Каталог "Нерівності"

НЕЛІНІЙНІ НЕРІВНОСТІ 

З ДЕКІЛЬКОМА ЗМІННИМИ

Довести.

1. a^p+b^p < c^p, якщо p>2,a>0, b>0, c>0, a²+b²=c².

2. c^p < a^p+b^p, якщо p<2, a>0, b>0, c>0, a²+b²=c².

3. (a+b)^2/3 < a^2/3+b^2/3, якщо a>0, b>0.

4. a+b+c ≤ ^ab/_c+^bc/_a+^ca/_b, якщо a>0, b>0, c>0.

5. (a^0,5+b^0,5 +c^0,5)a^0,5b^0,5c^0,5≤ a²+b² +c²   , якщо a ≥0, b ≥0, c ≥0.

6.  5a^0,5b^0,5 +5b^0,5c^0,5  +7a^0,5c^0,5≤ 7a+4b+7c, якщо a ≥0, b ≥0, c ≥0.

7.  2a²b²c²(2^0,5ab + 2^0,5ac+cb) ≤ 16a⁸+b⁸ +c⁸.

8. ^(a+b)/(_a²+_b²)+^(b+c)/(_b²+_c²)+^(a+c)/(_a²+_c²)≤¹/_a+¹/_b+¹/_c, якщо a>0, b>0, c>0.

9. ⁹/_a+b+c ≤  ²/_(a+b) + ²/_(b+c) +²/_(a+c), якщо a>0, b>0, c>0.

10.  a< 2a³+2a²+1,   якщо a≥0.

11.  a² -2a^0,5 < 2+a³,   якщо a≥0.

12. ¹/₂ ≤ ¹/_(a+1) + ¹/_(a+2) +¹/_(a+3)  + … + ¹/_2a , якщо a- натуральне число.

13. ¹/₉ +¹/₂₅ + …+¹/_(2a+2)²  < ¹/₄, якщо a- натуральне число.

14. b<ac+^c/_(c-1),  якщо a^0,5 +1≥b,  c>1.

15.  a^0,5b^0,5 +c^0,5d^0,5 ≤(a+c)(b+d)^0,5, якщо a ≥0, b ≥0, c ≥0, d ≥0.

16. 2¹/₉ <a^0,5/(b+c)^0,5+b^0,5/(a+c)^0,5+b^0,5/(a+c)^0,5, якщо a>0, b>0, c>0.   

17. (4a+1)^0,5+(4b+1)^0,5+(4c+1)^0,5<5, якщо a>0, b>0, c>0, a+b+c=1.   

18. 4lnx ≤ x²-1/x, якщо x>1.

19. 2ln(x+(x²+1)^0,5) ≤  e^x - e^-x, якщо x ≥0,  e ®(1+1/x)^x, x®oo.

20. (a+b)(a-b) ≤ a²+b².

21.¹/₂<sina/(1+sina) +cosa/(1+cosa)<⁶/₇;

22. ²/₃<sin²a/(1+cos²a) +cos²a/(1+sin²a)<1;

23.   -1≤ sin³a+cos³a≤ 1, якщо a- дійсне число.

24.  0,5 ≤ sin⁴a+cos⁴a≤ 1, якщо a- дійсне число.

25.   -1≤ sin⁵a+cos⁵a≤ 1, якщо a- дійсне число.

26.   0,25≤ sin⁶a+cos⁶a≤1, якщо a- дійсне число.

27.   0,125≤ sin⁸a+cos⁸a≤1, якщо a- дійсне число.

28.   0,0625≤ sin¹⁰a+cos¹⁰a≤1, якщо a- дійсне число.

29.  -1≤ sin^2n-1a+cos^2n-1a≤ 1, якщо n - натуральне число.

30.  ¹/₂^n-1≤ sin²ⁿa+cos²ⁿa≤ 1, якщо n - натуральне число.

31. sin²a +4cos²a -2sin2a -3sina +4cosa +2 ≥ 0,  якщо a - дійсне число.

32.  2sin2a- 2^0,5sin2a + 2^0,5cos2a+3 ≥ 0,  якщо a - дійсне число.

33.  cos4a- 4sin²a ≥  2 sin2acosa,  якщо a - дійсне число.

34. 6a²b²  ≤ a⁴ +2a³b  +2ab ³ + b⁴ , якщо a ≥0, b ≥0.

35.  a⁴ -2a³b + 2a²b² -2ab³ + b⁴≥0, якщо a ≥0, b ≥0.

