня, Женя, Сеня  або завжди говорить правду, або завжди бреше. Ми почули таку розмову. Веня  Бені: «Ти брехун». Женя  Вені: «Сам ти брехун». Сеня  Жені: «Та обидва вони брехуни, (подумавши) втім, і ти теж». Хто з них говорить правду?

35.      Усередині опуклого 10-кутника відзначили 10 точок і розбили його на трикутники з вершинами в цих точках і вершинах 10- кутника. Чи може при цьому вийти 30 трикутників?

36.      По кругу стоять  числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Дозволяється узяти будь-які два сусідні числа і замість них записати на їх місця середнє арифметичне цих чисел. Чи можна, повторивши багато раз цю операцію, отримати 8 однакових чисел?

37.      Послідовні непарні числа згруповані таким чином: (1) (3,5) (7,9,11) (13,15,17,19) ...  Знайдіть суму чисел в сотій групі.

38.      Ваня, Андрій і Альоша грали в настільний теніс. Проїгравший партією всякий раз поступався місце тому, хто в ній не брав участь.  За день Ваня зіграв 10 партій, Андрій 21 партію. Скільки партій зіграв Альоша?

39.      Кожні двоє з 17 учених переписуються по одній з трьох тем. Доведіть, що є троє учених, що пишуть один одному по одній і тій же темі.

40.      При даній сумі додатних чисел добуток максимальний тоді, коли вони рівні. При даному добутку додатних чисел сума мінімальна тоді, коли ці числа рівні. Доведіть.