36.  2sin²a ≥ 2sin2a-1,  якщо a - дійсне число.

37. sinacosbcosc + cosasinbsinc ≤ 1,  якщо a, b, c - дійснi числa.

38. (sin(cos(a) ≤ (cos(sin(a)) ,  якщо a - дійсне число.

39.  a²+3b²  +6c² +2ab -2ac -6abc > 0, якщо a²+b²+c²≠0. 

40.  |a+b| ≥ 2 ,   |a+1/a| ≥ 2 ,  якщо |ab|=1, a, b - дійснi числa.

41.  |a/b+b/a| ≥ 2,  якщо a, b - дійснi числa.

42.  a²+b² ≥ 2ab,  якщо a, b - дійснi числa.

43.  a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+…+a_m ≥ m,  якщо  a₁∙a₂∙a₃∙a₄∙a₅∙…∙a_m =1

44.  ab+bc+ac ≤ a²+b²+c²,  якщо a, b, c - дійснi числa.

45.  3≤ a/b+b/c+c/a ,  якщо a, b, c – додатні  дійснi числa.

46.  a/b+b/c+c/a ≤ -3,  якщо a, b, c – від’ємні дійснi числa.

47. ^c/_a < ^(c+d)/_(a+b) < ^b/_d  , якщо a >0, b >0, c >0, d >0.  

 48.  (ab)^0,5+1≤  (a+1)^0,5(b+1)^0,5 ≤  1+(ab)^0,5/_min{a,b}, якщо a >0, b >0,

49. (abc)^1/3+1≤ (a+1)^1/3(b+1)^1/3(c+1)^1/3≤ 1+(abc) ^1/3/_min{a,b,c}, якщо a >0, b >0, c >0.

50.  ²/(¹/_a+¹/_b) ≤ (abc)^1/2 ≤ (a+b)/₂ ≤ ((a²+b²)/₂ )^0,5≤ ((a^k+b^k)/₂)^1/k

, якщо a >0, b >0.

51.  ³/(¹/_a+¹/_b+¹/_c) ≤ (abc)^1/3 ≤ (a+b+c)/₃ ≤ ((a²+b²+c²)/₃ )^0,5≤ ((a^k+b^k+c^k)/₃ )^1/k

, якщо a >0, b >0, c >0.

52.    3abc ≤ a³+b³+c³ ,  якщо a +b + c >0.

53. -2^0,5 ≤  sina+cosa ≤ 2^0,5, якщо a- дійсне число.

54. (1+¹/_a)^a > (1+¹/_a^a) ,  якщо 0<a <1, a>2.

55. (1+¹/_a)^a < (1+¹/_a^a) ,  якщо 1<a <2.  

56. ln(1+a)<a,  , якщо a >0.

57.   2a/(a+2) < ln(1+a)<a, якщо a >0.

58. 2abln(^b/_a)< b² – a², якщо 0<a <b.

59. 2 ln(a)<a²-1, якщо a >1.

60.    ln(1+a)/ln(a) < ln(a)/ln(a-1) , якщо a >2. 

61. Міні-максні подвійні нерівності Вінницького

для модуля різниці двох дійсних додатних  чисел

Нехай  а та b, с - дійсні додатні числа, при цьому c >1.  

Довести, що функція модуля різниці двох дійсних додатних  чисел

V(a, b) = max{a;b}-min{a;b} =|a-b|

має властивості:

1^o. 0 < max{a;b}-min{a;b} =|a-b| < ^min{a;b}/_с,   

  якщо  (1-¹/_c)max{a;b} < min{a;b} < max{a;b}; c>1

 2^o.   ^min{a;b}/_с < max{a;b}-min{a;b} =|a-b|< min{a;b},  

        якщо  (¹/₂)max{a;b} <  min{a;b} < (1-¹/_c)max{a;b}, та c>2.

 3^o.   min{a;b} < max{a;b}-min{a;b} =|a-b|< 0,5(max{a;b}+min{a;b})=0,5(a+b),  

        якщо max{a;b}/3< min{a;b} <0,5max{a;b};

4^o.   0,5(max{a;b}+min{a;b}) =0,5(a+b) < max{a;b}-min{a;b} =|a-b| < max{a;b},   

       якщо 0< min{a;b} < max{a;b}/3;

  5^o.  (1-¹/_c)max{a;b}  < max{a;b}-min{a;b} =|a-b|< max{a;b},   

     якщо 0< min{a;b} < max{a;b}/c   та  c>1.